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數學課語言運用數學課語言運用馮振業馮振業香港教育學院數社科技學系香港教育學院數社科技學系強調把生活元素帶入數學課堂人，极少在意生活用語和數學語強調把生活元素帶入數學課堂人，极少在意生活用語和數學語言分別。生活用語精確性和邏輯性，普通都不及數學語言高。言分別。生活用語精確性和邏輯性，普通都不及數學語言高。一面倒地使用生活用語，儘管能够令課堂互動變得平易近人，一面倒地使用生活用語，儘管能够令課堂互動變得平易近人，卻存在扭曲或混同數學風險。相反地，過份强調嚴格數學語言，卻存在扭曲或混同數學風險。相反地，過份强調嚴格數學語言，學生或會有吃不消感覺。怎样在教學上取得良好平衡，以至帶學生或會有吃不消感覺。怎样在教學上取得良好平衡，以至帶領學生從生活用語過渡至數學用語，正是教師專業工作一大挑領學生從生活用語過渡至數學用語，正是教師專業工作一大挑戰。講者將指出一些碰過例子，藉以提升教師警覺性。戰。講者將指出一些碰過例子，藉以提升教師警覺性。第1页大綱大綱v生活用語和數學用語分歧生活用語和數學用語分歧v數學用語：定義數學用語：定義v數學用語：命題數學用語：命題v數學用語：程序數學用語：程序v提問提問v實例評析實例評析第2页生活用語和數學用語分歧生活用語和數學用語分歧v精確性精確性v邏輯性邏輯性第3页精確性精確性v生活用語生活用語v數學用語數學用語統計統計數字數字統計統計數數數字數字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9數數：0、91、23.5、3、第4页精確性精確性v生活用語生活用語v數學用語數學用語活動乜嘢活動乜嘢時間時間開始？開始？活動喺乜嘢活動喺乜嘢時時刻刻開始？開始？第5页邏輯性邏輯性v生活用語生活用語v數學用語數學用語平行四邊形能够分割平行四邊形能够分割成兩個完全相同三角成兩個完全相同三角形，三角形面積就是形，三角形面積就是平行四邊形二分之一。平行四邊形二分之一。因為任何兩個完全相同因為任何兩個完全相同三角形都可拼成一個平三角形都可拼成一個平行四邊形，所以三角形行四邊形，所以三角形面積就是這樣拼成平行面積就是這樣拼成平行四邊形面積二分之一。四邊形面積二分之一。第6页邏輯性邏輯性v生活用語生活用語v數學用語數學用語由於算式由於算式12 8 4中中8不能除盡不能除盡12，我哋，我哋能够先計算能够先計算12 4，然，然後再除後再除8。因為分數乘法有結合和因為分數乘法有結合和交換性質，所以交換性質，所以因為不能因為不能整除整除，所以能，所以能够改變運算次序？够改變運算次序？12 8 4=(12 4)812 8 4=12 4 812 8 4=8112 481=12 4=12 4 8 第7页邏輯性邏輯性v生活用語生活用語v數學用語數學用語四邊形有哪幾種？四邊形有哪幾種？你知道哪幾種四邊形？你知道哪幾種四邊形？第8页邏輯性邏輯性v生活用語生活用語v數學用語數學用語長方體是由六個矩形長方體是由六個矩形圍成立體圖形，其中圍成立體圖形，其中有四個或六個是長方有四個或六個是長方形。形。長方體是由六個矩形圍長方體是由六個矩形圍成立體圖形，其中成立體圖形，其中最少最少有一個有一個是長方形。是長方形。第9页數學用語：定義數學用語：定義v數學概念精確描述稱為定義數學概念精確描述稱為定義v假如學生能够運用，有定義比沒有好假如學生能够運用，有定義比沒有好v假如不下定義，就不要問：為甚麽假如不下定義，就不要問：為甚麽XXX不不是是/是是YYYv小心不要下錯定義小心不要下錯定義角錐是由平面圍成立體圖形，其中一面是角錐是由平面圍成立體圖形，其中一面是個多邊形，其餘都是三角形。