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微观经济学计算题
第二章 需求、供给和均衡价格　　
1. 已知某一时期内某商品的需求函数为Qd＝50－5P，供给函数为Qs＝－10＋5P。
(1)求均衡价格Pe和均衡数量Qe，并作出几何图形。
(2)假定供给函数不变，由于消费者收入水平提高，使需求函数变为Qd＝60－5P。求出相应的均衡价格Pe和均衡数量Qe，并作出几何图形。
(3)假定需求函数不变，由于生产技术水平提高，使供给函数变为Qs＝－5＋5P。求出相应的均衡价格Pe和均衡数量Qe，并作出几何图形。
(5)利用(1)、(2)和(3)，说明需求变动和供给变动对均衡价格和均衡数量的影响。
解答：(1)将需求函数Qd＝50－5P和供给函数Qs＝－10＋5P代入均衡条件Qd＝Qs，有
　　50－5P＝－10＋5P

得　 Pe＝6
将均衡价格Pe＝6代入需求函数Qd＝50－5P，得

　　Qe＝50－5×6＝20

或者，将均衡价格Pe＝6代入供给函数Qs＝－10＋5P，得

　　Qe＝－10＋5×6＝20

所以，均衡价格和均衡数量分别为Pe＝6，Qe＝20。如图2—1所示。

图2—1

(2)将由于消费者收入水平提高而产生的需求函数Qd＝60－5P和原供给函数Qs＝－10＋5P代入均衡条件Qd＝Qs，有

　　60－5P＝－10＋5P

得　　　Pe＝7
将均衡价格Pe＝7代入Qd＝60－5P，得

　　Qe＝60－5×7＝25

或者，将均衡价格Pe＝7代入Qs＝－10＋5P，得

　　Qe＝－10＋5×7＝25

所以，均衡价格和均衡数量分别为Pe＝7，Qe＝25。如图2—2所示。

图2—2
(3)将原需求函数Qd＝50－5P和由于技术水平提高而产生的供给函数Qs＝－5＋5P代入均衡条件Qd＝Qs，有50－5P＝－5＋5P, 得　　Pe＝5.5
将均衡价格Pe＝5.5代入Qd＝50－5P，得Qe＝50－5×5.5＝22.5或者，将均衡价格
Pe＝5.5代入Qs＝－5＋5P，得Qe＝－5＋5×5.5＝22.5

所以，均衡价格和均衡数量分别为Pe＝5.5，Qe＝22.5。如图2—3所示。

图2—3

(5)由(1)和(2)可见，当消费者收入水平提高导致需求增加，即表现为需求曲线右移时，均衡价格提高了，均衡数量增加了。
由(1)和(3)可见，当技术水平提高导致供给增加，即表现为供给曲线右移时，均衡价格下降了，均衡数量增加了。
总之，一般地，需求与均衡价格成同方向变动，与均衡数量成同方向变动；供给与均衡价格成反方向变动，与均衡数量成同方向变动。

2. 假定表2—1(即教材中第54页的表2—5)是需求函数Qd＝500－100P在一定价格范围内的需求表：

表2—1某商品的需求表
价格(元)
1
2
3
4
5
需求量
400
300
200
100
0

(1)求出价格2元和4元之间的需求的价格弧弹性。
(2)根据给出的需求函数，求P＝2元时的需求的价格点弹性。
解答：(1)根据中点公式ed＝－·,)，有

　　ed＝·,)＝1.5

(2)由于当P＝2时，Qd＝500－100×2＝300，所以，有

　　ed＝－·＝－(－100)·＝

第三章 效用论

5. 已知某消费者每年用于商品1和商品2的收入为540元，两商品的价格分别为P1＝20元和P2＝30元，该消费者的效用函数为U＝3X1X，该消费者每年购买这两种商品的数量应各是多少？每年从中获得的总效用是多少？
解答：根据消费者的效用最大化的均衡条件

　　＝

其中，由U＝3X1X可得

　　MU1＝＝3X
　　MU2＝＝6X1X2

于是，有　＝
整理得　X2＝X1　(1)
将式(1)代入预算约束条件20X1＋30X2＝540，得

　　20X1＋30·X1＝540

解得　　X＝9
将X＝9代入式(1)得 X＝12
因此，该消费者每年购买这两种商品的数量应该为

X1＝9 X1＝12
将以上最优的商品组合代入效用函数，得

　　U*＝3X(X)2＝3×9×122＝3 888

它表明该消费者的最优商品购买组合给他带来的最大效用水平为3 888。

7. 假定某消费者的效用函数为，两商品的价格分别为P1，P2，消费者的收入为M。分别求出该消费者关于商品1和商品2的需求函数。
解答：根据消费者效用最大化的均衡条件：
MU1/MU2=P1/P2
其中，由以知的效用函数 可得：

