SARS的数学模型与分析.doc

SARS的数学模型与分析张小五 牛双建 王冬梅指导教师：平顶山工学院数学建模辅导小组 摘要：本文研究了SARS疫情的预测问题。目的是建立数学模型反映SARS疫情的传播规律，在此情况上预测了SARS疫情的发展趋势和对经济的影响。本文首先就附件1的数学模型进行合理性和实用性的评价，并指出了它的不足之处。从这个模型我们受到启发，联想到人口预报的初步模型。按照人口模型建立的发展过程，我们相应地建立了逐步完善的SARS模型：指数模型，Logistic模型，SIR模型。主要采用数据拟合的方法来确定模型中的参数。对指数模型我们只作了一些定性的分析，重点讨论了Logistic模型，SIR模型。Logistic模型我们从累计确诊病人数的变化和病人增长率的变化来进行研究，对每个参数的实际意义我们都作了详细的分析。最后简要讨论了提前或延迟5天进行隔离对病情的影响。模型（二）中我们先将函数反映到图形上，并结合图表对香港、北京两地的SARS疫情发展进行直观比较，得到了一些合理且有实用参考价值的数据。同时我们在建模过程中也遇到了一系列困难，对图表的分析能力不够，缺乏详细的流行病学方面的知识，很多参数的确定没经验概念，只能通过定性分析，简单假设，已知数据的拟合得到。对问题3，SARS对旅游业的影响，我们把原来离散的时间（天）看成连续变量，从众多影响因素中提炼出对旅游业影响最大的两个因素，建立常微分方程模型。最后简要写了一篇给当地报社的短文，意在阐述建立传染病模型的重要性。关键词：SARS 指数模型 Logistic模型 SIR模型曲线拟合一、评价早期模型的合理性和实用性附件一提供的模型中参数K和L具有比较明显的实际意义, 在参数的范围控制上比较合理。在程序设计过程中,K值的确定考虑到与医疗机构隔离病人的时机和隔离的严格程度有关,采用不同阶段不同取值的方法,很好地描述了这一现象。其次该模型在已有数据的基础上拟合程度比较好，合理地反映了这一阶段香港疫情的实际情况。可以根据它的拟合曲线来预测近期内的病情走势，为政府和医疗机构提供一定的信息依据，使得他们能够对病人进行及时的管理和治疗，从而降低病毒在社会上的蔓延程度。另外该模型具有广泛的适用性。它对不同地区的数据进行了仔细的对照分析，得出不同的统计结果，做到了具体问题具体分析的原则，使得我们可以对不同地区进行病情分析和预测。当然，该模型也有一些不足之处。例如文中所述，到达高峰期后，在10天的范围内逐步调整值到比较小，这个时间就缺乏理论依据，减小了可信度。但由于SARS传播系统是一个非线性的动态反馈复杂系统，做一些简化的假设和近似是必要的，因而该模型有一定的实用性，不能完全否定。下面我们建立自己的模型。二、 新模型的建立1).附件2的数据处理 观察分析“已确诊病例累积”一栏的数据，6月6日：2522，6月7日：2523，6月8日：2522，这说明6月7日有误诊一例，实际确诊病例累计应为2522。再看6月11日：2523，6月12日：2523，6月13日：2522，说明6月11日有误诊一例，6月11日、12日的实际确诊病例应为2522。同样分析其他数据，我们可知5月31日到6月23日的实际确诊累计病例都为2521为此我们以下计算模拟都采用附件2经过处理后的数据。2).总体假设：1.SARS所有可能的传播途径视为与病源的直接接触。2.根据SARS的疾病传播期内，所考察的地区总人口视为常数。3).根据SARS的特点建立如下3个逐步完善的模型。模型1指数模型1.符号说明：N：累计确诊病例数K: 平均每个病人每天可传染的人数，即病例的相对增加率。t：时间：表示=0时刻患病人数 2模型的假设：K是常数 3. 模型的建立设天内病例增加，则每天的病例增加数： 则 K= (1)由（1）得到 解得 N(t)=Ne (2)将t以天为单位离散化，（2）式表明N以e为公比的等比数列增长，又K远远小于1，因此e1+K则可将（2）式写成N(t) N(1+K)因此附件1所给出模型的数学表达只不过是该指数增长模型的近似表示。4.模型的分析 取4月20日以前的数据进行拟合，确定参数N、K ，代入（2），做出N(t)=Ne 的图像。考虑到我们建模的重点，在此我们不进行具体拟合，作图。但该模型的意义是明确的。若在同一图中描出4月20日以前公布的累计确诊病例数，两者进行比较，这样可看出4月20日以前的数据是否有瞒报，缓报，漏报；若该模型在传染病初期就被建立，从函数的曲线上便可知呈现疫情爆发的大致时间，可及时控制疫情。也就是说该模型能为预防和控制提供可靠信息。当然一个正常的社会，决不会听任疫情按自然状态一直发展，当累计病例数到一定程度后，社会成员及各组织因此而感到威胁，社会也受到较大伤害，进而采取一系列措施，使K下降，而这个威胁和伤害程度取决于N,因此相对增加率K随着N的增加而减小，这是定性分析，我们也可做定量分析，在（1）式中逐个代入用公布的数据N，逐个算出K，并把K随N变化作在图中，见图1，很直观地看到了K随N的增大而减小。