不确定环境下供应链的生产与订购决策问题.doc

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）： 长沙理工大学
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2. 贾振兴
3. 杨远平
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期：2010 年 7 月26日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

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赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

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注

不确定环境下供应链的生产与订购决策问题

摘要

本题是不确定环境下供应链的生产与订购决策问题，针对商品生产量和市场
需求量随机波动的情况，我们建立了相应的数学优化模型，得到生产商和销售商的获利最大时对应的最优生产量和最优计划产量。
以前生产商和销售商只顾个人利益，而在以供应链为基础的集成管理模式下需要协调各方利益，以使总体生产效益上升。因此我们建立以生产商和销售商总利润为目标的数学模型，这样将分别以生产商和销售商为利润的双目标求解化成单目标求解。我们以生产商产量和市场变化量波动服从正态分布为基础，对问题进行分析。对于问题一，我们通过99.7%的数值落在距均值左右3个标准差的范围内这一结论,根据公式，和生产变化量波动[0.85Q，1.15Q]，得到已知期望的及方差。我们以生产商的计划生产量和销售商的订购量为决策变量，当市场需求一定时，构造总利润与决策变量的模型，（分别为实际产量，订购量，市场实际需求）。通过推导生产商和销售商总体利润在生产商实际生产量波动下的期望值，先通过初步分析估算确定最优的生产量Q和订购量I的范围，再借助计算机对Q和I的取值在这样的范围下遍历求解，找出总利润的期望值最大时计划生产量和订购量最优值。对于问题二，我们采用与问题一相同的模型，只是考虑了市场需求量也是随机的，把市场的需求量也作为一个服从正态分布的随机变量构造需求量的波动函数。问题三的供应链具有两级生产不确定性，产成品的市场需求在一定的前提下构造原产品和产成品生产量的波动函数，两者均服从正态分布，再根据模型一的求解方法得到最优值。对于问题四，只是问题三的进一步深化，把市场需求也作为随机变量，方法与前面类似。

【关键词】：正态分布，供应链，不确定关系，生产与订购。

1、问题的重述
1.1 背景
随着现在经济的快速发展,在企业发展和经济管理领域中，不确定环境下供应链的研究是使我们企业和销售商能更好的协调供应链上物料物、信息流、价值流、保持灵活和稳定的需求关系，使整个供应链上生产商和销售商的效益达到最大，是一个关系到国计民生的重要问题。
供应链是一种新的企业组织形态和运营方式,包括从客户需求信息开始经过原材料供应、生产批发销售等环节,到最后把产品送到最终用户的各项制造和商业活动。供应链运作过程中需要应对生产和需求的不确定性。在不确定环境下，研究供应链成员的生产与订购决策问题，具有重要的理论和现实意义。
1.2 问题
对于第一问和第二问，只考虑包含一个生产商和一个销售商的供应链，即销售商向生产商订购商品，生产商将商品按批发价格批发给销售商，销售商将商品按销售价格销售给最终顾客。其中相关已知条件有如下表所示：

生产成本/个
库存成本/个
缺货赔偿金/个
出售价格/个
生产商
20
5
15
40
销售商

5
25
60
（1）若假设商品的最终需求量是确定的，即商品市场需求量为400。而生产商生产商品量是不确定的，即由于受到各种随机因素的影响，商品实际产量可能不等于计划产量，呈随机波动，若生产商计划生产量为Q，则商品生产量的波动区间为[0.85,1.15]，即产品实际产量的区间为[0.85Q,1.15Q].。建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。根据建立的数学模型，求解供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。
（2）在问题（1）的供应链中，如果商品的市场需求量也是随机的，商品市场需求量的期望为400，市场需求量的波动区间为[0.8,1.2]，即实际市场需求量的区间为[320,480]。请建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。根据建立的数学模型，求解供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。
对于第三问，考虑在实际上，大多数供应链具有两级生产不确定性，即原产品生产的不确定性和产成品生产的不确定性，一级生产商生产原产品（或原材料），二级生产商向一级生产商订购原产品（或原材料），并通过加工原产品（或原材料）生产产成品，进而销售给最终顾客，两级生产均具有不确定性。相关的已知条件如下表所示：

