81空间几何体的表面积与体积.doc

8.1 空间几何体的表面积与体积基础自测1.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1=A1B1，则多面体P-BCC1B1的体积为 2.已知正方体外接球的体积为,那么正方体的棱长等于 3.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .4.三棱锥S-ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S-ABC的表面积是 .例1 如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且abc0.求沿着长方体的表面自A到C1 的最短线路的长.例2 如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中BAC=30)及其体积.例3 如图所示，长方体ABCD中，用截面截下一个棱锥C，求棱锥C的体积与剩余部分的体积之比.例4 如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，DAB=60，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱锥的外接球的体积.1.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，ACB=90，AC=6，BC=CC1=.P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是 .2.如图所示，扇形的圆心角为90，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得旋转体的体积V1和V2之比为 3.如图，三棱锥A-BCD一条侧棱AD=8 cm，底面一边BC=18 cm，其余四条棱的棱长都是17 cm，求三棱锥A-BCD的体积.4.如图所示，已知正四棱锥SABCD中，底面边长为a, 侧棱长为a.（1）求它的外接球的体积；（2）求它的内切球的表面积.1.如图所示，E、F分别是边长为1的正方形ABCD边BC、CD的中点，沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为 2.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是123，对角线长为2，则这个长方体的体积是 3.已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，AC=r，则球的体积与三棱锥体积之比是 4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 5.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 7.已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于 .8.已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V= .9.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm,高是cm,（1）求三棱台的斜高；（2）求三棱台的侧面积和表面积.10.如图所示，正ABC的边长为4，D、E、F分别为各边中点，M、N、P分别为BE、DE、EF的中点，将ABC沿DE、EF、DF折成了三棱锥以后.（1）MNP等于多少度？（2）擦去线段EM、EN、EP后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？.11.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2，E是棱CC1上的点，且CE=CC1.（1）求三棱锥CBED的体积；（2）求证：A1C平面BDE.12.三棱锥SABC中，一条棱长为a,其余棱长均为1，求a为何值时VSABC最大，并求最大值.参考答案8.1 空间几何体的表面积与体积基础自测1.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1=A1B1，则多面体P-BCC1B1的体积为 答案 2.已知正方体外接球的体积为,那么正方体的棱长等于 答案 3.（2008福建，15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .答案 94.三棱锥SABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥SABC的表面积是 .答案 3+例1 如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且abc0.求沿着长方体的表面自A到C1 的最短线路的长.解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为：=，=，=，abc0,abacbc0. 故最短线路的长为.例2 如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中BAC=30)及其体积.解 如图所示,过C作CO1AB于O1,在半圆中可得BCA=90,BAC=30,AB=2R,AC=R,BC=R,CO1=R,S球=4R2,=RR=R2,=RR=R2,S几何体表=S球+=R2+R2=R2,旋转所得到的几何体的表面积为R2.又V球=R3,=AO1CO12=R2AO1=BO1CO12=BO1R2V几何体=V球-（+）=R3-R3=R3.例3 如图所示，长方体ABCD中，用截面截下一个棱锥C，求棱锥C的体积与剩余部分的体积之比.解 已知长方体可以看成直四棱柱.设它的底面面积为S，高为h，则它的体积为V=Sh.而棱锥C的底面面积为S，高是h,因此，棱锥C的体积VCADD=Sh=Sh.余下的体积是Sh-Sh=Sh.所以棱锥C的体积与剩余部分的体积之比为15.例4 （12分）如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，DAB=60，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱锥的外接球的体积.解 由已知条件知，平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折叠后得到一个正四面体.2分方法一 作AF平面DEC，垂足为F，F即为DEC的中心.