解一阶线性微分方程组的代数消元法.pdf

收稿日期:2 0 2 3 0 5 0 9基金项目:辽宁省教育厅科学研究经费项目(L J K Z 0 1 0 0 7)。作者简介:刘玉忠(1 9 6 3),男,辽宁新宾人,沈阳师范大学教授,博士。第4 1卷 第4期2023年 8月沈阳师范大学学报(自然科学版)J o u r n a l o fS h e n y a n gN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)V o l.4 1N o.4A u g.2 0 2 3文章编号:1 6 7 3 5 8 6 2(2 0 2 3)0 4 0 3 4 6 0 4解一阶线性微分方程组的代数消元法刘玉忠1,曹淑怡1,张 军2(1.沈阳师范大学 数学与系统科学学院,沈阳 1 1 0 0 3 4;2.沈阳市第一三四中学,沈阳1 1 0 0 0 0)摘 要:一般地,一阶线性常系数微分方程组通常采用待定系数的方法求解,其原理是利用矩阵的若当标准型理论将其转化为求解一系列方程,进而求得方程组的解。这种解法需要矩阵理论和线性子空间的直和等基本知识,相对来说较难理解。针对一阶线性常系数微分方程组,给出一种类似于代数方程的更易于理解的新的解法即代数消元法。通过建立方程组的n个未知函数满足的若干个代数方程(约束方程),把含有n个变元的一阶线性微分方程组化为含有r(rn)个变元的一阶线性非齐次微分方程组,从而获得原方程组的解。特别地,当系数矩阵相似于对角矩阵时,可以得到传统方法的经典结论。文中举例说明了代数消元法的具体应用。关 键 词:一阶线性微分方程组;待定系数法;代数消元法;常数变易法中图分类号:O 1 7 5 文献标志码:Ad o i:1 0.3 9 6 9/j.i s s n.1 6 7 3 5 8 6 2.2 0 2 3.0 4.0 1 1A l g e b r a i ce l i m i n a t i o n m e t h o df o rs o l v i n gf i r s to r d e rl i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hc o n s t a n t c o e f f i c i e n t sL I UY u z h o n g1,C A OS h u y i1,ZHANGJ u n2(1.C o l l e g eo fM a t h e m a t i c sa n dS y s t e m sS c i e n c e,S h e n y a n g N o r m a lU n i v e r s i t y,S h e n y a n g1 1 0 0 3 4,C h i n a;2.S h e n y a n gN o.1 3 4M i d d l eS c h o o l,S h e n y a n g1 1 0 0 0 0,C h i n a)A b s t r a c t:G e n e r a l l y,f i r s to r d e rl i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a r es o l v e d b yt h e m e t h o d o fu n d e t e r m i n e dc o e f f i c i e n t sa n d t h ep r o b l e mi s c h a n g e d i n t os o l v i n ga s e r i e so fm a t r i xe q u a t i o n sb a s e do nt h e t h e o r yo f J o r d a ns t a n d a r dt y p e.T h e t h e o r yo fm a t r i xa n dt h ed i r e c t s u mo f l i n e a rs u b s p a c ea r er e q u i r e di nt h es o l u t i o n,t h e r e f o r e,t h i s m e t h o di sa b o v ec o m p r e h e n s i o n.H o w e v e r,i nt h i sp a p e ran e w m e t h o d,a l g e b r a i ce l i m i n a t i o nm e t h o d(A EM),w h i c hi se a s i e r t ou n d e r s t a n di sg i v e nf o r t h e f i r s t o r d e r l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s,a n dt h eA EMi s s i m i l a r t o t h