图1模型2Logistic1. 符号说明：表示时刻已经被传染病人数：表示时刻未被传染病人数:表示总人数：表示=0时刻患病人数:表示传染强度:相对平均每个病人每天可传染的人数，即病例的增加率。t：时间2. 模型假设： 1).每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比，即=.2).一个人得病后经久不愈并在传染期内不会死亡.3.模型的建立:所以由假设得： 4.模型的求解：由式求得 ：= 由(4)式可得： 令：得：极大点为 从表达式中看出，卫生部所采取的措施如隔离措施的严格程度对疫情的发展有较大影响。若提前5天采取隔离措施，也即传染病控制程度高，控制效果较明显；延后5天则病人总数将增加许多。 5模型的分析：取6月1日以前的数据进行拟合，得出,代入(4)、(5)式,做出的图像和的图像考虑到我们建模的重点，在此我们进行具体拟合。若在同一图中描出6月1日以前公布的累计确诊病例数，两者进行比较，这样可看出6月1日以前的数据是否有瞒报，缓报，漏报；若该模型在传染病传播过程中被建立，从函数的曲线上便可知呈现疫情增加的大致时间，可及时了解疫情。也就是说该模型能为了解疫情提供可靠信息并能对疫情采取一定的措施。当然一个正常的社会，决不会听任疫情按自然状态以后，社会成员及各组织因此而感到威胁，社会也受到较大伤害，进而采取一系列措施，使K下降，而这个威胁和伤害程度取决于N,因此相对增加率K随着N的增加而减小， 也随着S(t)的减小而减小。6.模型的评价：传染强度或总人数增加时，都将变小，即传染病高峰来得快。这与实际情况吻合。同时，我们通过统计数据得出,即可预报传染病高峰到来的时间，这对于防治SARS传染是有帮助的。但是，当时，N(t)，即最后人人都要得病。这显然是不可能的。造成这原因是假设2）式中假设了人得病后经久不愈。模型3 SIR模型考虑得SARS病后有的会死亡，另外不是每个人被传染后都被会传染别人，因为其中一部分被隔离，同时考虑人得了SARS病后由于医治和人自身的抵抗力会痊愈我们建立模型31模型的符号说明 x：表示为传染率。 y:表示为排除率。K：表示相对平均每个病人每天可传染的人数，即病例的增加率。t：时间I(t)：表示t时刻能够把SARS病传染给别人的那些传染者的人数.S(t): 表示t时刻并非传染者但能够得SARS病而成为传染者的人数。R(t):表示t时刻患病死去的人，病愈后具有长期免疫力的人，以及在病愈并出现长期免疫力以前被隔离起来的人数的总和。2.模型的假设1） 患过传染病而完全病愈的任何人具有长期免疫力，不会反复受传染。2） 传染的潜伏期很短，可以忽略不计。3） 在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平N，既不考虑出生及其他原因引起的死亡，以及迁入迁出等情况。4） 易受感染者人数S(t)的变化率正比I(t)的人数与s(t)的人数的乘积。5） I(t)向S(t)转变的速率与I（t）成正比。 3 模型的建立 (7)4 模型的求解(7)式的三个方程相加得则=常数= (人口总数)= 由此可知，只要知道了S(t)和I(t)，即可求R(t).而(7)式的前两个方程与R(t)无关。因此得 （8）t=时I()= S=记有I(s)=-s+ (9) 又得 因为有 (10)方程（10）虽是可分离变量的，但是不能用显式求解。如果SARS传染的不严重，则是小量，取泰勒级数的前三项, 取近似值得= 其解为 其中 ，因此 5. 模型分析与评价 本模型应该说是一个比较理想的模型，考虑到一个参量R(t),这相对来说已经符合了现实的实际。可以说此模型是在固定的居民中传染病传播的准确而可靠的数学模型。但也有其自身的缺点，在这我们假设患过传染病而完全治愈的任何人都具有长期的免疫力，并认为SARS的潜伏期很短，忽略了不计。6. 模型的改进与推广.以上三个模型都没讲到媒介对病毒传播的影响。现实生活中不是所有人都能及时获得疫情信息从而开始自我隔离。，因此这里就有一个信息透明度的问题。当透明度比较高时，疫情消失速度相对比较的快，高峰期的患病的人数也相对的比较少。.我们现在建模的时候，已经知道SARS预防指数相对不变，我们对疫情后期没有进行分类讨论。事实上这是必要的，如果后期外来SARS病例增多，内部放松警惕与及时隔离等，都会出现疫情一定程度的反弹，更甚者还会引起新的流行高峰，改变流行态势。这方面我们做的不够。.我们建立的三个模型都比较常用，易理解，可以在很多方面进行推广使用。三. SARS对旅游业影响的模型1、问题的提出从2002年年底开始，中国部分地区和世界部分地区相继发现了非典型肺炎疫情（“非典”）。世界卫生组织（WHO）与2003年3月15将该传染性疾病命名为“SARS”,并向全球发出旅游警告，建议各国不要前往SARS病例多发的国家和地区。