于是，有：
整理得： 即有 （1）
一（1）式代入约束条件P1X1+P2X2=M，有：
解得： 代入（1）式得
所以，该消费者关于两商品的需求函数为

第四章 生产论
6.假设某厂商的短期生产函数为 Q＝35L＋8L2－L3。
求：(1)该企业的平均产量函数和边际产量函数。
(2)如果企业使用的生产要素的数量为L＝6，是否处理短期生产的合理区间？为什么？

解答：(1)平均产量函数：AP(L)＝Q/L＝35＋8L－L2
边际产量函数：MP(L)＝的dQ/dL＝35＋16L－3L2

(2)首先需要确定生产要素L投入量的合理区间。
在生产要素L投入量的合理区间的左端，有AP＝MP，于是，有35＋8L－L2＝35＋16L－3L2。解得L＝0和L＝4。L＝0不合理，舍去，故取L＝4。
在生产要素L投入量的合理区间的右端，有MP＝0，于是，有35＋16L－3L2＝0。解得L＝－5/3和L＝7。L为负值不合理，舍去，故取L＝7。
由此可得，生产要素L投入量的合理区间为[4,7]。因此，企业对生产要素L的使用量为6是处于短期生产的合理区间的。

13. 已知某企业的生产函数为Q=L2/3 K1/3，劳动的价格w＝2，资本的价格r＝1。求：
(1)当成本C＝3 000时，企业实现最大产量时的L、K和Q的均衡值。
(2)当产量Q＝800时，企业实现最小成本时的L、K和C的均衡值。
解答：(1)根据企业实现给定成本条件下产量最大化的均衡条件

　　解：
(1) 生产函数Q= L^2/3K^1/3，w=2，r=1，C=3000
成本方程C=KR+LW 所以 2L+K=3 000 ①
因为MPL/W=MPK/R
MPL=2/3L^(-1/3)K^1/3 MPK=L^2/3*1/3K^(-2/3)
得K=L ②
由①②，得 K=L=1000 Q=1000 (2)Q= L^2/3K^1/3=800
由MPL/W=MPK/R 得K=L

由①②，得K=L=800
由成本方程得：C=KR+LW C=2L+K=2400

第五章 成本论

5. 假定某厂商的边际成本函数MC＝3Q2－30Q＋100，且生产10单位产量时的总成本为1 000。
求：(1)固定成本的值。
(2)总成本函数、总可变成本函数，以及平均成本函数、平均可变成本函数。
解答：(1)根据边际成本函数和总成本函数之间的关系，由边际成本函数MC＝3Q2－30Q＋100积分可得总成本函数，即有

解:MC= 3 Q2-30Q+100
所以TC(Q)= Q3-15 Q2+100Q+M
当Q=10时,TC=1000 M=500
(1) 固定成本值:500
(2) TC(Q)= Q3-15 Q2+100Q+500
TVC(Q)= Q3-15 Q2+100Q
AC(Q)= Q2-15Q+100+500/Q
AVC(Q)= Q2-15Q+100

9. 已知某厂商的生产函数为Q＝0.5L1/3K2/3；当资本投入量K＝50时资本的总价格为500；劳动的价格PL＝5。求：
(1)劳动的投入函数L＝L(Q)。
(2)总成本函数、平均成本函数和边际成本函数。
(3)当产品的价格P＝100时，厂商获得最大利润的产量和利润各是多少？
解答：根据题意可知，本题是通过求解成本最小化问题的最优要素组合，最后得到相应的各类成本函数，并进一步求得相应的最大利润值。
解:(1)当K=50时，PK·K=PK·50=500,所以PK=10 MPL=1/6L-2/3K2/3
MPK=2/6L1/3K-1/3整理得K/L=1/1,即K=L.将其代入Q=0.5L1/3K2/3,可得:L(Q)=2Q
（2）STC=ω·L（Q）+r·50=5·2Q+500=10Q +500 SAC= 10+500/Q SMC=10
（3）由(1)可知,K=L,且已知K=50,所以.有L=50.代入Q=0.5L1/3K2/3, 有Q=25.
又π=TR-STC=100Q-10Q-500=1750所以利润最大化时的产量Q=25,利润π=1750