e e l i m i n a t i o nm e t h o do fs y s t e mo f l i n e a r a l g e b r a i c e q u a t i o nw i t hn t hu n k n o w n s.I no t h e rw o r d s,b ye s t a b l i s h i n gan u m b e r o fa l g e b r a i ce q u a t i o n s(c o n s t r a i n t e q u a t i o n s)a b o u tu n k n o w nf u n c t i o n s,t h ec o n s i d e r e de q u a t i o n sh a v eb e c o m e t h e i n h o m o g e n e o u se q u a t i o n sw i t hr(rn)u n k n o w nf u n c t i o n sa n dt h e nt h es o l u t i o ni sg i v e nf o r t h eo r i g i n a l e q u a t i o n s.I np a r t i c u l a r,w h e n t h e c o e f f i c i e n tm a t r i x i s s i m i l a r t o t h ed i a g o n a lm a t r i x,t h e c l a s s i c a l c o n c l u s i o n so f t h e t r a d i t i o n a lm e t h o d s c a nb eo b t a i n e d.A ne x a m p l e i sg i v e nt oi l l u s t r a t e dt h ea p p l i c a t i o no f t h en e w m e t h o d.K e yw o r d s:f i r s to r d e rl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n;u n d e t e r m i n e dc o e f f i c i e n t sm e t h o d;a l g e b r a i ce l i m i n a t i o nm e t h o d;c o n s t a n tv a r i a t i o nm e t h o d考虑一阶线性常系数齐次微分方程组x=A x(1)其中:A=(ai,j)nn;x=(x1,x2,xn)T;x=dxdt。一阶线性常系数齐次微分方程组有许多种解法。文献1 针对工科数学学生的特点,给出一种容易理解的解法,但仅限于讨论具有2个未知函数的一阶微分方程;文献2 给出一种易于理解的向量解法,该解法同样限于讨论具有2个未知函数的一阶微分方程组;文献3 只是针对2类特殊方程组给出非齐次方程组特解的简便算法,应用范围比较有限;文献4 重点研究方程组的系数矩阵具有2个共轭复根时如何求它们对应的2个实值解,是对当今一阶微分方程组主流解法的重要补充;文献5 介绍了基于矩阵指数的方法和L a p l a c e变换的方法,需要较多的数学基础知识;文献6 采用消去法,将方程组化成某个未知函数的高阶方程,但由于该方法的局限性,文献6 中只是简单提及并未过多讨论;中山大学数学力学系常微分方程组7所编教材采用的是文献5 中提到的2种方法;东北师范大学数学系微分方程教研室8所编教材采用的是待定系数法。待定系数法基于矩阵的若当标准型理论和线性子空间直和理论,将求解待定系数的问题转化为解一组矩阵方程。与上述方法不同,本文采用一种新的求解方法来解方程组(1)。众所周知,n元一次方程组的有效求解方法就是消元法,或是通过加减消元,或是对系数矩阵进行L R分解进行求解。受此启发,本文考虑一阶线性常系数微分方程组的消元解法,即通过建立n个未知函数满足的若干个代数方程(约束方程),把含有n个变元的一阶线性微分方程组化为含有r(rn)个变元的一阶线性非齐次微分方程组,从而获得原方程组的解。该解法虽然没有常规解法简单,但是比待定系数法中的直接方法及一般消元法更具有操作性,并且易于在计算机中实现。1 主要结果考虑方程组(1)有引理1 设K=(k1,k2,kn)T为矩阵AT对应特征值的特征向量,则k1x1+k2x2+knxn=C e t(2)其中C为某个常数。证明 记Ai为矩阵A的第i行,x=k1x1+k2x2+knxn,此时方程组(1)可以写成xi=Aix,i=1,2,n(3)于是得到dxdt=x 因此,k1x1+k2x2+knxn=Ce t。引理得证。注1 这是关于n个未知函数满足的代数方程,组合系数是矩阵AT对应特征值的特征向量。显然,矩阵AT的每个特征向量均对应形如式(2)的一个代数方程。由引理1很容易得到下面的结论。