個多邊形，其餘都是三角形。第10页數學用語：命題數學用語：命題v要區分條件和結論要區分條件和結論六角錐六角錐7有個頂、有個頂、12條棱和條棱和7個面。個面。假如假如一個立體圖形是六角錐一個立體圖形是六角錐，它就，它就有有7個頂、個頂、12條棱和條棱和7個面個面。條件條件結論結論第11页數學用語：命題數學用語：命題v要分清歸納解釋和演繹解釋要分清歸納解釋和演繹解釋一個角錐和一個角柱，不可能有完全相同頂一個角錐和一個角柱，不可能有完全相同頂數、棱數和面數。數、棱數和面數。列出三至二十角錐和三至二十角柱頂數、棱列出三至二十角錐和三至二十角柱頂數、棱數和面數，發現不可能三數都相同。數和面數，發現不可能三數都相同。歸納歸納由於角錐頂數和面數相同，而由於角錐頂數和面數相同，而m(2)角柱頂角柱頂數是數是2m，面數是，面數是m+2，不可能相等，所以，不可能相等，所以一個角錐和一個角柱不可能頂數和面數都相一個角錐和一個角柱不可能頂數和面數都相同。同。演繹演繹第12页數學用語：命題數學用語：命題v要分清本命題和逆命題要分清本命題和逆命題假如假如一個多面體是六角錐一個多面體是六角錐，它就，它就有有7個頂、個頂、12條棱和條棱和7個面個面。假如假如一個多面體有一個多面體有7個頂、個頂、12條棱條棱和和7個面個面，它就，它就是一個六角錐是一個六角錐。本命題本命題逆命題逆命題本命題顯然是對，逆本命題顯然是對，逆命題又怎样？命題又怎样？第13页數學用語：命題數學用語：命題v要小心命題否定要小心命題否定假如可找到一直線，使得沿它把圖形對摺，兩假如可找到一直線，使得沿它把圖形對摺，兩邊圖形會完全重疊，便稱此圖為對稱圖。邊圖形會完全重疊，便稱此圖為對稱圖。無論沿哪一直線把圖形對摺，兩邊圖形都不會無論沿哪一直線把圖形對摺，兩邊圖形都不會完全重疊，所以這圖不是對稱圖。完全重疊，所以這圖不是對稱圖。命題否定命題否定命題命題第14页考考你考考你v造一個六角錐支架要用竹簽造一個六角錐支架要用竹簽12支和泥膠支和泥膠7枚枚 v用竹簽用竹簽12支和泥膠支和泥膠7枚就可造一個六角錐支架枚就可造一個六角錐支架 試比較上述命題在教學應試比較上述命題在教學應用上會帶來怎樣效果。用上會帶來怎樣效果。第15页數學用語：程序數學用語：程序v一套用以完成某一類別任務機械化工序一套用以完成某一類別任務機械化工序v普通性：不依著特定例子、可廣泛使用普通性：不依著特定例子、可廣泛使用將帶分數整數部分乘以帶將帶分數整數部分乘以帶分數分母，然後加帶分數分數分母，然後加帶分數分子，即成假分數分子；分子，即成假分數分子；保留帶分數分母作假分數保留帶分數分母作假分數分母分母635將將化成假分數：化成假分數：將將3乘乘6，再加，再加5，放在分子；，放在分子；分母照舊分母照舊第16页提問提問v清楚可答清楚可答v(高層次高層次)問題分類問題分類v帶領思索帶領思索第17页清楚可答清楚可答v乘加混合計算要怎樣做？乘加混合計算要怎樣做？v算式中有乘又有加時，怎样決定運算先後次序？算式中有乘又有加時，怎样決定運算先後次序？v正方形和菱形比較，令你想起正方形和長方形比較正方形和菱形比較，令你想起正方形和長方形比較時哪些特征？時哪些特征？v正方形和菱形有哪些特征是相同？正方形和長方形正方形和菱形有哪些特征是相同？正方形和長方形也有一些特征是相同，你能說說嗎？也有一些特征是相同，你能說說嗎？v我們會怎麼劃分這些圖形類別？我們會怎麼劃分這些圖形類別？v我們應怎樣把這些圖形歸類？我們應怎樣把這些圖形歸類？第18页(高層次高層次)問題分類問題分類v從性質分：回憶、觀察、思索從性質分：回憶、觀察、思索記得兩位數減法怎樣計算嗎？記得兩位數減法怎樣計算嗎？以下四邊形對邊有何關係？以下四邊形對邊有何關係？