第六章 完全竞争市场

4. 已知某完全竞争行业中的单个厂商的短期成本函数为STC＝0.1Q3－2Q2＋15Q＋10。试求：
(1)当市场上产品的价格为P＝55时，厂商的短期均衡产量和利润；
(2)当市场价格下降为多少时，厂商必须停产？
解答：（1）因为STC=0.1Q3-2Q2+15Q+10
所以SMC==0.3Q3-4Q+15
根据完全竞争厂商实现利润最大化原则P=SMC，且已知P=55，于是有：0.3Q2-4Q+15=55
整理得：0.3Q2-4Q-40=0
解得利润最大化的产量Q*=20（负值舍去了）
以Q*=20代入利润等式有：
=TR-STC=PQ-STC=（55×20）-（0.1×203-2×202+15×20+10）=1100-310=790
即厂商短期均衡的产量Q*=20，利润л=790
（2）当市场价格下降为P小于平均可变成本AVC即PAVC时，厂商必须停产。而此时的价格P必定小于最小的可变平均成本AVC。
根据题意，有：
AVC==0.1Q2-2Q+15
令，即有： 解得 Q=10 且
故Q=10时，AVC（Q）达最小值。以Q=10代入AVC（Q）有：
最小的可变平均成本AVC=0.1×102-2×10+15=5
于是，当市场价格P5时，厂商必须停产。

8. 在一个完全竞争的成本不变行业中单个厂商的长期成本函数为LTC＝Q3－40Q2＋600Q，该市场的需求函数为Qd＝13 000－5P。求：
(1)该行业的长期供给曲线。
(2)该行业实现长期均衡时的厂商数量。
解答：(1)由题意可得
在完全竞争市场中，成本不变行业，厂商始终在既定的长期平均成本的最低点从事生产。所以，长期供给曲线，是一条水平线，经过LAC的最低点，即P=LAC的最小值。
当LMC=LAC时，LAC最小。
LMC是LTC的一阶导数，LMC=3Q2-80Q+600
LAC=LTC/Q=Q2-40Q+600
令LMC=LAC
3Q2-80Q+600=Q2-40Q+600解得　　Q＝20(已舍去零值)

将Q=20带入LAC，得到LAC最小值为200。
所以，该行业的长期供给曲线为：P=200

(2)已知市场的需求函数为Qd＝13 000－5P，又从(1)中得行业长期均衡时的价格P＝200，所以，将P＝200代入市场需求函数，便可以得到行业长期均衡时的数量为：Q＝13 000－5×200＝12 000。
又由于从(1)中可知行业长期均衡时单个厂商的产量Q＝20，所以，该行业实现长期均衡时的厂商数量为12 000÷20＝600(家)。

第七章 不完全竞争市场
4. 已知某垄断厂商的短期成本函数为TC＝0.6Q2＋3Q＋2，反需求函数为P＝8－0.4Q。求：
(1)该厂商实现利润最大化时的产量、价格、收益和利润。
(2)该厂商实现收益最大化时的产量、价格、收益和利润。
(3)比较(1)和(2)的结果。
解答：(1)由题意可得

　　MC＝eq \f(dTC,dQ)＝1.2Q＋3

且MR＝8－0.8Q(因为当需求函数为线性时，MR函数与P函数的纵截距相同，而MR函数的斜率的绝对值是P函数的斜率的绝对值的2倍)。
于是，根据利润最大化的原则MR＝MC，有

　　8－0.8Q＝1.2Q＋3

解得　　Q＝2.5
　　将Q＝2.5代入反需求函数P＝8－0.4Q，得

　　P＝8－0.4×2.5＝7

　　将Q＝2.5和P＝7代入利润等式，有

　　π＝TR－TC＝P·Q－TC＝7×2.5－(0.6×2.52＋3×2.5＋2)
＝17.5－13.25＝4.25

所以，当该垄断厂商实现利润最大化时，其产量Q＝2.5，价格P＝7，收益TR＝17.5，利润π＝4.25。
(2)由已知条件可得总收益函数为

　　TR＝P(Q)·Q＝(8－0.4Q)Q＝8Q－0.4Q2

令eq \f(dTR,dQ)＝0，即有

　　eq \f(dTR,dQ)＝8－0.8Q＝0 解得　　Q＝10
且eq \f(dTR,dQ)＝－0.8＜0
　　所以，当Q＝10时，TR达到最大值。
将Q＝10代入反需求函数P＝8－0.4Q，得

