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大学概率论与数理统计必过复习资料及试题解析(绝对好用).doc

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资源描述

1、 概率论与数理统计复习提要 第一章 随机事件与概率 1事件的关系 2运算规则 (1) (2) (3) (4) 3概率满足的三条公理及性质: (1) (2) (3)对互不相容的事件,有 (可以取) (4) (5) (6),若,则, (7) (8) 4古典概型:基本事件有限且等可能 5几何概率 6条件概率 (1) 定义:若,则 (2) 乘法公式: 若为完备事件组,则有 (3) 全概率公式: (4) Bayes公式: 7事件的独立性: 独立 (注意独立性的应用) 第二章 随机变量与概率分布 1 离散随机变量:取有限或可列个值,满足(1),(2) (3)对任意, 2 连续随机变量:具有概率密度函数,满

2、足(1) (2) ; (3)对任意, 4 分布函数 ,具有以下性质 (1);(2)单调非降;(3)右连续; (4),特别; (5)对离散随机变量, ; (6) 为连续函数,且在连续点上, 5 正态分布的概率计算 以记标准正态分布的分布函数,则有 (1);(2);(3)若,则 ; (4)以记标准正态分布的上侧分位数,则 6 随机变量的函数 (1)离散时,求的值,将相同的概率相加; (2)连续,在的取值范围内严格单调,且有一阶连续导数, ,若不单调,先求分布函数,再求导。 第三章 随机向量 1 二维离散随机向量,联合分布列,边缘分布 ,有 (1);(2 (3), 2 二维连续随机向量,联合密度,边

3、缘密度,有 (1);(2) (4) (3); , 3 二维均匀分布,其中为的面积 4 二维正态分布 且; 5 二维随机向量的分布函数 有 (1)关于单调非降;(2)关于右连续; (3); (4),; (5); (6)对二维连续随机向量, 6随机变量的独立性 独立 (1) 离散时 独立 (2) 连续时 独立 (3) 二维正态分布独立,且 7随机变量的函数分布 (1) 和的分布 的密度(2) 最大最小分布 第四章 随机变量的数字特征 1期望 (1) 离散时 (2) 连续时 , ; ,; (3) 二维时 , (4);(5); (6); (7)独立时, 2方差 (1)方差,标准差(2); (3); (

4、4)独立时, 3协方差 (1); ; ; (2) (3); (4)时,称不相关,独立不相关,反之不成立,但正态时等价; (5) 4相关系数 ;有, 5 阶原点矩, 阶中心矩 第五章 大数定律与中心极限定理 1Chebyshev不等式 2大数定律 3中心极限定理 (1)设随机变量独立同分布, 或 , 或 或 , (2)设是次独立重复试验中发生的次数,则对任意, 或理解为若,则 第六章 样本及抽样分布 1总体、样本 (1) 简单随机样本:即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法); (2) 样本数字特征: 样本均值(,); 样本方差 )样本标准 样本阶原点矩,样本阶中心矩 2统计量:样本的函数

5、且不包含任何未知数 3三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义) (1)分布 ,其中 标准正态分布,若 且独立,则; (2)分布 ,其中且独立; (3)分布 ,其中 性质 4正态总体的抽样分布 (1); (2 ; (3 且与独立; (4) ; ,(5) (6) 第七章 参数估计 1矩估计: (1)根据参数个数求总体的矩;(2)令总体的矩等于样本的矩;(3)解方程求出矩估计 2极大似然估计: (1)写出极大似然函数;(2)求对数极大似然函数(3)求导数或偏导数;(4)令导数或偏导数为0,解出极大似然估计(如无解回到(1)直接求最大值,一般为min或max) 3估计量的评选原则 ,则为无偏

6、; (2) 有效性:两个无偏估计中方差小的有效; (1)无偏性:若 概率论与数理统计期末试题(2)与解答 一、填空题(每小题3分,共15分) 1 设事件仅发生一个的概率为0.3,且,则 生的概率为 2 设随机变量服从泊松分布,且,则_. 3 设随机变量在区间上服从均匀分布,则随机变量在区间 密度为 4 设随机变量相互独立,且均服从参数为的指数分布,_, 5 设总体的概率密度为 是来自的样本,则未知参数的极大似然估计量为 解:1 即 所以 . 2 由 知 即 解得 ,故 . 3设的分布函数为的分布函数为,密度为则 因为,所以,即 故 另解 在上函数 严格单调,反函数为 所以 4 ,故 . 5似然

