微观经济学计算题005.doc

微观经济学计算题
1、假定某完全竞争的行业中有500家完全相同的厂商，每个厂商的成本函数为
STC=0.5ｑ2+ｑ+10。
（1）求市场的供给函数。
（2）假定市场需求函数为QD=4000—4000P，求市场均衡价格。
解：
（1）根据STC=0.5ｑ2+ｑ+10， FC=10， VC=0.5ｑ2+ｑ
∵完全竞争市场单个厂商的供给曲线为S=MC，MC=STC′
∴S=MC=P=ｑ+1，厂商在P=AR=MR=MC条件下提供产量
则P=ｑ+1或ｑ= P-1为单个厂商的供给函数，由此可得市场的供给函数QS=500(P-1)
（2）当QD=QS时，市场处于均衡
有4000-4000P=500P-500，得市场均衡价格为P=1
2、某竞争行业所有厂商的规模都相等，都是在产量达到500单位时达到长期平均成本的最低点4元，当用最优的企业规模生产600单位产量时，每一个企业的短期平均成本为4.5元，市场需求函数为Q=70000—5000P，供给函数为Q=40000+2500P，求解下列问题。
（1）市场均衡价格是多少？该行业处于短期均衡还是长期均衡？
（2）当处于长期均衡时，该行业有多少厂商？
（3）如果市场需求变化为Q=100000-5000P，求行业与厂商新的短期均衡价格与产量，在新的均衡点，厂商盈利还是亏损？
解：
（1）由Q=70000-5000P及Q=40000+2500P，
得均衡价格P=4，Q=50000，该行业处于长期均衡。
（2）处于长期均衡时，该行业有N=50000/500=100（家）。
（3）若需求函数Q=100000-5000P，则新的均衡价格：P=8；Q=6000；厂商盈利。
3、已知某消费者的效用函数为U=3XY2，当月用于购买X和Y两商品的收入为540元，X的价格PX=20元，Y的价格PY=30元。求：
（1）实现消费者均衡时X和Y的最优组合。
（2）当月消费者所获得的总效用是多少？
解：
（1）I=540， PX=20， PY=30， U=3XY2
MUX=3Y2 MUY=6XY
由MUX/ PX= MUY/ PY 得 3Y2/20=6XY/30
即3Y=4X
由 I=PX·X+PY·Y 得 540=20X+30Y
联解得：X=9 Y=12 故，实现消费者均衡时X和Y的最优组合为9和12.
（2）把X和Y带入U=3XY2 得 U=3888
故，当月消费者所获得的总效用是3888.
4、某竞争行业所有厂商的规模都相等，都是在产量达到500单位时达到长期平均成本的最低点4元，当用最优的企业规模生产600单位产量时，每一个企业的短期平均成本为4.5元，市场需求函数为Q=70000-5000P，供给函数为Q=40000+2500P，求解下列问题。
（1）市场均衡价格是多少？该行业处于短期均衡还是长期均衡？
（2）当处于长期均衡时，该行业有多少厂商？
（3）如果市场需求变化为Q=100000-5000P，求行业与厂商新的短期均衡价格与产量，在新的均衡点，厂商盈利还是亏损？
解：
（1）由Q=70000-5000P及Q=40000+2500P，
得均衡价格P=4，Q=50000，该行业处于长期均衡。
（2）处于长期均衡时，该行业由N=50000/500=100（家）。
（3）若需求函数Q=100000—5000P，则新的均衡价格：P=8；Q=6000；厂商盈利。
5、已知某完全竞争行业中的单个厂商的短期成本函数为STC=0.1Q3–2Q2+15Q+10。试求：
（1）当市场上产品的价格为P=55时，厂商的短期均衡产量和利润；
（2）当市场价格下降为多少时，厂商必须停产；
（3）厂商的短期供给函数。