生产成本/个
库存成本/个
缺货赔偿/个
加工成本/个
售价/个
一级生产商
20
5
15

40
二级生产商

7
30
10
95

（3）若假设产成品的市场需求量是确定的，即产成品市场需求量为280。原产品生产量的波动区间为[0.85,1.15]，产成品生产量的波动区间为[0.9,1.1]。请建立数学模型，研究在两级生产不确定的供应链中，二级生产商（产成品生产商）的最优订购量和一级生产商（原材料或原产品生产商）的最优计划产量。根据建立的数学模型，求解供应链中二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量。
2、问题的分析
2.1，对问题背景的理解：本题是不确定环境下供应链的生产与订购决策问题，而在不确定环境下，社会的需求量是不定的，因此生产商和销售商都要在不同的社会需求量下制定自己的商品生产量和商品的采购量，从而使自己的利润达到最大化。这样我们的目的就是建立相应的数学模型，使得双方的总利润达到最大。
2.2，不确定因素的分析：在本问题当中，社会对商品的需求量、生产商的商品生产量都是一个不确定的变化量，因此我们在处理需求量和生产量是变量这个问题上，都把这些变量都当作是服从正态分布的随机变量。
2.3，数学模型的分析：我们通过99.7%的数值落在距均值左右3个标准差的范围内这一结论,根据公式，和生产变化量波动[0.85Q，1.15Q]，得到已知期望的及方差。我们以生产商的计划生产量和销售商的订购量为决策变量，当市场需求一定时，构造总利润与决策变量的模型，（分别为实际产量，订购量，市场实际需求）。通过推导生产商和销售商总体利润在生产商实际生产量波动下的期望值，先通过初步分析估算确定最优的生产量Q和订购量I的范围，再借助计算机对Q和I的取值再这样的范围下遍历求解，找出总利润的期望值最大时计划生产量和订购量最优值。

3、模型的假设
1、这个模型只涉及到一个制造商和一个销售商
2、在这个模型中我们不考虑生产商对销售商批发时进行的打折活动
3、我们不考虑生产商和销售商为促销而进行的促销活动，即批发价格和销售价格不变
4、本模型只考虑一个周期内的生产，销售，存储问题
5、在连续的两个生产销售周期内，后一次周期不受前一个周期的影响
6、销售商的销售量不受生产商生产量的影响
7、在第一级，第二级生产商之间，第二次的订购量跟第一次的订购量没有关系

4、符号的定义及说明
4.1 问题一，二中的符号
：生产商的计划生产量 ：商品市场的实际需求量
：生产商的实际生产量 ：生产商获得利润
：销售商的实际订购量 ：销售商获得利润
：生产商与销售商获得总利润 ：单位商品的生产成本
：单位商品的库存成本 ：单位商品的批发缺货成本
：单位商品销售缺货成本 ：单位商品批发价格
：单位商品的销售价格 ：商品市场需求量的期望
4.2 问题三，四中的符号
：单位原产品生产成本 ：单位原产品库存成本
：单位原产品缺货成本 :单位产成品生产加工成本
：单位产成品库存成本 ：单位产成品缺货成本
：二级生产商投入单位原产品产出产成品数量
：原产品价格 ：产成品价格
：产成品实际市场需求量 ：产成品需求量的期望
：一级生产商计划生产量 ：一级生产商实际生产量
：二级生产商订购原产品量 ：产成品的实际产量
：二级生产商的利润 ：一级生产商的利润
：总利润

5、模型的建立与问题的求解
5.1正态分布问题：
本模型中涉及产品实际产量, 市场需求量, 原产品生产量和产成品生产量的波动区间问题。由于呈现随机波动，且给出波动区间，所以可以得到各变量的正态分布图，进而取出再波动区间内的各点的概率。
正态分布随机变量 X 的密度函数曲线呈中间高两边低、对称的钟形，期望（均值）, 方差,记住X 。称均方差或标准差， 当时称为标准正态分布，记作。
正态分布的随机变量在实际生活中相当地常见。在大量相互独立的、作用差不多大的随机因素影响下形成的随机变量，其极限分布为正态分布。
根据的函数表还能得到：
公式一：
公式二：
公式三：

我们根据题目中涉及到的随机变量波动范围，如（生产量的波动[0.85Q,1.15Q]）,以及正态分布的概率落在区间[]求出方差。

因此它服从期望是400方差是20正态分布，编程（附录一）求图形如下：

5.2存储问题:
在这个模型当中，我们对存储问题分别从生产商和销售商两个方面进行考虑。首先对于销售商而言,它需要为存储问题而支付的费用分为两个部分:第一方面，销售商为缺货时支付的赔偿费用，第二方面是销售商因销售量小于定购量而支付的存储费用。同样，对于生产商而言它也可以分为两个部分：存储费用和赔偿费用。因此我们对问题进行了在各个条件下的分类讨论。

