《数学分析III》期中考试试题及参考答案.doc

数学分析下册期末试题（模拟）
一、填空题（每小题3分，共24分）

1、重极限___________________
2、设，则全微分_______________________
3、设，则___________________
4、设是以原点为中心，为半径的上半圆周，则________.
5、曲面和所截出的曲线在点处的法平面方程是___________________________.
6、已知，则_____________.
7、改变累次积分的顺序，______________________.
8、第二型曲面积分______________，其中为球面，取外侧.
得分

评卷人

二、单项选择题（每小题2分，共16分）

1、下列平面点集，不是区域的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2、下列论断，正确的是（ ）
（A）函数在点处的两个累次极限都不存在，则该函数在处重极限必定不存在.
（B）函数在点处的两个累次极限都存在且相等，则该函数在处重极限必定存在.
（C）函数在点处的偏导数都存在，则该函数在处可微.
（D）函数在点处可微，则该函数在处必定连续.
3、方程在原点附近能确定连续可微的隐函数形式是（ ）
(A) (B)
(C) (D) 以上选项都不对.
4、设，其中，，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
5、设平面曲线：在上具有一阶连续偏导数，且点与的坐标分别为与，又设和为上的连续函数，则沿从
到的第二型曲线积分等于 （ ）
考 生 答 题 不 得 过 此 线
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任课教师： 教学班号： 姓名： 学号：

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（A）
（B）
（C）
考 生 答 题 不 得 过 此 线
∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶密∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶封∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶

任课教师： 教学班号： 姓名： 学号：

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（D）
6、变换：，所对应的函数行列式为（ ）
(A) (B) (C) (D)
7、对于任意光滑封闭曲线中，以下第二型曲线积分中为零的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8、下列积分区域中，既是型又是型的是（ ）
(A)是由直线，和所围成的闭区域.
(B)是由直线和曲线所围成的闭区域.
(C)是由直线，和所围成的闭区域.
(D)是由直线，和曲线所围成的闭区域.
得分

评卷人

三、计算题（每小题8分，共48分）

1、讨论函数在原点处的连续性，计算和.

2、设，求

3、设方程组确定了隐函数组，求和

考 生 答 题 不 得 过 此 线
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任课教师： 教学班号： 姓名： 学号：

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4、利用含参量积分计算，其中.

5、计算，其中是以为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点到最下面一点.

6、利用极坐标变换计算，其中是由圆 与轴所围成的平面区域.

得分

评卷人

考 生 答 题 不 得 过 此 线
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任课教师： 教学班号： 姓名： 学号：

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四、应用题（每小题6分，共12分）

1、求由球面与抛物面所围成的区域的体积.

2、某工厂打算建造一个容积为2500长方体仓库，其中仓库顶的造价为200元/，仓库底面造价为300元/，仓库四周造价为100元/，问如何设计可以使仓库的建造成本最小.

参考答案及评分标准

一、填空题（每小题3分，共24分）
1、2 2、 3、
4、 5、 （即）
6、 7、 8、
二、单项选择题（每小题2分，共16分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
C
A
B
C
B
B

三、计算题（每小题8分，共48分）
1、讨论函数在原点处的连续性，计算和.
解 首先考虑，
当点沿直线趋于时，则有 ………………（2分）

由此可见，该极限值随的变化而变化，故此极限不存在，从而函数在原点不连续. …………（4分）
由偏导数的定义，
…………（6分）
…………（8分）

2、设，求.
解 记，，，，
则由复合函数链式法则，
. …………………（2分）
再记，，，……
…………………（3分）
……………（6分）
…………………（7分）
…………………（8分）

3、设方程组确定了隐函数组，求和.
解 方程组关于求偏导数得
…………………（3分）
解此方程组得， ………………（4分）
方程组关于求偏导数得
…………………（7分）
解此方程组得，. …………（8分）
4、利用含参量积分计算，其中.
解 因为，所以 …………………………（2分）
.
由于被积函数在上连续，………………………（4分）
故由含参量积分连续性定理，交换积分顺序得
…………………（6分）
…………………（8分）
5、计算，其中是以为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点到最下面一点.
解 题设中的右半圆周从点到点的参数方程为
，
其中从到. ………………………（3分）
又，，故第二型曲线积分 …………（4分）
……（6分）
…………………（8分）
6、利用极坐标变换计算，其中是由圆 与轴所围成的平面区域.
解 引入极坐标变换
， ， …………………………（2分）
则积分区域在此极坐标变换下变为
，………………………（4分）
所以，
………………（6分）
……………（8分）
四、应用题（每小题6分，共12分）
1、求由球面与抛物面所围成的区域的体积.
解 设所求区域的体积为，则. …………………（2分）
引入柱面坐标变换， ， ，则球面方程变为，抛物面方程变为. …………………（3分）
由方程组，消去得在平面上的投影区域的边界曲线方程，.
于是，在柱面坐标下可表示为
，………………（4分）
所以，

………………（6分）
2、某工厂打算建造一个容积为2500长方体仓库，其中仓库顶的造价为200元/，仓库底面造价为300元/，仓库四周造价为100元/，问如何设计可以使仓库的建造成本最小.
解 设仓库的长宽高分别为，，，则由题设有.
又设建造仓库的成本为，则

…………（2分）
因此，所求问题可归结为在约束条件下，函数的最小值问题.
构造拉格朗日函数
………（3分）
令，解之得 ………（5分）
即仓库的长、宽、高分别为10，10，25时，造价最小，为150000元.
………（6分）