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1、 2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填
2、写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 长沙理工大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 刘舜 2. 贾振兴 3. 杨远平
3、 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：2010 年 7 月26日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人
4、 评 分 备 注 不确定环境下供应链的生产与订购决策问题 摘要 本题是不确定环境下供应链的生产与订购决策问题，针对商品生产量和市场 需求量随机波动的情况，我们建立了相应的数学优化模型，得到生产商和销售商的获利最大时对应的最优生产量和最优计划产量。 以前生产商和销售商只顾个人利益，而在以供应链为基础的集成管理模式下需要协调各方利益，以使总体生产效益上升。因此我们建立以生产商和销售商总利润为目标的数学模型，这样将分别以生产商和销售商为利润的
5、双目标求解化成单目标求解。我们以生产商产量和市场变化量波动服从正态分布为基础，对问题进行分析。对于问题一，我们通过99.7%的数值落在距均值左右3个标准差的范围内这一结论,根据公式，和生产变化量波动[0.85Q，1.15Q]，得到已知期望的及方差。我们以生产商的计划生产量和销售商的订购量为决策变量，当市场需求一定时，构造总利润与决策变量的模型，（分别为实际产量，订购量，市场实际需求）。通过推导生产商和销售商总体利润在生产商实际生产量波动下的期望值，先通过初步分析估算确定最优的生产量Q和订购量I的范围，再借助计算机对Q和I的取值在这样的范围下遍历求解，找出总利润的期望值最大时计划生产量和订购量最
6、优值。对于问题二，我们采用与问题一相同的模型，只是考虑了市场需求量也是随机的，把市场的需求量也作为一个服从正态分布的随机变量构造需求量的波动函数。问题三的供应链具有两级生产不确定性，产成品的市场需求在一定的前提下构造原产品和产成品生产量的波动函数，两者均服从正态分布，再根据模型一的求解方法得到最优值。对于问题四，只是问题三的进一步深化，把市场需求也作为随机变量，方法与前面类似。 【关键词】：正态分布，供应链，不确定关系，生产与订购。 1、问题的重述 1.1 背景 随着现在经济的快速发展,在企业发展和经济管理领域中，不确定环境下供应链的研究是使我们企业和销售
7、商能更好的协调供应链上物料物、信息流、价值流、保持灵活和稳定的需求关系，使整个供应链上生产商和销售商的效益达到最大，是一个关系到国计民生的重要问题。 供应链是一种新的企业组织形态和运营方式,包括从客户需求信息开始经过原材料供应、生产批发销售等环节,到最后把产品送到最终用户的各项制造和商业活动。供应链运作过程中需要应对生产和需求的不确定性。在不确定环境下，研究供应链成员的生产与订购决策问题，具有重要的理论和现实意义。 1.2 问题 对于第一问和第二问，只考虑包含一个生产商和一个销售商的供应链，即销售商向生产商订购商品，生产商将商品按批发价格批发给销售商，销售商将商品按销售价格销售给最终
8、顾客。其中相关已知条件有如下表所示： 生产成本/个 库存成本/个 缺货赔偿金/个 出售价格/个 生产商 20 5 15 40 销售商 5 25 60 （1）若假设商品的最终需求量是确定的，即商品市场需求量为400。而生产商生产商品量是不确定的，即由于受到各种随机因素的影响，商品实际产量可能不等于计划产量，呈随机波动，若生产商计划生产量为Q，则商品生产量的波动区间为[0.85,1.15]，即产品实际产量的区间为[0.85Q,1.15Q].。建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。根据
9、建立的数学模型，求解供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。 （2）在问题（1）的供应链中，如果商品的市场需求量也是随机的，商品市场需求量的期望为400，市场需求量的波动区间为[0.8,1.2]，即实际市场需求量的区间为[320,480]。请建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。根据建立的数学模型，求解供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。 对于第三问，考虑在实际上，大多数供应链具有两级生产不确定性，即原产品生产的不确定性和产成品生产的不确定性，一级生产商生产原产品（或原材料），二级生产商向一级生产商订购原产品（或原材料），并通过加工原产品（或原
10、材料）生产产成品，进而销售给最终顾客，两级生产均具有不确定性。相关的已知条件如下表所示： 生产成本/个 库存成本/个 缺货赔偿/个 加工成本/个 售价/个 一级生产商 20 5 15 40 二级生产商 7 30 10 95 （3）若假设产成品的市场需求量是确定的，即产成品市场需求量为280。原产品生产量的波动区间为[0.85,1.15]，产成品生产量的波动区间为[0.9,1.1]。请建立数学模型，研究在两级生产不确定的供应链中，二级生产商（产成品生产商）的最优订购量和一级生产商（原材料或原产品生产商）的最优计划产量。根据建立的数学模型，求
11、解供应链中二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量。 2、问题的分析 2.1，对问题背景的理解：本题是不确定环境下供应链的生产与订购决策问题，而在不确定环境下，社会的需求量是不定的，因此生产商和销售商都要在不同的社会需求量下制定自己的商品生产量和商品的采购量，从而使自己的利润达到最大化。这样我们的目的就是建立相应的数学模型，使得双方的总利润达到最大。 2.2，不确定因素的分析：在本问题当中，社会对商品的需求量、生产商的商品生产量都是一个不确定的变化量，因此我们在处理需求量和生产量是变量这个问题上，都把这些变量都当作是服从正态分布的随机变量。 2.3，数学模型的分析：