解答：
（1）因为
所以
根据完全竞争厂商实现利润最大化的原则P=SMC，且P=55，于是有：

解得利润最大化的产量Q=20（负值舍去）
把Q=20代入利润等式有：

即厂商短期均衡的产量Q=20，利润
（2）当市场价格下降为P小于AVC，即P≤AVC时，厂商必须停产。根据题意有：

令 即有
解得 Q=10
且>0 故Q=10时，AVC(Q)大最小值。
把Q=10代入AVC（Q）得：最小的平均成本
于是，当市场价格P<5时，厂商必须停产。
（3）厂商的短期供给函数用SMC曲线大于和等于停止营业点的部分来表示。相应的，厂商的短期供给函数应该就是SMC函数，只不过要满足Q≥10即大于停止营业点的产量。

6、已知生产函数，假定厂商目前处于短期生产，且K=10。
（1）写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量函数、劳动的平均产量函数和劳动的边际产量函数。
（2）分别计算当劳动的总产量、劳动的平均产量和劳动的边际产量各自达到最大值时的厂商的劳动投入量。
（3）什么时候=？它的值是多少？
解答：
（1）由生产函数，且K=10，
得短期生产函数：
则劳动的总产量函数：
劳动的平均产量函数：
劳动的边际产量函数：
（2）总产量的最大值：令=0
解得 L=20
平均产量的最大值：令
解得 L=10 （负值舍去）
边际产量的最大值：由于劳动的边际产量函数可知，边际产量是一条斜率为辅的直线，因为劳动投入量总是非负值，所以，当L=0时，劳动的边际产量达最大值。
（3）当劳动的平均产量达到最大值时，一定有=。由（2）知，当L=10时，劳动的平均产量达到最大值，为：
把L=10代入劳动的边际产量函数，得=10。
显然，当==10时，一定达到最大值，此时劳动投入为L=10。
7、设某厂商品总产量函数为：
求：（1）当L=7时，边际产量MP是多少？
（2）L的投入量多大时，边际产量MP将开始递减？
解：（1），对TP求导得：
当L=7时，
（2）边际产量MP达到最大值后开始递减，MP最大时，其一阶导数为零，所以
， L=5。
8、已知某完全竞争市场的需求函数为，短期市场供给函数为；单个企业在LAC曲线最低点的价格为6，产量为50；单个企业的成本规模不变。
（1）求市场的短期均衡价格和均衡产量。
（2）判断（1）中的市场是否同时处于长期均衡，求行业内的厂商数量。
（3）如果市场的需求函数变为，短期供给函数为，求市场的短期均衡价格和产量。
解：
（1）市场供求平衡时，得P=6，Q=3900
（2）（1）中的市场处于长期均衡，因为价格等于单个企业在LAC曲线最低点的价格P，行业内厂商的数量为：。
（3）若市场的供求变动，新的均衡价格和产量为：
，得P=6，
9、已知效用函数为，求商品X，Y的边际替代率。
解：已知，可得：
，
边际替代率为：
10、假定某厂商需求如下：。其中，Q为产量，P为价格。厂商的平均成本函数为：。
求：使厂商利润最大化的价格与产量是多少？最大化的利润是多少？
解：由得：