7、函数为 解似然方程得的极大似然估计为 二、单项选择题(每小题3分,共15分) 1设为三个事件,且相互独立,则以下结论中不正确的是 (A)若,则与也独立. (B)若,则 (C)若,则 与也独立. 与也独立 (D)若,则与也独立. ( ) 2设随机变量的分布函数为,则的值为 (A). (B) (C). (D). ( ) 3设随机变量和不相关,则下列结论中正确的是 (A)与独立. (B) (C). (D). ( ) 4设离散型随机变量和的联合概率分布为 若独立,则的值为 (A). (A). . ( ) (C) (D) 5设总体的数学期望为为来自的样本,则下列结论中 正确的是 (A)X1是的无偏估计量

8、. (B)X1是的极大似然估计量. (C)X1是的相合(一致)估计量. (D)X1不是的估计量. ( ) 解:1因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立,所以(A),(B),(C)都是正确的,只能选(D) 事实上由图 可见A与C不独立 2所以 3由不相关的等价条件知应选(B). 4若独立则有 应选(A). 2 =, 9 故应选(A) 5,所以X1是的无偏估计,应选(A). 三、(7分)已知一批产品中90% 0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率;(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解:设任取一产品,经检验认

9、为是合格品 任取一产品确是合格品 则(1) (2) . 四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3 件是相互独立的,并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数,求的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解:的概率分布为 即 的分布函数为 五、(10分)设二维随机变量在区域 匀分布. 求(1)关于的边缘概率密度;(2)的分布函数与概率密 (1)的概率密度为 (2)利用公式 其中 当 或时 时 故的概率密度为 的分布函数为 或利用分布函数法 六、(10分)向一目标射击,目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标和纵坐标 互独立,且均服从分布. 求(1)命中环形区域的概率;(2)命中点到目标中心距离

10、1) ; (2) . 七、(11分)设某机器生产的零件长度(单位:cm),今抽取容量为16 样本,测得样本均值,样本方差. (1)求的置信度为0.95 区间;(2)检验假设(显著性水平为0.05). (附注) 解:(1)的置信度为下的置信区间为 所以的置信度为0.95的置信区间为(9.7868,10.2132) (2)的拒绝域为 , 因为 ,所以接受 概率论与数理统计期末试题(3)与解答 一、填空题(每小题3分,共15分) (1) 设事件与相互独立,事件与互不相容,事件与互不相容, ,则事件、中仅发生或仅 概率为 (2) 甲盒中有2个白球和3个黑球,乙盒中有3个白球和2个黑球,今从每个盒中各取

11、 个球,发现它们是同一颜色的,则这颜色是黑色的概率为 (3) 设随机变量的概率密度为 现对 察,用表示观察值不大于0.5的次数,则_. (4) 设二维离散型随机变量的分布列为 若,则 (5) 设是总体的样本,是样本方差,若, (注:, , , ) 解:(1) 因为 与不相容,与不相容,所以,故 同理 . . (2)设四个球是同一颜色的, 四个球都是白球,四个球都是黑球 则 . 所求概率为 所以 (3) 其中 , , (4)的分布为 这是因为 ,由 得 , 故 (5) 即 ,亦即 . 二、单项选择题(每小题3分,共15分) (1)设、为三个事件,且,则有 (A) (B) (C) (D) (2)设

12、随机变量的概率密度为 且,则在下列各组数中应取 (A) (B) (C). (D) (3)设随机变量与相互独立,其概率分布分别为 则有 ( ) ) (A) (B) (C) (D) ( ) (4)对任意随机变量,若存在,则等于 (A) (B) (C) (D) ( ) (5)设 为正态总体的一个样本,表示样本均值,则的 置信度为的置信区间为 (B) (C) ( ) (D) 解 (1)由知,故 (A) 应选C. (2) 即 时 故当 应选 (3) 应选 (4) 应选 (5)因为方差已知,所以的置信区间为 应选D. 三、(8分)装有10件某产品(其中一等品5件,二等品3件,三等品2件)的 箱子中丢失一件

13、产品,但不知是几等品,今从箱中任取2件产品,结果都 是一等品,求丢失的也是一等品的概率。 解:设从箱中任取2件都是一等品 丢失等号 . 则 ; 所求概率为 四、(10分)设随机变量的概率密度为 求(1)常数; (2)的分布函数; (3) 解:(1) (2)的分布函数为 (3) 五、(12分)设的概率密度为 求(1)边缘概率密度; (2); (3)的概率密度 (2) (3) 时 时 六、(10分)(1)设,且与独立,求; (2)设且与独立,求. ; (2)因相互独立,所以 七、(10分)设总体的概率密度为 试用来自总体的样本,求未知参数的矩估计和极大似然估计 解:先求矩估计 故的矩估计为 再求极