5.3 问题一
由于商品实际生产量是随机的，所以要使生产商的计划生产量和销售商的计划订购量达到最优，就必须建立双目标规划模型。为了求解该模型，我们利用偏好系数λ把双目标规划函数转化为单目标函数，从而建立生产商与销售商的总利润达到最大的期望值模型。
对于问题一，我们对一个周期内的生产销售做了深刻的分析，最终得到在不同条件下生产商和销售商的利润公式,它们在不同取值范围下的利润如下：
当时，生产商的获得利润和销售商的获得利润为：

当时，生厂商的获得利润和销售商的获得利润为：

当时，生厂商的获得利润和销售商的获得利润为：

当时，生厂商的获得利润和销售商的获得利润为：

我们在生产商和销售商利润的双目标规划下，我们计算的生产商与销售商的总利润为：，由此可得出在不同条件下的总利润的表达式为：

其中，服从正态分布，概率密度公式
，（可由上述正态分布分析部分方法求得）因此总利润的期望为：

根据上述公式，我们运用Matlab编程对在不同的条件下遍历求解总利润期望（见附录二），可得到数据表格和和数据图：

最大利润跟计划生产量（）和实际订购量（）关系表（限于篇幅，只摘录了最大值附近的部分数据）：
Q I
397
398
399
400
401
402
403
404
385
15161.6023
15206.929
15251.2658
15294.6482
15247.3457
15199.1629
15150.1382
15100.3105
386
15178.0961
15224.4695
15269.8208
15314.1836
15267.8322
15220.5639
15172.4162
15123.427
387
15196.8062
15244.2766
15290.6945
15336.0919
15290.727
15244.41
15197.177
15149.0652
388
15211
15259.5752
15307.0702
15353.5148
15309.1712
15263.8421
15217.5621
15170.3671
389
15224.0192
15273.7213
15322.3179
15369.8365
15326.5435
15282.2333
15236.9389
15190.6949
390
15239.1462
15290.0151
15339.7558
15388.3933
15346.1778
15302.9157
15258.6379
15213.3775
391
15249.9094
15301.942
15352.8266
15402.5854
15361.4722
15319.2849
15276.0527
15231.8065
392
15259.4597
15312.67
15364.7151
15415.6146
15375.6256
15334.5378
15292.378
15249.175
393
15267.7887
15322.1874
15375.4068
15427.4637
15388.6186
15348.6524
15307.5894
15265.4562
394
15278.1114
15333.7284
15388.1553
15441.4058
15403.7235
15364.9005
15324.9588
15283.9225
395
15283.9415
15340.7615
15396.3837
15450.8188
15414.3134
15376.651
15337.8506
15297.9339
396
15288.5448
15346.5688
15403.3903
15459.0172
15423.699
15387.2103
15349.5672
15310.7887
397
15295.1709
15354.4174
15412.4598
15469.3029
15435.1795
15399.8747
15363.4021
15325.7778
398
15297.4712
15357.9158
15417.1579
15475.199
15442.2747
15408.1615
15372.8697
15336.4128
399
15298.5686
15360.2038
15420.6409
15479.8784
15448.1549
15415.2378
15381.1345
15345.8555
400
15298.4744
15361.29
15422.9148
15483.3443
15452.8204
15421.1011
15388.191
15354.0975
401
15300.3117
15364.3141
15427.1362
15488.7705
15459.4419
15428.9196
15397.2052
15364.3031
402
15297.8432
15362.9963
15426.9822
15489.7906
15461.6496
15432.3195
15401.7988
15370.089
403
15294.2417
15360.527
15425.6607
15489.63
15462.6661
15434.5206
15405.1889
15374.6697
404
15292.7195
15360.1367
15426.4203
15491.555
15465.7556
15438.7845
15410.6345
15381.3014
405
15287.0476
15355.5547
15422.9485
15489.2112
15464.5609
15438.7516
15411.7734
15383.6192
406
15280.3147
15349.8873
15418.3689
15485.7396
15462.2209
15437.5584
15411.7396
15384.7545
407
15275.5954
15346.2261
15415.7903
15484.2657
15461.8582
15438.3245
15413.6496
15387.8211
408
15266.7948
15338.4344
15409.0335
15478.5683
15457.2481
15434.8219
15411.2721
15386.5839
409
15257.0274
15329.6464
15401.2527
15471.8207
15451.5638
15430.2228
15407.7783
15384.2128
410
15249.3365
15322.9241
15395.528
15467.1211
15447.9018
15427.6224
15406.2612
15383.7988
411
15237.846
15312.3523
15385.9051
15458.4759
15440.2671
15421.0238
15400.7224
15379.3415
412
15225.4819
15300.8749
15375.3456
15448.8642
15431.6377
15413.4037
15394.1371
15373.8144
413
15212.275
15288.5222
15363.879
15438.3147
15422.0411
15404.7884
15386.5299
15367.2406
414
15201.2224
15278.3074
15354.5348
15429.8729
15414.5188
15398.2155
15380.9347
15362.6499
415
15186.4306
15264.2995
15341.3439
15417.5314
15403.0641
15387.6783
15371.3445
15354.035