12、我们通过99.7%的数值落在距均值左右3个标准差的范围内这一结论,根据公式，和生产变化量波动[0.85Q，1.15Q]，得到已知期望的及方差。我们以生产商的计划生产量和销售商的订购量为决策变量，当市场需求一定时，构造总利润与决策变量的模型，（分别为实际产量，订购量，市场实际需求）。通过推导生产商和销售商总体利润在生产商实际生产量波动下的期望值，先通过初步分析估算确定最优的生产量Q和订购量I的范围，再借助计算机对Q和I的取值再这样的范围下遍历求解，找出总利润的期望值最大时计划生产量和订购量最优值。
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17、 3、模型的假设 1、这个模型只涉及到一个制造商和一个销售商 2、在这个模型中我们不考虑生产商对销售商批发时进行的打折活动 3、我们不考虑生产商和销售商为促销而进行的促销活动，即批发价格
18、和销售价格不变 4、本模型只考虑一个周期内的生产，销售，存储问题 5、在连续的两个生产销售周期内，后一次周期不受前一个周期的影响 6、销售商的销售量不受生产商生产量的影响 7、在第一级，第二级生产商之间，第二次的订购量跟第一次的订购量没有关系 4、符号的定义及说明 4.1 问题一，二中的符号 ：生产商的计划生产量 ：商品市场的实际需求量 ：生产商的实际生产量 ：生产商获得利润 ：销售商的实际订购量 ：销售商获得利润 ：生产商与销售商获得总利润 ：单位商品的生产成本
19、 ：单位商品的库存成本 ：单位商品的批发缺货成本 ：单位商品销售缺货成本 ：单位商品批发价格 ：单位商品的销售价格 ：商品市场需求量的期望 4.2 问题三，四中的符号 ：单位原产品生产成本 ：单位原产品库存成本 ：单位原产品缺货成本 :单位产成品生产加工成本 ：单位产成品库存成本 ：单位产成品缺货成本 ：二级生产商
20、投入单位原产品产出产成品数量 ：原产品价格 ：产成品价格 ：产成品实际市场需求量 ：产成品需求量的期望 ：一级生产商计划生产量 ：一级生产商实际生产量 ：二级生产商订购原产品量 ：产成品的实际产量 ：二级生产商的利润 ：一级生产商的利润 ：总利润 5、模型的建立与问题的求解 5.1正态分布问题： 本模型中涉及产品实际产量, 市场需求量, 原产品生产量和产成品生产量的波动区间问题。由于呈现随机波动，且给出波动区间，所以可以得到各
21、变量的正态分布图，进而取出再波动区间内的各点的概率。 正态分布随机变量 X 的密度函数曲线呈中间高两边低、对称的钟形，期望（均值）, 方差,记住X 。称均方差或标准差， 当时称为标准正态分布，记作。 正态分布的随机变量在实际生活中相当地常见。在大量相互独立的、作用差不多大的随机因素影响下形成的随机变量，其极限分布为正态分布。 根据的函数表还能得到： 公式一： 公式二： 公式三： 我们根据题目中涉及到的随机变量波动范围，如（生产量的波动[0.85Q,1.15Q]）,以及正态分布的概率落在区间[]求出方差。 因此它服从期望是400方差是20正态分布
22、编程（附录一）求图形如下： 5.2存储问题: 在这个模型当中，我们对存储问题分别从生产商和销售商两个方面进行考虑。首先对于销售商而言,它需要为存储问题而支付的费用分为两个部分:第一方面，销售商为缺货时支付的赔偿费用，第二方面是销售商因销售量小于定购量而支付的存储费用。同样，对于生产商而言它也可以分为两个部分：存储费用和赔偿费用。因此我们对问题进行了在各个条件下的分类讨论。 5.3 问题一 由于商品实际生产量是随机的，所以要使生产商的计划生产量和销售商的计划订购量达到最优，就必须建立双目标规划模型。为了求解该模型，我们利用偏好系数λ把双目标规划函数转化为单目
23、标函数，从而建立生产商与销售商的总利润达到最大的期望值模型。 对于问题一，我们对一个周期内的生产销售做了深刻的分析，最终得到在不同条件下生产商和销售商的利润公式,它们在不同取值范围下的利润如下： 当时，生产商的获得利润和销售商的获得利润为： 当时，生厂商的获得利润和销售商的获得利润为： 当时，生厂商的获得利润和销售商的获得利润为： 当时，生厂商的获得利润和销售商的获得利润为： 我们在生产商和销售商利润的双目标规划下，我们计算的生产商与销售商的总利润为：，由此可得出在不同条件下的总利润的表达式为：
24、 其中，服从正态分布，概率密度公式 ，（可由上述正态分布分析部分方法求得）因此总利润的期望为： 根据上述公式，我们运用Matlab编程对在不同的条件下遍历求解总利润期望（见附录二），可得到数据表格和和数据图： 最大利润跟计划生产量（）和实际订购量（）关系表（限于篇幅，只摘录了最大值附近的部分数据）： Q I 397 398 399 400 401 402 403 404 385 15161.6023 15206.929 15251.2658 15294.6482 15247.3457 15199.1629 15150
25、1382 15100.3105 386 15178.0961 15224.4695 15269.8208 15314.1836 15267.8322 15220.5639 15172.4162 15123.427 387 15196.8062 15244.2766 15290.6945 15336.0919 15290.727 15244.41 15197.177 15149.0652 388 15211 15259.5752 15307.0702 15353.5148 15309.1712 15263.8421 15217.5621