由得：。
利润
得：Q=2000，P=60

11. 设无差异曲线为U=x0.4y0.6=9，Px=2，Py=3，求：
（1）X、Y的均衡消费量；
（2）效用等于9时的最小支出。
.解：(1)U＝x0.4y0.6，那么，MUX= ＝0.4x-0.6y0.6（1分）
MUy= =0.6x0.4y-0.4（1分）
        即为: （2分）
解:             
      由  MUX/ Px= MUy/ Py 0.4x-0.6y0.6/2=0.6x0.4y-0.4/3、  得      X=Y   
由  x0.4y0.6=9 X=Y=9 （2分）
 (2)最小支出＝Px?X+Py?y＝2×9＋3×9＝45(元)。(2分)
12.已知某完全竞争行业中的单个厂商的短期成本函数为STC＝0.1Q3—2Q2+15Q+10。试求：
(1)当市场上产品的价格为P=55时，厂商的短期均衡产量和利润；
(2)当市场价格下降为多少时，厂商必须停产；
(3)厂商的短期供给函数。
.解:（1）P=MR=55
短期均衡时SMC=0.3Q2-4Q+15=MR=55  （1分）
0.3Q2-4Q-40=0   ∴Q=20   （1分） 或 Q=-20/3 (舍去) 
利润=PQ-STC=55×20-(0.1×8000-2×400+15×20+10)=790  （1分）
（2）厂商停产时，P=AVC最低点。
AVC=SVC/Q=(0.1Q3—2Q2+15Q)/Q= 0.1 Q2-2Q+15  （1分）
  AVC最低点时，AVC′=0.2Q-2=0  ∴Q=10  （1分）
 此时AVC=P=0.1×100-2×10+15=5  （1分）
（3）短期供给函数为P=MC=0.3Q2-4Q+15(取P＞5一段)  （2分）
13、商品X的需求曲线为直线性Q = 40﹣ 0.5PX , 正常商品Y的需求曲线为直线,X与Y的需求曲线在PX  =  8 处相交,交点处X的需求弹性之绝对值为Y的需求弹性之绝对值的一半.请按上述条件推导Y的需求数。
解:设Y需求函数为A  
因为X与Y的需求曲线在PX  =  8 处相交,  
 所以 QpX=8 = QpY=8  ,  
     得 A -8B = 40 -0.5* 8 =36         (1)
      又E Px = (-0.5*PX ) /(40-0.5*PX )  
        EPX=8 = (-0.5*8) /(40 -0.5 *8) = -1/9
      又EPY = -B*PY / (A – BPY ) ,  
      则EPY=8  = -8B /(A-8B)  
      因为交点处X的需求弹性之绝对值为Y的需求弹性之绝对值的一半.
      即 2/9 = 8B /(A – 8B)
      得 A = 44B                          (2)
      (1) (2)联立解得:
       A = 44       B = 1
      所以Y的需求函数为: Q = 44 - PY     即为所求.  
14. 设某产品生产的边际成本函数是MC=3Q2+8Q+100，如果生产5单位产品时总成本是955，求总成本函数和可变成本函数？
. 解：设总成本为TC，则TC=∫（3Q2+8Q+100）dQ=Q3+4Q2+100Q+FC
     955=53+4×52+100×5+FC，FC=230，则TC= Q3+4Q2+100Q+230
     可变成本函数VC=Q2+4Q+100+230/Q
15. 若厂商面对的需求曲线是 Q= -P +50 ，分别求出厂商的总收益曲线. 边际收益曲线和平均收益曲线？
解： 求反需求曲线：P=100-2Q，则：
总收益曲线TR=PQ=100Q-2Q2；
边际收益曲线MR=100-4Q
平均收益曲线AR=100-2Q。
16、假定完全竟争市场的需求函数为 QD = 50000 – 2000 P,
供给函数为 QS = 40000 + 3000 P,
求1)市场均衡价格和均衡产量; (2) 厂商的需求函数。
解1)市场均衡时, QD = QS
需求函数为 QD = 50000 – 2000 P,
供给函数为 QS = 40000 + 3000 P,
联立解得:
均衡价格 P = 2
均衡产 量 Q = 46000
2)完全竟争市场中,厂商的需求曲线是由市场的均衡价格决 定,
  故厂商的需求函数为    P = 2      
17、假定某企业的短期成本函数是TC(Q) =  Q3 – 10 Q2 + 17 Q +66 .
 求: TVC(Q), AC(Q), AVC(Q), AFC(Q), MC(Q) 。
解:因为企业的短期成本函数是TC(Q) =  Q3 – 10 Q2 + 17 Q +66 .
所以, TVC(Q) = Q3 – 10 Q2 + 17 Q ;
AC(Q)  = Q2 – 10 Q + 17 + 66/Q ;
AVC(Q) = Q2 – 10 Q + 17 ;
AFC(Q) = 66/Q ;
MC(Q) = 3Q2 – 20 Q + 17 。         
18. 完全垄断企业成本函数为C=10Q2+400Q+3000，产品的需求函数为Q=200- P，求企业盈利最大化时的产量. 价格和利润？
解：求反需求曲线：P=1000-5Q，则：
总收益曲线 TR=PQ=1000Q-5Q2，边际收益曲线MR=1000-10Q；
边际成本曲 线：MC=20Q+400；
根据边际收益等于边际成本原 理：1000-10Q=20Q+400，Q=20；
代入反需求曲 线，P=1000-5Q=1000-5×20=900；
利润π= （1000×20－5×202）-（10×202+400×20+3000）=3000。