14、大似然估计 所以的极大似然估计为 概率论与数理统计期末试题(4)与解答 一、填空题(每小题3分,共15分) (1) 设,,则至少发生一个的概率为 (2) 设服从泊松分布,若,则 (3) 设随机变量的概率密度函数为 今对进行8 独立观测,以表示观测值大于1的观测次数,则 (4) 的指数分布,由5个这种元件串联而组成的系统,能够 正常工作100小时以上的概率为 (5) 设测量零件的长度产生的误差服从正态分布,今随机地测量16 ,. 在置信度0.95下,的置信区间为 得 (2) 故 . 解:(1) (3),其中 . (4)设第件元件的寿命为,则求概率为 (5)的置信度下的置信区间为 . 系统的寿命为

15、, 所以的置信区间为(). 二、单项选择题(下列各题中每题只有一个答案是对的,请将其代号填入( ) 中,每小题3分,共15分) (1)是任意事件,在下列各式中,不成立的是 (A) (B) (C) . . (D). ( ) (2)设是随机变量,其分布函数分别为,为使 是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值 中应取 . (B). (C). (D). ( ) (3)设随机变量的分布函数为,则的分布函数为 (A) (A). (B) . (D). ( ) (4)设随机变量的概率分布为 . 且满足,则的相关系数为 (C) . (C). (D). ( ) 相互独立,根据切比 (5)设随机变量 雪夫不

16、等式有 (A)0. (B . (C). (D). ( ) 解:(1)(A):成立,(B): 应选(B) (A). (B) (2). 应选(C) (3) 应选(D) (4)的分布为 ,所以, 于是 . 应选(A) (5) 由切比雪夫不等式 应选(D) 三、(8分)在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为的泊松分布,而进入 超市的每一个人购买种商品的概率为,若顾客购买商品是相互独立的, 求一天中恰有个顾客购买种商品的概率。 解:设一天中恰有个顾客购买种商品 一天中有个顾客进入超市 则 四、(10分)设考生的外语成绩(百分制)服从正态分布,平均成绩(即参 数之值)为72分,96以上的人占考生总数的2.

17、3%,今任取100个考生 的成绩,以表示成绩在60分至84分之间的人数,求(1)的分布列. (2) 和. 解:(1),其中 由 得 所以 故的分布列为 (2),. 五、(10分)设在由直线及曲线y 上服从均匀分布, (1)求边缘密度和,并说明与是否独立. (2)求. 解:区域D的面积 的概率密度为 所围成的区域 (1) (2)因,所以不独立. (3) . 六、(8分)二维随机变量在以为顶点的三角形区 域上服从均匀分布,求的概率密度。 设的概率密度为,则 当 或时 当 时 所以的密度为 解2:分布函数法,设的分布函数为,则 故的密度为 七、(9分)已知分子运动的速度具有概率密度 为的简单随 机样

18、本 (1)求未知参数的矩估计和极大似然估计; (2)验证所求得的矩估计是否为的无偏估计。 解:(1)先求矩估计 再求极大似然估计 得的极大似然估计 (2)对矩估计 是的无偏估计 所以矩估计 八、(5分)一工人负责台同样机床的维修,这台机床自左到右排在一条直 线上,相邻两台机床的距离为(米)。假设每台机床发生故障的概率均为 ,且相互独立,若表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走 的路程,求 解:设从左到右的顺序将机床编号为 为已经修完的机器编号,表示将要去修的机床号码,则 于是 概率论与数理统计试题(5) 一、 判断题(每小题3分,本题共15分。正确打“”,错误打“”) 设A、B是中的随机

19、事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B) ( ) 设A、B是中的随机事件,则AB=AABB ( ) 若X服从二项分布b(k;n,p), 则EX=p ( 样本均值= 是母体均值EX的一致估计 ( ) XN(,) , YN(,) ,则 XYN(0, ) ( ) 二、 计算(10分) (1)教室里有个学生,求他们的生日都不相同的概率; (2)房间里有四个人,求至少两个人的生日在同一个月的概率 三、(10分) 设,证明、互不相容与、 立 四、(15分)某地抽样结果表明,考生的外语成绩 绩(即参数之值)为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。分布表如下

20、 x 0 1 1.5 2 2.5 (x) 0.5 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 五、(15分) 设的概率密度为 问是否独立? 六、(20分)设随机变量服从几何分布,其分布列为 , 求与 七、(15分)设总体服从指数分布 试利用样本,求参数的极大似然估计 八 概率论与数理统计试题(5)评分标准 一 ; ; ; ; 。 二 解 (1)设他们的生日都不相同,则 -5分 (2)设至少有两个人的生日在同一个月,则 ; 或 -10分 三 证 若、互不相容,则,于是 所以 、不相互独立.-5分 若、相互独立,则,于是, 即、不是互不相容的.-5分 四 解 -3分 -7分 所求概率为 分 =2(1)-1=20.841-1=0.682-15分 五 解 边际密度为 -5分 -

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