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剪切波的构造

Shearlet是一类新的多尺度几何分析方法，该方法通过对基本函数的膨胀、剪切和平移变换来构造，体现了函数的几何和数学特性，如近几年来许多领域的研究学者所强调的函数的方向性、尺度和振荡等。Shearlet可以在广义多分辨率分析的框架中研究，这样就可以获得像小波一样的迭代算法，并推广到经典的级联算法。因此Shearlet变换作为一种新型的多尺度几何分析工具为图像处理领域的研究人员所广泛接受。
1、 Shearlet及其变换的定义
函数f(x)的连续Shearlet变换为：
（1.1）
其中，
（1.2）
为剪切波函数，为尺度参数，为剪切参数，为平移参数，是各向异性膨胀矩阵， 是剪切矩阵。
对任何，令满足
（1.3）
其中，为的傅里叶变换，为连续小波函数，，，为bump函数，，，在区间上且。由以上定义可得的傅里叶变换为

显然，剪切波的几何性质在频域上更为直观。由和的支撑条件很容易看到有如下的频域支撑：

由上式可知，在不同尺度，支撑在以原点对称、以s为斜率的梯形对上；改变剪切参数s， 支撑区域可获得保持面积不变的旋转；旋转区域由尺度参数a控制，随着a→0，支撑区间逐渐变窄。
图1.1给出了时的频域支撑。

图1.1 不同a和s值时的频域支撑
连续剪切波变换的平移参数可检测到所有奇异点的位置，而剪切参数则可显示出奇异曲线的方向。
2、 Shearlet的离散化
为了实现剪切波的离散化，令尺度参数，剪切参数，以及平移参数。假定
（2.1）
和
（2.2）
由式（2.1）和式（2.2）可知：对任何，有

其中，，如图2.1（a）所示，即函数形成的一个剖分，如图2.1（b）所示。
由以上的讨论，可知集合

是得一个紧框架。其中，
，
由图2.1（b）可以看出，剪切波的每个元素支撑在梯形对上，每一个梯形包含在一个大小近似为的盒子里，方向沿着斜率为的直线。

图2.1（a）水平锥和垂直锥 （b） 剪切波的频域剖分图
同样可以构造一个的紧框架，其中，是垂直锥。由下式给定
（2.3）
则集合

是的一个紧框架。其中， ， 。最后，令满足：对任何，有

上式暗含，且=1。因此剪切波集合为

3、 剪切波的主要性质
从上述可以看出，剪切波具有以下良好特性：
（1） 剪切波具有非常好的局部化特性。在上述剪切波的构造中，剪切波在频域内是紧支撑的，并且在空域内具有快速的衰减特性。
（2） 剪切波满足抛物线尺度化特性。每一个元素支撑在一个梯形对上，且每个梯形对包含在一个大小近似为的盒子内，如图2.1（b）所示。这是因为剪切波具有非常好的局部化特性，在空域内每个本质上支撑在一个大小为的盒子里面。当时，元素的支撑区间会逐渐变窄。
（3） 剪切波体现了非常高的方向敏感性。元素的方向是沿着斜率为的直线。相应的元素的方向是沿着斜率为的直线，并且方向的数目随着尺度的不断细化而逐层加倍。
（4） 剪切波是空域局部化的。对任意固定的尺度和方向，剪切波可以通过在格上平移来获得。
（5） 剪切波具有接近最优的稀疏表示性能。