取EC的中点G，连接DG、AG，过球心O作OH平面AEC.则垂足H为AEC的中心.4分外接球半径可利用OHAGFA求得.AG=，AF=，6分在AFG和AHO中，根据三角形相似可知，AH=.OA=.10分外接球体积为OA3=.12分方法二 如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球.3分正四面体的棱长为1，正方体的棱长为，外接球直径2R=，6分R=，9分体积为=.该三棱锥外接球的体积为.12分1.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，ACB=90，AC=6，BC=CC1=.P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是 .答案 52.如图所示，扇形的圆心角为90，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得旋转体的体积V1和V2之比为 答案 113.如图所示，三棱锥ABCD一条侧棱AD=8 cm，底面一边BC=18 cm，其余四条棱的棱长都是17 cm，求三棱锥ABCD的体积.解 取BC中点M，连接AM、DM，取AD的中点N，连接MNAC=AB=CD=BD，BCAM，BCDM，又AMDM=M，BC平面ADM，BC=18，AC=AB=DB=DC=17.AM=DM=4，NMAD，MN=8.SADM=MNAD=88=32.VABCD=VBADM+VCADM=SADM（BM+CM）=3218=192（cm3）.4.如图所示，已知正四棱锥SABCD中，底面边长为a,侧棱长为a.（1）求它的外接球的体积；（2）求它的内切球的表面积.解 （1）设外接球的半径为R，球心为O，则OA=OC=OS，所以O为SAC的外心，即SAC的外接圆半径就是球的半径.AB=BC=a，AC=a.SA=SC=AC=a，SAC为正三角形.由正弦定理得2R=，因此，R=a，V球=R3=a3.（2）设内切球半径为r，作SE底面ABCD于E，作SFBC于F，连接EF，则有SF=.SSBC=BCSF=aa=a2.S棱锥全=4SSBC+S底=（+1）a2.又SE=，V棱锥=S底h=a2a=.r=,S球=4r2=a2. 一、选择题1.如图所示，E、F分别是边长为1的正方形ABCD边BC、CD的中点，沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为 答案2.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是123，对角线长为2，则这个长方体的体积是 答案483.已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，AC=r，则球的体积与三棱锥体积之比是 答案 44.如图所示，三棱锥PABC的高PO=8，AC=BC=3，ACB=30，M、N分别在BC和PO上，且CM=x，PN=2CM，下面的四个图象中能表示三棱锥NAMC的体积V与x （x（0，3）的关系的是（ ）答案A5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 答案 246.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 答案 二、填空题7.已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于 .答案 28.已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V= .答案 1+三、解答题9.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm,高是cm,（1）求三棱台的斜高；（2）求三棱台的侧面积和表面积.解 （1）设O1、O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O=，过O1作O1D1B1C1，ODBC，则D1D为三棱台的斜高；显然，A1，O1，D1三点共线，A，O，D三点共线.过D1作D1EAD于E，则D1E=O1O=，因O1D1=3=,OD=6=, 则DE=OD-O1D1=-=.在RtD1DE中, D1D=.(2)设c、c分别为上、下底的周长，h为斜高，S侧=（c+c）h= (33+36)=(cm2),S表=S侧+S上+S下=+32+62= (cm2).故三棱台斜高为 cm,侧面积为 cm2，表面积为 cm2.10.如图所示，正ABC的边长为4，D、E、F分别为各边中点，M、N、P分别为BE、DE、EF的中点，将ABC沿DE、EF、DF折成了三棱锥以后.（1）MNP等于多少度？（2）擦去线段EM、EN、EP后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？解 （1）由题意，折成了三棱锥以后，如图所示，MNP为正三角形，故MNP=ADF=60.（2）擦去线段EM、EN、EP后，所得几何体为棱台，其侧面积为S侧=SEADF侧-SEMNP侧=322-312=.11.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2，E是棱CC1上的点，且CE=CC1.（1）求三棱锥CBED的体积；（2）求证：A1C平面BDE.（1）解 CE=CC1=，VCBDE=VEBCD=SBCDCE=11=.(2)证明 连接AC、B1C. AB=BC，BDAC.A1A底面ABCD,BDA1A.A1AAC=A，BD平面A1AC.BDA1C.tanBB1C=,tanCBE=, BB1C=CBE.BB1C+BCB1=90, CBE+BCB1=90,BEB1C.BEA1B1，A1B1B1C=B1， BE平面A1B1C， BEA1C.BDBE=B，BE平面BDE，BD平面BDE， A1C平面BDE.12.三棱锥SABC中，一条棱长为a,其余棱长均为1，求a为何值时VSABC最大，并求最大值.解 方法一 如图所示，设SC=a，其余棱长均为1，取AB的中点H，连接HS、HC，则ABHC，ABHS，AB平面SHC.在面SHC中，过S作SOHC，则SO平面ABC.在SAB中，SA=AB=BS=1，SH=，设SHO=，则SO=SHsin=sin，VSABC=SABCSO=12sin=sin.当且仅当sin=1，即=90时，三棱锥的体积最大.a=SH=，Vmax=.a为时，三棱锥的体积最大为.方法二 取SC的中点D，可通过VSABC=SABDSC，转化为关于a的目标函数的最大值问题，利用基本不等式或配方法解决.