固定了長方形周界，能够怎樣增加固定了長方形周界，能够怎樣增加它面積？它面積？第19页(高層次高層次)問題分類問題分類v從覆蓋分：特殊、普通從覆蓋分：特殊、普通怎樣把正方形分割成怎樣把正方形分割成4個直角三角形？個直角三角形？怎樣把一個四邊形分割成怎樣把一個四邊形分割成4個直角三角形？個直角三角形？第20页帶領思索帶領思索v形成一個概念及相關語言形成一個概念及相關語言v提煉經驗背後原理提煉經驗背後原理v創造解決問題方案創造解決問題方案v建立及改良表達方式建立及改良表達方式第21页學生透過描述形狀，形成對圓柱體認識。學生透過描述形狀，形成對圓柱體認識。形成一個概念及相關語言形成一個概念及相關語言v教師拿著三種不一样包庄朱古力：教師拿著三種不一样包庄朱古力：父亲來電問你想買哪一款朱古力，父亲來電問你想買哪一款朱古力，你怎樣告訴他你想買左面一款？你怎樣告訴他你想買左面一款？第22页學生觀察一批鐘面圖畫，歸納出時正鐘面，分針學生觀察一批鐘面圖畫，歸納出時正鐘面，分針指著指著12，時針分別指著，時針分別指著1、2、12。提煉經驗背後原理提煉經驗背後原理v教師一面撥動聯動鐘，一面報出時正和時半教師一面撥動聯動鐘，一面報出時正和時半各個時刻，然後張貼鐘面圖畫，標明時間。各個時刻，然後張貼鐘面圖畫，標明時間。接著問：顯示時正鐘面，有乜嘢係相同嘅接著問：顯示時正鐘面，有乜嘢係相同嘅？有乜嘢係唔同嘅？有乜嘢係唔同嘅？第23页創造解決問題方案創造解決問題方案v巴士有乘客巴士有乘客41人，下層比上層少人，下層比上層少7人，問上層有乘人，問上層有乘客幾人？客幾人？v教師貼出以下圖畫，然後問：我哋唔知上、下兩教師貼出以下圖畫，然後問：我哋唔知上、下兩層各有乘客幾多人。但有乜嘢係已知嘅呢？層各有乘客幾多人。但有乜嘢係已知嘅呢？上層乘客上層乘客下層乘客下層乘客v當學生答出題中已知之後，教師畫出乘客圖畫，當學生答出題中已知之後，教師畫出乘客圖畫，然後問：應該點樣將已知嘅資料喺圖畫度表示然後問：應該點樣將已知嘅資料喺圖畫度表示呢？呢？第24页創造解決問題方案創造解決問題方案v引導學生指出引導學生指出41和和7對應圖畫哪個部分，然後標明。對應圖畫哪個部分，然後標明。v當學生說出紅框內有當學生說出紅框內有34人後，問：呢個數同邊人後，問：呢個數同邊一層嘅乘客人數有關呢？一層嘅乘客人數有關呢？v接著問：根據呢接著問：根據呢D資料，你可作出乜野嘅推論呢資料，你可作出乜野嘅推論呢？圖中邊部分嘅人數係能够揾到嘅呢？圖中邊部分嘅人數係能够揾到嘅呢？41人人7人人上層乘客上層乘客下層乘客下層乘客第25页這裏提問目标，是要讓學生從讀者角這裏提問目标，是要讓學生從讀者角度思索，看看怎樣表達較清楚。度思索，看看怎樣表達較清楚。建立及改良表達方式建立及改良表達方式v教師展示兩道問題：教師展示兩道問題：17人能够坐滿人能够坐滿5人士多少部？人士多少部？17人乘士，需要人乘士，需要5人士多少部？人士多少部？v教師問：兩題怎樣列式？答案是甚麼？教師問：兩題怎樣列式？答案是甚麼？v在學生列出在學生列出17 5=3 2 及說出正確答案及說出正確答案後，教師問：兩題答案不一样，列式卻一後，教師問：兩題答案不一样，列式卻一樣，豈不是轻易混同？怎樣表達可令人看樣，豈不是轻易混同？怎樣表達可令人看得明白一些？得明白一些？第26页考考你考考你v你會怎樣量度燈柱高度？你會怎樣量度燈柱高度？v能够怎樣量度燈柱高度？能够怎樣量度燈柱高度？v應該怎樣量度燈柱高度？應該怎樣量度燈柱高度？v怎樣找到燈柱高度？怎樣找到燈柱高度？v應該用甚麽單位量度燈柱高度？應該用甚麽單位量度燈柱高度？試評論上述問題在教學應試評論上述問題在教學應用上會帶來怎樣效果。用上會帶來怎樣效果。