我国政府也将其列为法定的传染病进行依法管理，并发出了切实做好防止通过旅游途径传播和扩散的紧急通知。旅游业的兴衰关系到一个国家的经济发展，因此如何最大限度减小非典对旅游业的影响意义重大。据有关资料介绍，北京市主要旅游景点的游客人数和门票收入在近一个月来受到非典的影响，与去年同期相比游客数目显著下降。以外地、境外游客为主的北京市著名景点，三月初受到的影响不明显，四月初开始受到影响，月日、日开始尤为明显。外宾减少，外省的游客减少暂时不明显，但也会迅速下降。以北京市市民和国内游客为主的旅游景点，游客减少左右。面对如此的萧条影响，这就需要我们建立一个相关的数学模型，对此进行预测。 2、模型的分析“非典”发生以来，旅游业遭受重创。非典对旅游业的影响可从下面情况考虑：（1） 旅游心理的作用，公众恐惧心理在一定程度上动摇了旅游者的消费信念，抑制了旅游的需求。（2） 旅游业工作人员工资福利剧减，下岗人数开始增多。（3） 旅游社出现全面亏损，中小旅行社面临停业倒闭的现象。（4） 与旅游相关的产业，如饭店营业收入遭到严重损失。为了简化建模的需要，在此我们只考虑了主要的影响因素：政府对旅游业的举措和旅游者心理的变化。其中旅游者的心理作用即恐惧程度根据病人数的多少而相应改变，因此心理作用相对于病人数变化有一定的滞后时间。因为SARS疫情的发展呈现阶段性，所以我们也把“非典”对旅游的影响分为三个阶段。结合疫情发展的时间特征及表中数据的，我们作如下划分：第一阶段1月初到3月末，虽然此时已有SARS病例，但人们对SARS了解极少，而且政府也没有采取有效的措施，所以该阶段对非典的影响近似为0。第二阶段4月初到6月末，此阶段SARS疫情经历了爆发、缓和、完全控制的过程。第三阶段7月、8月，,由于7月10号北京解禁,再加上政府政策上的支持,所以此阶段正是旅游业的复兴阶段。3、模型的假设1)在第二阶段中，t时刻政府对旅游业的态度与t时刻病人数成线形关系2)人们的恐慌心理作用相对于病人数的变化滞后时间为10天3)在第二、三阶段中t时刻人们的恐慌心理作用与t+10时刻病人线性关系4)在第三阶段中，政府对旅游业的态度为常数4、符号说明x(t)： t时刻海外来京的旅游者人数r ： 正常情况下单位时间海外来京的旅游者人数的变化率I(t)： t时刻的病人数H(t):：政府对旅游业的态度M(t)：人们的心理恐慌度5、模型建立 由假设可得模型：(11) (12) (13)6、模型的计算此模型的关键是计算，即确定系数r、 a、 b 、c，写出x关于t的函数。为此我们采用mathematic数学工具中的NonlinearFit进行数据拟合操作。1)：首先对I(t) 用Mat lab进行3次数据拟合操作，得出 较为合理的结论。I(t)=0.34191t3-4.9743t2+176.34t+79.954拟合效果如图2所示：图22): 在此基础上运用NonlinearFit对数据进行拟合与计算，得出7、模型的评价该模型把原来离散的时间（天）看成连续变量，从众多影响因素中提炼出对旅游业影响最大的两个因素，建立常微分方程模型。建模的方法简单易懂，关键是模型的求解。上面求解过程的这种处理方法，完全借助了计算机，把复杂的求解问题给简单化，效果较好,可以推广到非典后的其他服务等行业。四、建立传染病模型的重要性随着卫生设施的改善，医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱，天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的抵制。但是一些新的，不断变异着的传染病毒去悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的艾滋病毒开始肆虐全球，至今仍在蔓延；2003年春的来历不明的SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome）病毒,它是严重性呼吸道综合症，在全世界范围内传播的传染病。它给我国经济发展和人民生活带来很大影响。传染病数学模型的建立可以帮助人民了解疾病的传播，进而为公共卫生部采取措施控制疫情提供有价值的参考。具体来说我们可以从已建立的模型中，考虑影响疾病传播的一些参数，并分析这些参数，看那些参数对疾病传播影响较大。这样可以使政府采取相应措施，来控制这些参数的变化。并通过数据拟合等手段对模型进行求解和模拟，可以形象地描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来， 采取及时有效的防治措施，使人民的生命财产损失降到最低限度。所以建立传染病数学模型的是十分重要的。参考文献：数学模型 第三版 姜启源 编 高教出版社数学模型 第二版 任善强、雷鸣 编著 重庆大学出版社 网上下载 有关数学建模及有关非典的知识介绍及非典对旅游业产生的影响。