最大利润跟计划生产量（）和实际订购量（）关系图

在上面的关系图中，我们可以看到当生产商的计划生产量为404，而销售商的订购量为400时，它们的总利润达到最大值，即=15491.555。其中生产商的利润是：75117721；销售商的利润是：7979.7829

生产商的利润与计划生产量（）和实际订购量（）关系图

在上面的关系图中，我们可以看到当生产商的计划生产量为404，而销售商的订购量为400时，生产商的期望利润是：75117721，而不考虑销售商它自己能达到的最大利润是：7847.5007

销售商的利润与计划生产量（）和实际订购量（）关系图

在上面的关系图中，我们可以看到当销售商的订购量为400时，销售商的期望利润是：7979.7829， 当不考虑生产商时，销售商所能达到的最大利润是：7980.1732.
通过上面生产商和销售商分利润的两幅图可知生产商和销售商自身最大利润和在总利润最大情况下所得利润相差不大，我们认为双方都可以接受。从长远利益来看，这是一种较好的方案，因为在这种情况下总利润保持了最大，即就是保证了供应链上的良好接触，使各个方面都得到共赢，形成了很好的产业关系。

5.4 问题二
由于商品实际生产量和生产商的实际销售量都是随机的，所以要使生产商的计划生产量和销售商的计划订购量达到最优，就必须建立双目标规划模型。为了求解该模型，我们把生产商和销售商两者的总利润作为我们最终的规划目标，以此建立生产商与销售商的总利润达到最大的期望值模型。
对于问题二，通过我们认真仔细的分析，我们的得出了与问题一相同的模型，因此只要把问题一中销售量的一定值转化为问题二中关于计划销售量的一个正态分布的实际销售量就可以了。
通过上面的分析，我们得出了计算最大利润的如下公式：