第27页實例評析實例評析v亂用詞語亂用詞語量度單位、量度工具、量度方法量度單位、量度工具、量度方法用用厘米厘米作作單位單位量度書桌長度。量度書桌長度。用用厘米尺厘米尺作作工具工具量度書桌長度。量度書桌長度。量度書桌長度量度書桌長度方法方法：第28页實例評析實例評析v亂用詞語亂用詞語準確準確用鉛筆作單位量度黑板長度用鉛筆作單位量度黑板長度用厘米尺作工具量度樹葉周界用厘米尺作工具量度樹葉周界唔準確唔準確。唔準確唔準確。唔可行唔可行。不及用不及用XX作單位來得準確作單位來得準確。第29页實例評析實例評析v亂用詞語亂用詞語方便方便用鉛筆作單位量度黑板長度用鉛筆作單位量度黑板長度計算一位數乘以兩位數時，把兩計算一位數乘以兩位數時，把兩數位置對掉，數位置對掉，計算會方便些計算會方便些。唔方便唔方便。可減少一行直式計算可減少一行直式計算。無法有效地與別人溝通無法有效地與別人溝通。第30页實例評析實例評析v教師展示以下三道算式，然後問：這三條算式教師展示以下三道算式，然後問：這三條算式有什麼相同地方？有什麼相同地方？2 6=1212 2=612 6=2都有等號都有等號都是偶數都是偶數都有都有1、2、6幾個數字幾個數字2都出現兩次都出現兩次第31页實例評析實例評析v教師展示下圖，然後問：細心觀察後，你看到教師展示下圖，然後問：細心觀察後，你看到了什麼？了什麼？貓貓鐘貓貓鐘第32页實例評析實例評析v教師：什麼叫錐體？（此時，教師手上並沒持有任何立體圖形模型）教師：什麼叫錐體？（此時，教師手上並沒持有任何立體圖形模型）v學生學生1：有一些角，是尖！：有一些角，是尖！v教師：對了！答得好！柱體就是上面和下面是一樣！而且大小都一樣！錐教師：對了！答得好！柱體就是上面和下面是一樣！而且大小都一樣！錐體下面是平，而上面則是尖！體下面是平，而上面則是尖！v接著，教師出示了一個三角柱體模型，並且如以下方式擺放。接著，教師出示了一個三角柱體模型，並且如以下方式擺放。v然後，教師又繼續提問學生：然後，教師又繼續提問學生：v教師：這是什麼？教師：這是什麼？v學生學生2：三角錐體！：三角錐體！v教師：為什麼呢？教師：為什麼呢？v學生學生2：因為它下面是平，而上面則是尖！：因為它下面是平，而上面則是尖！第33页實例評析實例評析v通過動手操作活動，學生能夠說出通過動手操作活動，學生能夠說出(當三個立當三個立體或以上疊起時體或以上疊起時)只有柱體能够疊起來，而錐只有柱體能够疊起來，而錐體和球體則不能够。體和球體則不能够。第34页實例評析實例評析v教師向學生展示三個不一样大小正方形以下：教師向學生展示三個不一样大小正方形以下：ABCv師：為甚麼這些正方形有大有小？是甚麽影響它們大小？師：為甚麼這些正方形有大有小？是甚麽影響它們大小？v生：因為它們面積不一样。（學生未能解釋當中原因）生：因為它們面積不一样。（學生未能解釋當中原因）v師：是甚麽令到它們面積不一样？師：是甚麽令到它們面積不一样？v生：因為它們邊長不一样生：因為它們邊長不一样你猜教師在教甚麽？你猜教師在教甚麽？矩形周界！矩形周界！第35页實例評析實例評析v在課室內，哪裏能够找到直角？在課室內，哪裏能够找到直角？直線直線和和直線直線相交生成相交生成這個直角這個直角第36页結語結語v數學語言運用與數學知識掌握密不可分數學語言運用與數學知識掌握密不可分v學好數學語言與學好其它語言一樣，需要長學好數學語言與學好其它語言一樣，需要長時間浸淫在適當語言環境之中時間浸淫在適當語言環境之中v不要假設學生對嚴謹數學語言必定抗拒不要假設學生對嚴謹數學語言必定抗拒v朗讀重點片語和句子有助學生適應數學語言朗讀重點片語和句子有助學生適應數學語言第37页謝謝各位！謝謝各位！第38页
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