　　P＝8－0.4×10＝4

将Q＝10，P＝4代入利润等式，有

　　π＝TR－TC＝P·Q－TC＝4×10－(0.6×102＋3×10＋2)
＝40－92＝－52

所以，当该垄断厂商实现收益最大化时，其产量Q＝10，价格P＝4，收益TR＝40，利润π＝－52，即该厂商的亏损量为52。
(3)通过比较(1)和(2)可知：将该垄断厂商实现利润最大化的结果与实现收益最大化的结果相比较，该厂商实现利润最大化时的产量较低(因为2.5＜10)，价格较高(因为7＞4)，收益较少(因为17.5＜40)，利润较大(因为4.25＞－52)。显然，理性的垄断厂商总是将利润最大化作为生产目标，而不是将收益最大化作为生产目标。追求利润最大化的垄断厂商总是以较高的垄断价格和较低的产量来获得最大的利润。

6. 已知某垄断厂商利用一个工厂生产一种产品，其产品在两个分割的市场上出售，他的成本函数为TC＝Q2＋40Q，两个市场的需求函数分别为Q1＝12－0.1P1，Q2＝20－0.4P2。求：
(1)当该厂商实行三级价格歧视时，他追求利润最大化前提下的两市场各自的销售量、价格，以及厂商的总利润。
(2)当该厂商在两个市场上实行统一的价格时，他追求利润最大化前提下的销售量、价格，以及厂商的总利润。
(3)比较(1)和(2)的结果。
解答：(1)由第一个市场的需求函数Q1＝12－0.1P1可知，该市场的反需求函数为P1＝120－10Q1，边际收益函数为MR1＝120－20Q1。
同理，由第二个市场的需求函数Q2＝20－0.4P2可知，该市场的反需求函数为P2＝50－2.5Q2，边际收益函数为MR2＝50－5Q2。
而且，市场需求函数Q＝Q1＋Q2＝(12－0.1P)＋(20－0.4P)＝32－0.5P， 且市场反需求函数为P＝64－2Q，市场的边际收益函数为MR＝64－4Q。
此外，厂商生产的边际成本函数MC＝eq \f(dTC,dQ)＝2Q＋40。
该厂商实行三级价格歧视时利润最大化的原则可以写为MR1＝MR2＝MC。于是：
关于第一个市场：
根据MR1＝MC，有

　　120－20Q1＝2Q＋40

即　　　22Q1＋2Q2＝80
关于第二个市场：
根据MR2＝MC，有

　　50－5Q2＝2Q＋40

即　　　2Q1＋7Q2＝10
由以上关于Q1、Q2的两个方程可得，厂商在两个市场上的销售量分别为：Q1＝3.6，Q2＝0.4。将产量代入反需求函数，可得两个市场的价格分别为：P1＝84，P2＝49。
在实行三级价格歧视的时候厂商的总利润为

　　π＝(TR1＋TR2)－TC
＝P1Q1＋P2Q2－(Q1＋Q2)2－40(Q1＋Q2)
＝84×3.6＋49×0.4－42－40×4＝146

(2)当该厂商在两个市场上实行统一的价格时，根据利润最大化的原则即该统一市场的MR＝MC，有　64－4Q＝2Q＋40解得　　Q＝4
将Q＝4代入市场反需求函数P＝64－2Q，得P＝56 ,于是，厂商的利润为
π＝P·Q－TC＝56×4－(42＋40×4)＝48
所以，当该垄断厂商在两个市场上实行统一的价格时，他追求利润最大化的销售量为Q＝4，价格为P＝56，总的利润为π＝48。
(3)比较以上(1)和(2)的结果，即将该垄断厂商实行三级价格歧视和在两个市场实行统一定价的两种做法相比较，可以清楚地看到，他在两个市场实行三级价格歧视时所获得的利润大于在两个市场实行统一定价时所获得的利润(因为146＞48)。这一结果表明进行三级价格歧视要比不这样做更为有利可图。