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借助整体思想巧妙解答初中数学难题刘焕(安徽省合肥市第三十中学 2 3 0 0 4 1)【摘要】整体思想是初中数学解题中应用率较高的数学思想之一,在中考中多有考查.本文结合教学实践,展示整体思想在方程组、代入求值、比较大小、绝对值、综合类习题中的应用.应用整体思想应吃透题干,对已知条件进行巧妙变形与转换,才能提高解题效率,游刃有余.【关键词】初中数学;整体思想;解题初中数学教学中,为进一步提高学生的解题能力、解题水平,应引导学生夯实数学基础,理解与掌握数学定理、运算法则,尤其做好数学思想的灌输与渗透,创设有难度、有深度的习题情境,示范整体思想的具体应用过程,强调应用细节与注意事项,有效激活与锻炼学生的解题思维.1 解答方程组习题解方程组是初中数学的重要知识点.授课中除教会学生通法通解还应注重习题难度的延伸,通过整体思想在解题中的应用展示,加深学生对解方程组本质的理解,积累整体思想应用经验.例1 已 知 关 于x1,x2,x3的 方 程 组 为x1+x2=a1 x2+x3=a2 x3+x1=a3 ,其中a1a2a3,则x1,x2,x3的大小关系为.解析 习题给出的是方程组,而且只知道a1,a2,a3的大小关系,而问题要比较x1,x2,x3的大小,可联想到采用整体思想,通过式子相减进行比较.-,得x1-x3=a1-a2,-,得x2-x1=a2-a3,-,得x2-x3=a1-a3,由a1a2a3,得a1-a20;a2-a30,a1-a30,即x1x3,x2x1,x2x3,因此x2x1x3.2 解答代入求值习题代入求值是初中数学常考常新的一种题型.一般情况下,解题时先对已知条件进行整理、转化,建立与要求解问题的内在联系,对于难度较大的习题,往往运用整体思想转化已知条件,实现对要求解问题的高效突破.例2 已知a+d2=2 0 0 7,b+d2=2 0 0 8,c+d2=2 0 0 9,且a b c=2 4,求A=ab c+bc a+ca b-1a-1b-1c的值.解析 给出的已知条件涉及的数值较大,直接代入难度较大,计算繁琐.观察已知条件的数量关系进行适当变形,在整体思想指引下,可化繁为简,提高解题效率.由a+d2=2 0 0 7,b+d2=2 0 0 8,c+d2=2 0 0 9,可得a-b=-1,b-c=-1,c-a=2;A=a2a b c+b2a b c+c2a b c-b ca b c-a ca b c-a ba b c=1a b ca2+b2+c2-b c-a c-a b =12a b c(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 =14 81+1+4 =18.3 解答比较大小习题作差和作商是解答初中数学习题的常用思路.但是对于一些难度较大、情境特殊的习题则需要运用整体思想通过巧妙的换元、变形,实现陌生情境向熟悉情境的转化,在此基础上进行作差、作商.例3 已知a1,a2,a3,a4,a2 0 1 8均是正数,设A=(a1+a2+a3+a2 0 1 7)(a2+a3+a4+a2 0 1 8),B=(a1+a2+a3+a2 0 1 8)(a2+a3+42 数理天地 初中版解题技巧2 0 2 3年1 1月上a4+a2 0 1 7),则A,B的大小关系为()(A)A=B.(B)AB.(C)AB,选择(B).4 解答绝对值习题绝对值是中考数学的热门考点,解题时常和数轴结合起来进行分类讨论,考查学生能否全面也分析问题.但解题时应具体问题具体分析,突破定势思维,注重整体思想的应用.例4 已知|x1-1|+|x2-2|+|x3-3|+|x2 0 1 7-2 0 1 7|+|x2 0 1 8-2 0 1 8|=0.求代数式2x1-2x2-2x2 0 1 7+2x2 0 1 8的值.解析 根据绝对值含义不难求出x1,x2,x3,x4,x2 0 1 8的值.但是处理要求解的代数式时如采取的方法不当则难以求解.需结合提取公因式知识,运用整体思想求解.由|x1-1|+|x2-2|+|x3-3|+|x2 0 1 7-2 0 1 7|+|x2 0 1 8-2 0 1 8|=0,易得x1=1,x2=2,x3=3,x2 0 1 8=2 0 1 8;又由2n+1-2n=2n(2-1)=2n.则原式=2x2 0 1 8-2x2 0 1 7-2x2+2x1=22 0 1 8-22 0 1 7-22+2=22+2=6.5 解答综合类习题初中数学综合类习题具有知识点多、难度大、技巧性强等特点.解题时应具备灵活思维,通过细心观察,积极联系所学,从整体视角进行分析,搭建已知条件与求解问题的桥梁.例5 已知x1,x2,x3,x4,x5,x6均为正数,且满 足x2x3x4x5x6x1=1,x1x3x4x5x6x2=2,x1x2x4x5x6x3=3,x1x2x3x5x6x4=4,x1x2x3x4x6x5=6,x1x2x3x4x5x6=9,求x1+x2+x3+x4+x5+x6的值.解析 该题难度较大,技巧性较强.解答时需运用整体思想,巧妙地处理,先将已知条件相乘,得到六个数的乘积,而后分别求出对应的数值,其最后求和.由x2x3x4x5x6x1=1,x1x3x4x5x6x2=2,x1x2x4x5x6x3=3,x1x2x3x5x6x4=4,x1x2x3x4x6x5=6,x1x2x3x4x5x6=9,将其左右两边分别相乘,整理可得(x1x2x3x4x5x6)5=64(x1x2x3x4x5x6),因x1,x2,x3,x4,x5,x6均为正数,易得x1x2x3x4x5x6=6,结合已知条件可得x1=6,x2=3,x3=2,x4=62,x5=1,x6=63,则x1+x2+x3+x4+x5+x6=1+2+3+1 1 66.6 结语综上所述,上述初中数学习题情境新颖、难度大,具有较强代表性.通过对解题思路的分析、解题过程的展示,深化了学生对整体思想的重要性认识,拓宽了学生的视野,使学生把握运用整体思想解答不同习题的关键与细节,在锻炼学生解题能力上获得了较好成效,因此,授课中应结合实际情况,加以针对性的借鉴,助力初中数学课堂教学效率的提升.参考文献:1沈小军.整体思想在初中数学解题中的妙用J.语数外学习(初中版),2 0 2 0(1 2):1 9-2 0.2姜华文.浅谈整体思想在初中数学解题中的应用J.数学教学通讯,2 0 2 0(1 1):6 3-6 4.3张亚峰.“整体思想”在初中数学解题中的应用J.名师在线,2 0 1 8(3 0):5 7-5 8.522 0 2 3年1 1月上解题技巧 数理天地 初中版