由已知参数数据，,分别服从正太分布，即，，从而可得到总利润的期望为：
，其中为的联合分布密度 ，其中分别为的方差。
根据上述公式，我们运用Matlab编程对在不同的条件下遍历求解总利润期望，（见附录二）可得到数据表格和和数据图：
最大利润跟计划生产量（）和实际订购量（）关系表（限于篇幅我们只摘录了最大值附近的部分数据）
Q I
411
412
413
414
415
416
417
418
390
14301.7465
14279.8558
14256.1034
14230.5476
14203.2474
14174.2622
14143.6517
14111.4755
391
14326.2639
14305.0935
14282.0235
14257.1125
14230.4201
14202.0062
14171.9313
14140.2559
392
14349.9647
14329.5517
14307.2013
14282.9723
14256.9245
14229.1182
14199.6147
14168.475
393
14372.8133
14353.1943
14331.6005
14308.0905
14282.7241
14255.5622
14226.6661
14196.0977
394
14397.9625
14379.1841
14358.3936
14335.6494
14311.0112
14284.5397
14256.2968
14226.3448
395
14419.0048
14401.097
14381.1411
14359.1946
14335.3171
14309.5691
14282.0125
14252.7098
396
14439.0861
14422.0827
14402.9958
14381.8826
14358.8017
14333.8135
14306.9798
14278.3629
397
14461.3533
14445.2933
14427.1155
14406.8761
14384.6331
14360.4462
14334.3768
14306.4873
398
14479.5558
14464.4634
14447.2207
14427.8825
14406.5059
14383.1499
14357.8753
14330.744
399
14496.715
14482.6193
14466.3422
14447.9373
14427.4602
14404.9692
14380.5242
14354.1866
400
14512.8058
14499.734
14484.4515
14467.0102
14447.4646
14425.8716
14402.2902
14376.781
401
14530.8618
14518.85
14504.6001
14488.1622
14469.5893
14448.9367
14426.2623
14401.6258
402
14544.7147
14533.7784
14520.5792
14505.1651
14487.5872
14467.8993
14446.1579
14422.4214
403
14557.4337
14547.593
14535.4667
14521.1007
14504.5441
14485.8489
14465.07
14442.2646
404
14572.1271
14563.4063
14552.3793
14539.0897
14523.5846
14505.914
14486.1311
14464.2914
405
14582.6637
14575.0714
14565.155
14552.9557
14538.5185
14521.8913
14503.1252
14482.2741
406
14592.0327
14585.5812
14576.7904
14565.699
14552.3495
14536.7877
14519.0626
14499.226
407
14603.2035
14597.9099
14590.2643
14580.3027
14568.0653
14553.5953
14536.9396
14518.1481
408
14610.1659
14606.0317
14599.5359
14590.7121
14579.5975
14566.2332
14550.6636
14532.9363
409
14615.9477
14612.9764
14607.6368
14599.9597
14589.9797
14577.7353
14563.2684
14546.6243
410
14623.4995
14621.6986
14617.5251
14611.007
14602.1764
14591.0691
14577.7243
14562.185
411
14627.046
14626.4075
14623.3952
14618.0344
14610.3542
14600.3878
14588.1719
14573.7469
412
14629.4266
14629.9464
14628.0938
14623.8912
14617.3654
14608.5465
14597.4687
14584.1698
413
14630.6497
14632.321
14631.624
14628.5784
14623.2081
14615.5408
14605.6078
14593.4442
414
14633.5941
14636.4136
14636.8715
14634.9849
14630.7749
14624.2664
14615.4882
14604.4726
415
14632.4869
14636.4358
14638.0326
14637.2919
14634.232
14628.8754
14621.248
14611.3795
416
14630.2684
14635.3321
14638.0557
14638.4512
14636.5344
14632.3251
14625.8466
14617.1259
417
14629.8555
14636.0238
14639.866
14641.3917
14640.6142
14637.5507
14632.2218
14624.6521
418
14625.5841
14632.8323
14637.7708
14640.4069
14640.7516
14638.8193
14634.6285
14628.2008
419
14620.2626
14628.5703
14634.5868
14638.3171
14639.77
14638.9575
14635.8955
14630.6033
420
14613.913
14623.2582
14630.3325
14635.139
14637.6841
14637.9777
14636.0333
14631.8676
最大利润跟计划生产量（）和实际订购量（）关系图

在上面的关系图中，我们可以看到当生产商的计划生产量为417，而销售商的订购量为414时，它们的总利润达到最大值，即=14641.3917。其中生产商的利润是：7755.3449;销售商的利润是：6886.0468.

生产商的利润与计划生产量（）和实际订购量（）关系图由上面的关系图我们可以看出，当生产商的计划生产量为417时，生产商的获利期望是：7755.3449，如果不考虑销售商时，它可以获得的最大利润是7850.2434.
销售商的利润与计划生产量（）和实际订购量（）关系图

同样，通过上面的关系图，我们可以得知，当销售商的计划订购量是414时，销售商的获利期望是：6886.0468，如果不考虑销售商时，它可以获得的最大利润是7014.9764。
通过上面生产商和销售商分利润两幅图可知生产商和销售商自身最大利润和在总利润最大情况下所得利润相差不大，我们认为双方都可以接受。从长远利益来看，这是一种较好的方案，因为在这种情况下总利润保持了最大，即就是保证了供应链上的良好接触，使各个方面都得到共赢，形成了很好的产业关系。

5.5问题三
我们仔细的阅读了第三个问题，对于这个问题，我们采用先分别求一级生产商的利润和二级生产商的利润，然后在求它们的总利润。
我们知道，影响两者生产商利润的因素有三个：销售额，赔偿费用以及存储费用。因此我们在计算两者利润时分布进行考虑。（具体的思考思路在存储问题中已分析）
我