81空间几何体的表面积与体积.doc

§8.1 空间几何体的表面积与体积

基础自测
1.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1=A1B1，则多面体P-BCC1B1的体积为
2.已知正方体外接球的体积为,那么正方体的棱长等于
3.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .
4.三棱锥S-ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S-ABC的表面积是 .
例1 如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且a>b>c>0.求沿着长方体的表面自A到C1 的最短线路的长.

例2 如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.

例3 如图所示，长方体ABCD—中，用截面截下一个棱锥C—，求棱锥C—的体积与剩余部分的体积之比.

例4 如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱锥的外接球的体积.

1.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=.P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是 .
2.如图所示，扇形的圆心角为90°，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得旋转体的体积V1和V2之比为
3.如图，三棱锥A-BCD一条侧棱AD=8 cm，底面一边BC=18 cm，其余四条棱的棱长都是17 cm，求三棱锥A-BCD的体积.

4.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD中，底面边长为a, 侧棱长为a.
（1）求它的外接球的体积；
（2）求它的内切球的表面积.

1.如图所示，E、F分别是边长为1的正方形ABCD边BC、CD的中点，沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为
2.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线长为2，则这个长方体的体积是
3.已知三棱锥S—ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=r，则球的体积与三棱锥体积之比是
4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是
5.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是
7.已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于 .
8.已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V= .
9.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm,高是cm,
（1）求三棱台的斜高；
（2）求三棱台的侧面积和表面积.

10.如图所示，正△ABC的边长为4，D、E、F分别为各边中点，M、N、P分别为BE、DE、EF的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成了三棱锥以后.
（1）∠MNP等于多少度？
（2）擦去线段EM、EN、EP后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？

.
11.如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2，E是棱CC1上的点，且CE=CC1.
（1）求三棱锥C—BED的体积；
（2）求证：A1C⊥平面BDE.

12.三棱锥S—ABC中，一条棱长为a,其余棱长均为1，求a为何值时VS—ABC最大，并求最大值.

参考答案
§8.1 空间几何体的表面积与体积

基础自测
1.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1=A1B1，则多面体P-BCC1B1的体积为

答案
2.已知正方体外接球的体积为,那么正方体的棱长等于
答案
3.（2008·福建，15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .
答案 9
4.三棱锥S—ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S—ABC的表面积是 . 答案 3+

例1 如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且a＞b＞c＞0.求沿着长方体的表面自A到C1 的最短线路的长.
解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.

三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为：
=，
=，
=，
∵a＞b＞c＞0,∴ab＞ac＞bc＞0.
故最短线路的长为.
例2 如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.
解 如图所示,过C作CO1⊥AB于O1,
在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,
∴AC=R,BC=R,CO1=R,
∴S球=4R2,
=×R×R=R2,
=×R×R=R2,
∴S几何体表=S球++
=R2+R2=R2,
∴旋转所得到的几何体的表面积为R2.
又V球=R3,=·AO1·CO12=R2·AO1
=BO1·CO12=BO1·R2
∴V几何体=V球-（+）=R3-R3=R3.
例3 如图所示，长方体ABCD—中，用截面截下一个棱锥C—，求棱锥C—的体积与剩余部分的体积之比.
解 已知长方体可以看成直四棱柱—.
设它的底面面积为S，高为h，则它的体积为V=Sh.
而棱锥C—的底面面积为S，高是h,
因此，棱锥C—的体积VC—A′DD′=×Sh=Sh.
余下的体积是Sh-Sh=Sh.
所以棱锥C—的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
例4 （12分）如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分
别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱锥的外接球的体积.
解 由已知条件知，平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.
∴折叠后得到一个正四面体. 2分
方法一 作AF⊥平面DEC，垂足为F，F即为△DEC的中心.
取EC的中点G，连接DG、AG，
过球心O作OH⊥平面AEC.
则垂足H为△AEC的中心. 4分
∴外接球半径可利用△OHA∽△GFA求得.
∵AG=，AF==， 6分
在△AFG和△AHO中，根据三角形相似可知，
AH=.∴OA===. 10分
∴外接球体积为×OA3=··=. 12分
方法二 如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体
的外接球就是正方体的外接球. 3分
∵正四面体的棱长为1，∴正方体的棱长为，
∴外接球直径2R=·， 6分
∴R=， 9分
∴体积为·=.
∴该三棱锥外接球的体积为. 12分

