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复数的概念和运算
内容：
　　1．复数的有关概念
虚数单位I；复数的定义；复数的表示法；共轭复数；复数的模；复数相等.
　　2．复数的运算：
复数代数形式的加、减、乘、除运算及加、减法运算的几何解释
要求：
对数的发展有初步认识；对复数有关概念有理性的认识，能够解释，举例或变形、推断，并能利用这些知识解决简单问题.
对复数运算及其加、减法的几何解释有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所学知识解决有关问题.
例1．2n-3+2n-1+2n+1+2n+3的值为（ ）.
A、-2 B、0 C、2 D、4
分析与解答：
法一：原式
法二：原式

法三：视为等比数列，
原式. 选B.
几种方法（法一，法二是同一种方法）均用到了的运算的周期性：
　　，
例2．设z1,z2为复数，那么是z1,z2同时为零的（ ）.
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
分析与解答：
若z1,z2同时为零，则成立；而当时，就不一定z1,z2同时为零.　　
　　如：当z1=i, z2=1时，故选B.
注意在复数集中不能套用实数集中的性质.
例3．下面命题中正确的是（ ）.
A、互为共轭复数的两数之差必是纯虚数 B、复数a+b=c+d的充要条件是a=c,b=d.
C、如果让实数 a与纯虚数a对应，那么实数集与纯虚数集是一一对应.
D、复平面虚轴上各点与纯虚数一一对应.
分析与解答：
A、否定：因为复数≠虚数，如z=3,, ∴不是纯虚数.
　　B、a,b,c,d应为R，否则不成立，因此否定.
　　C、否定：a=0时，a=0不是纯虚数. D、正确，虚轴不包括原点.
例4．已知：，求复数z.
分析与解答：
设z=a+b(a,b∈R)，由已知有
，
整理为，根据复数相等，有

由 (2)得b=-3代入(1)得a=4或.
经检验舍去， ∴z=4-3.
注意：利用复数相等将复数问题转化为实数问题后，在解方程组时，因有一个是无理方程，因此必须验根.
例5．设z∈c，且|z|=2,求的最小值和最大值.
分析与解答：
法一：，
又∵ |z|=2, ,∴ ，
因此的最小值为0，最大值为4.
此法利用的是复数模的性质：||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.请问，你知道等号成立的条件吗？
法二：利用复数减法的几何意义：|z|=2是以原点为圆心，2为半径的圆.
|表示此圆上的点到点的距离，
由图知：∵M就在圆上，所以最小距离为0，而最远距离在过M点的直径的另一端M'处，|MM'|=2R=4，得最远距离为4.
此题还有其它解法，但这两种解法最快捷.
例6．当时，求z100+z50+1的值.
分析与解答：
由得， ∴4=-1.
则 z100+z50+1=(-1)25+(-1)12(-)+1=-.
例7．求同时满足下列两个条件的所有复数z.
(1)是实数，且.
(2)z的实部和虚部都是整数.
分析与解答：
由题,设 z=x+yi (x,y∈Z且x2+y2≠0),
则

∵ 是实数，∴ 虚部，
∴ y=0或，
　　又∵ ，∴ ……①
　　(1)当y=0时 ①式化为 ,
x<0时，， 无解.
x>0时，无解.
　　(2)当x2+y2=10时，①式可化为 1<2x≤6,
∴ , 又∵x,y∈Z, ∴x=1,x=2,x=3.
∴
因此，同时满足条件(1)和(2)的所有复数是：
.