定理1 设矩阵AT至多有r(rn)个线性无关的特征向量,则可将方程组(1)化为具有n-r个未知函数的一阶微分方程组。证明 设Ki,i=1,2,r为矩阵AT的r(rn)个线性无关的特征向量,记作Ki=(k1ik2ikn i)T,i=1,2,r,与之对应的特征值为1,2,r,则由引理1可得k1 1x1+k2 1x2+kn1xn=C1e1tk1 2x1+k2 2x2+kn2xn=C2e2tk1rx1+k2rx2+kn rxn=Crert(4)方程(4)的系数矩阵K是由r个线性无关的特征向量组成的,从而矩阵K的秩为r。不妨设矩阵K的前r列线性无关,则由方程(4)知xi,i=1,2,r可由xr+1,xr+2,xn及C1,C2,Cr线性表示。将其代入方程(1)的后n-r个方程,就得到关于xr+1,xr+2,xn的一阶线性非齐次方程组。再对这个方程组求解,结合方程(4),就可以得到方程(1)的通解。注2 定理1中的i可以是相同的,因为一个重特征值i可以有多于一个线性无关的特征向量;而定理1中关于xr+1,xr+2,xn的一阶线性非齐次方程,可由定理1的方法,先求齐次方程的通解,再用常数变易法求非齐次方程的解。特别地,当矩阵AT(A)有n个互异的特征值时,可以得到以下结论。743 第4期 刘玉忠,等:解一阶线性微分方程组的代数消元法定理2 设矩阵A有n个互异的特征值1,2,n,T1,T2,Tn是其对应的特征向量,则方程组(1)的通解为x=C1e1T1+C2e2T2+CnentTn(5)其中C1,C2,Cn为n个任意常数。证明 A有n个互异的特征值1,2,n,它们也是AT的n个互异的特征值。由定理1可得k1 1x1+k2 1x2+kn1xn=C1e1tk1 2x1+k2 2x2+kn2xn=C2e2tk1nx1+k2nx2+kn nxn=Cnent(6)其中,Ki=(k1ik2i,kn i)T是矩阵AT对应i的特征向量,i=1,2,n。记作KT=(K1K2Kn),则方程组(6)可写成K x=C1e1t100+C2e2t010+Cnent001由于矩阵K可逆,从而由上式得x=C1e1tK-1100+C2e2tK-1010+CnentK-1001(7)以下证明K-1010i是矩阵A对应i的特征向量Ti。实际上,因ATKi=iKi,i=1,2,n,即KTiA=iKTi,所以K A=12nK于是,A K-1=K-112n,此式两端右乘010i得A K-1010=K-112n010=iK-1010 此即证明了K-1010是矩阵A对应i的特征向量Ti,再由式(7)可得式(5)。定理得证。843沈阳师范大学学报(自然科学版)第4 1卷 注3 从定理2的证明可以看出,定理2的条件还可以减弱为矩阵AT有n个线性无关的特征向量,结论依然成立。注4 若矩阵AT有复数特征值,则仍可按上述步骤求解,只需要把解的实部虚部分离出来即可。2 数值例子例 求解方程组dy1dx=y1-2y2-2y3dy2dx=3y1+3y2+5y3dy3dx=-3y1-5y2-7y3(8)解 系数矩阵A=1-2-2335-3-5-7,AT的特征值1=-2(二重),对应的特征向量K1=011,特征值2=1,对应的特征向量K2=3-2-2,由定理1得y2+y3=C1e-2x3y1-2y2-2y3=C2ex(9)由此解得y1=23C1e-2x+13C2ex,y2=-y3+C1e-2x,代入方程组中的第3个方程得dy3dx=-2y3-7C1e-2x-C2ex从而得y3=-C3e-2x-7C1xe-2x-13C2ex,结合式(9)可得方程组(8)的通解为y1y2y3=C1e-2x23+2 1x-2 1x+C2ex11-1+C3e-2x0-33其中C1,C2,C3为任意常数。3 结 语本文研究了一阶线性齐次微分方程组的求解问题,提出了一种新的代数消元法。该方法首先建立微分方程未知函数满足的代数约束方程,进而利用这些代数方程进行消元,从而获得原方程组的解。该方法与传统方法比较,只需要较少的矩阵代数知识,因而更容易理解和掌握。参考文献:1 徐进明,林其安,陈增正.一阶常系数齐次线性微分方程组的又一种解法J.工科数学,1 9 9 8,1 4(2):1 7 0 1 7 2.2 马冲,肖箭,方强,等.一阶常系数线性微分方程组的另一种向量解法J.大学数学,2 0 0 9,2 5(4):1 6 3 1 6 9.3 阳凌云,符云锦.一阶线性微分方程组的解法新探J.湖南工业大学学报,2 0 1 0,2 4(1):1 6 1 9.4 金路,朱大训.一阶线性微分方程组的一种解法J.大学数学,2 0 1 3,2 9(2):8 6 9 0.5 张嗣赢,高立群.现代控制理论M.北京:清华大学出版社,2 0 0 6.6 王柔怀,武卓群.常微分方程讲义M.北京:人民教育出版社,1 9 6 3.7 中山大学数学力学系常微分方程组.常微分方程M.北京:人民教育出版社,1 9 7 8.8 东北师范大学数学系微分方程教研室.常微分方程M.北京:高等教育出版社,2 0 0 5.943 第4期 刘玉忠,等:解一阶线性微分方程组的代数消元法