1.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=.P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是 .
答案 5
2.如图所示，扇形的圆心角为90°，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得旋转体的体积V1和V2之比为
答案 1∶1
3.如图所示，三棱锥A—BCD一条侧棱AD=8 cm，底面一边BC=18 cm，其余四条棱的棱长都是17 cm，求三棱锥A—BCD的体积.
解 取BC中点M，连接AM、DM，取AD的中点N，连接MN
∵AC=AB=CD=BD，∴BC⊥AM，BC⊥DM，
又∵AM∩DM=M，∴BC⊥平面ADM，BC=18，
AC=AB=DB=DC=17.
∴AM=DM=4，∴NM⊥AD，∴MN=8.
∴S△ADM=·MN·AD=·8·8=32.
∴VA—BCD=VB—ADM+VC—ADM=×S△ADM×（BM+CM）=×32×18=192（cm3）.
4.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD中，底面边长为a,侧棱长为a.
（1）求它的外接球的体积；
（2）求它的内切球的表面积.
解 （1）设外接球的半径为R，球心为O，则OA=OC=OS，所以O为△SAC的外心，即△SAC的外接圆半径就是球的半径.
∵AB=BC=a，∴AC=a.
∵SA=SC=AC=a，∴△SAC为正三角形.
由正弦定理得2R=，
因此，R=a，V球=R3=a3.
（2）设内切球半径为r，作SE⊥底面ABCD于E，
作SF⊥BC于F，连接EF，
则有SF==.
S△SBC=BC·SF=a×a=a2.S棱锥全=4S△SBC+S底=（+1）a2.
又SE===，
∴V棱锥=S底h=a2×a=.
∴r=,S球=4r2=a2.

一、选择题
1.如图所示，E、F分别是边长为1的正方形ABCD边BC、CD的中点，
沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为
答案
2.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线长为2，则这个长方体的体积是
答案48
3.已知三棱锥S—ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=r，则球的体积与三棱锥体积之比是
答案 4
4.如图所示，三棱锥P—ABC的高PO=8，AC=BC=3，∠ACB=30°，M、N分别在BC和PO上，且CM=x，PN=2CM，下面的四个图象中能表示三棱锥N—AMC的体积V与x （x∈（0，3））的关系的是 （ ）

答案A
5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是
答案 24
6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积
是
答案
二、填空题
7.已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于 .
答案 2
8.已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V= .
答案 1+
三、解答题
9.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm,高是cm,
（1）求三棱台的斜高；
（2）求三棱台的侧面积和表面积.
解 （1）设O1、O分别为正三棱台ABC—A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，
则O1O=，过O1作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，则D1D为三棱台的斜高；
显然，A1，O1，D1三点共线，A，O，D三点共线.
过D1作D1E⊥AD于E，则D1E=O1O=，
因O1D1=×3=,OD=×6=, 则DE=OD-O1D1=-=.
在Rt△D1DE中, D1D===.
(2)设c、c′分别为上、下底的周长，h′为斜高，
S侧=（c+c′）h′= (3×3+3×6)×=(cm2),
S表=S侧+S上+S下=+×32+×62= (cm2).
故三棱台斜高为 cm,侧面积为 cm2，表面积为 cm2.
10.如图所示，正△ABC的边长为4，D、E、F分别为各边中点，M、N、P分别为BE、DE、EF的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成了三棱锥以后.
（1）∠MNP等于多少度？
（2）擦去线段EM、EN、EP后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？
解 （1）由题意，折成了三棱锥以后，如图所示，
△MNP为正三角形，故∠MNP=∠ADF=60°.

（2）擦去线段EM、EN、EP后，所得几何体为棱台，
其侧面积为S侧=SE—ADF侧-SE—MNP侧=3××22-3××12=.
11.如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2，E是棱CC1上的点，且CE=CC1.
（1）求三棱锥C—BED的体积；
（2）求证：A1C⊥平面BDE.
（1）解 ∵CE=CC1=，
∴VC—BDE=VE—BCD=S△BCD·CE=××1×1×=.
(2)证明 连接AC、B1C.
∵AB=BC，∴BD⊥AC.
∵A1A⊥底面ABCD,
∴BD⊥A1A.
∵A1A∩AC=A，
∴BD⊥平面A1AC.
∴BD⊥A1C.
∵tan∠BB1C==,
tan∠CBE==, ∴∠BB1C=∠CBE.
∵∠BB1C+∠BCB1=90°, ∴∠CBE+∠BCB1=90°,∴BE⊥B1C.
∵BE⊥A1B1，A1B1∩B1C=B1， ∴BE⊥平面A1B1C， ∴BE⊥A1C.
∵BD∩BE=B，BE平面BDE，BD平面BDE， ∴A1C⊥平面BDE.
12.三棱锥S—ABC中，一条棱长为a,其余棱长均为1，求a为何值时VS—ABC最大，并求最大值.
解 方法一 如图所示，设SC=a，其余棱长均为1，
取AB的中点H，连接HS、HC，
则AB⊥HC，AB⊥HS，
∴AB⊥平面SHC.
在面SHC中，过S作SO⊥HC，则SO⊥平面ABC.
在△SAB中，SA=AB=BS=1，
∴SH=，
设∠SHO=，则SO=SHsin=sin，
∴VS—ABC=S△ABC·SO=××12×sin=sin≤.
当且仅当sin=1，即=90°时，三棱锥的体积最大.
a=SH=×=，Vmax=.
∴a为时，三棱锥的体积最大为.
方法二 取SC的中点D，可通过VS—ABC=S△ABD·SC，
转化为关于a的目标函数的最大值问题，利用基本不等式或配方法解决.