74不变子空间1.doc

§7.4 不变子空间
教学目的
本节要求掌握不变子空间的概念及其不变子空间的判断方法，掌握值域和核的概念以及它们都是的不变子空间的事实，了解的秩和零度的概念及其相关结论。
教学难点
不变子空间的证明
教学重点
不变子空间的概念、值域和核的概念以及它们都是的不变子空间的证明
　　教　学　过　程
备　注
教学内容
一、不变子空间的定义
为了解决不变子空间的问题，我们需要不变子空间的概念.先看一个例子.
在中，设是数量变换，即有一个确定的数k，使得对任意，设W是中过原点的一个平面，W是的一个子空间，对W中每一个向量，在作用之下的像仍是W中的向量，这样的子空间W就是的不变子空间.
定义1 设是F上向量空间V的一个线性变换，W是V的一个子空间，若W中向量在下的像仍在W中，即对于W中任一向量，都有，则称W是的一个不变子空间，或称W在之下不变.
例1 向量空间V本身和零子空间是V的任一个线性变换的不变子空间，称它们为V的平凡不变子空间，其它不变子空间称为非平凡不变子空间.
例2 向量空间V的任一子空间都是数量变换的不变子空间.
例3 在R[x]中，令，对任意是R[x]的子空间，并且是的不变子空间.
例4 设是中以过原点的一条直线L为轴,旋转角的变换,则L是的一维不变子空间;过原点且与L垂直的平面H是的一个二维不变子空间.
二、不变子空间的判断
下面给出一种判断不变子空间的方法
定理7.4.1 设是n维向量空间V的一个线性变换，W是V的子空间，是W的基.则W是的不变子空间的充要条件是在W中.
设W是向量空间V的关于线性变换的不变子空间，那么对于任意的，必有，因此也可看作是向量空间W的一个线性变换，用表示，即对于任意，

若，那么就没有意义. 叫做在W上的限制.
三、不变子空间与线性变换的矩阵的关系
设是n维向量空间V的一个线性变换，W是的一个非平凡不变子空间.在W中取一个基，把它扩充成V的一个基，由于，故可设

…………

…………

因此，关于这个基的矩阵为

这里是关于W的基的矩阵.
如果V可以分解成两个非平凡不变子空间与的直和

那么选取的一个基和的一个基，凑成V的一个基，当和都在下不变时，关于这个基的矩阵是

这里是r阶矩阵，是n-r阶矩阵，它们分别是关于基的矩阵和关于基的矩阵.
若V可分解成s个非平凡子空间的直和，并且每一都是的不变子空间，那么在每一子空间中取一个基，凑成V的基，关于这个基的矩阵就为分块对角形矩阵

其中是关于的基的矩阵，
如果能将V分解成n个在下不变的一维子空间的直和，那么在适当选取的基下的 矩阵就是对角矩阵. 的一维不变子空间的问题与线性变换的本征值和本征向量有密切关系，我们将在下一节进行讨论.
四、线性变换的值域与核
定义2 设是向量空间的一个线性变换，由V中全体向量的像构成的集合称为的值域，记作或；有零向量在之下的全体原像作成的集合称为的核，记作，即
定理7.4.2 设是向量空间V的线性变换，那么和是V的子空间，并且在之下不变.
证 先证是的不变子空间
因为，所以.由于对任意，存在，使得，而
，

因此是V的子空间.任取，当然.所以是的不变子空间.
再证是的不变子空间.
因为，所以非空.对任意，有，于是

即有，所以是V的子空间.由于中的向量在下的像都是零向量，因此是的不变子空间.
我们把的维数称为线性变换的秩，记作秩.把的维数称为线性变换的零度.
定理7.4.3 设是n维向量空间V的一个线性变换，是V的一个基，关于这个基的矩阵是A，则
(1)
(2) 的秩等于A的秩
证 (1) ,存在，使得.
于是

故 　　
又　，所以(1)成立.
(2) 由(1)知，

而
由定理5.2.14知,秩,所以.
定理7.4.4 设是n维向量空间V的一个线性变换，则

证 在V中取定一个基.设关于这个基的矩阵为A，由定理7.4.3， 的秩=秩A
若，则.由于与0向量的坐标相同，即
，因此的坐标是齐次线性方程组
(1)
的在中的解向量.反之，对齐次线性方程组(1)的每个解向量来说,.令的任一向量与它的坐标对应,这就得到了F上向量空间与(1)的在F上的解空间W的同构映射.因此

故

例5 设是四维向量空间V的一个基,线性变换关于这个基的矩阵为A,并且

求的值域与核.
解 先求kers, 设xÎker(s), x关于{a1,a2,a3,a4}的坐标为(x1, x2, x3, x4), s (x)在{a1,a2,a3,a4}下的坐标为(0, 0, 0, 0)，由定理7.4.4，有
＝
解得该齐次线性方程组的基础解系为
X1＝(－2,－,1,0), X2＝(－1,－2,0,1).
令 b1=－2a1a2+a3 , b2=－a1－2a2+a4
那么ker (s)＝L (b1, b 2)，的零度=2 .
再求Ims. 由定理7.4.3，Ims＝L (s (a1), s (a2), s (a3), s (a4)).而由定理7.4.4, s的秩为2. 因此，的极大无关组含有两个向量，又s (a1), s (a2)线性无关，所以Ims =L(s (a1), s (a2)).

作 业：P332-333,习题七，第19，20，21，22，23，24，25，26题.

教学小结
本节内容分为下面四个问题讲：
1. 加法运算
2. 数乘运算
3. 乘法运算
(1). 乘法运算
(2). 线性变换s的方幂
4. 可逆线性变换及线性变换可逆的充要条件

本课作业

本课教育评注