26、15170.3671 389 15224.0192 15273.7213 15322.3179 15369.8365 15326.5435 15282.2333 15236.9389 15190.6949 390 15239.1462 15290.0151 15339.7558 15388.3933 15346.1778 15302.9157 15258.6379 15213.3775 391 15249.9094 15301.942 15352.8266 15402.5854 15361.4722 15319.2849 15276.0527
27、 15231.8065 392 15259.4597 15312.67 15364.7151 15415.6146 15375.6256 15334.5378 15292.378 15249.175 393 15267.7887 15322.1874 15375.4068 15427.4637 15388.6186 15348.6524 15307.5894 15265.4562 394 15278.1114 15333.7284 15388.1553 15441.4058 15403.7235 15364.9005 15324.9588
28、 15283.9225 395 15283.9415 15340.7615 15396.3837 15450.8188 15414.3134 15376.651 15337.8506 15297.9339 396 15288.5448 15346.5688 15403.3903 15459.0172 15423.699 15387.2103 15349.5672 15310.7887 397 15295.1709 15354.4174 15412.4598 15469.3029 15435.1795 15399.8747 15363.4021
29、 15325.7778 398 15297.4712 15357.9158 15417.1579 15475.199 15442.2747 15408.1615 15372.8697 15336.4128 399 15298.5686 15360.2038 15420.6409 15479.8784 15448.1549 15415.2378 15381.1345 15345.8555 400 15298.4744 15361.29 15422.9148 15483.3443 15452.8204 15421.1011 15388.191
30、 15354.0975 401 15300.3117 15364.3141 15427.1362 15488.7705 15459.4419 15428.9196 15397.2052 15364.3031 402 15297.8432 15362.9963 15426.9822 15489.7906 15461.6496 15432.3195 15401.7988 15370.089 403 15294.2417 15360.527 15425.6607 15489.63 15462.6661 15434.5206 15405.1889
31、15374.6697 404 15292.7195 15360.1367 15426.4203 15491.555 15465.7556 15438.7845 15410.6345 15381.3014 405 15287.0476 15355.5547 15422.9485 15489.2112 15464.5609 15438.7516 15411.7734 15383.6192 406 15280.3147 15349.8873 15418.3689 15485.7396 15462.2209 15437.5584 15411.7396
32、 15384.7545 407 15275.5954 15346.2261 15415.7903 15484.2657 15461.8582 15438.3245 15413.6496 15387.8211 408 15266.7948 15338.4344 15409.0335 15478.5683 15457.2481 15434.8219 15411.2721 15386.5839 409 15257.0274 15329.6464 15401.2527 15471.8207 15451.5638 15430.2228 15407.7
33、783 15384.2128 410 15249.3365 15322.9241 15395.528 15467.1211 15447.9018 15427.6224 15406.2612 15383.7988 411 15237.846 15312.3523 15385.9051 15458.4759 15440.2671 15421.0238 15400.7224 15379.3415 412 15225.4819 15300.8749 15375.3456 15448.8642 15431.6377 15413.4037 15394.
34、1371 15373.8144 413 15212.275 15288.5222 15363.879 15438.3147 15422.0411 15404.7884 15386.5299 15367.2406 414 15201.2224 15278.3074 15354.5348 15429.8729 15414.5188 15398.2155 15380.9347 15362.6499 415 15186.4306 15264.2995 15341.3439 15417.5314 15403.0641 15387.6783 15371
35、3445 15354.035 最大利润跟计划生产量（）和实际订购量（）关系图 在上面的关系图中，我们可以看到当生产商的计划生产量为404，而销售商的订购量为400时，它们的总利润达到最大值，即=15491.555。其中生产商的利润是：75117721；销售商的利润是：7979.7829 生产商的利润与计划生产量（）和实际订购量（）关系图 在上面的关系图中，我们可以看到当生产商的计划生产量为404，而销售商的订购量为400时，生产商的期望利润是：75117721，而不考虑销售商它自己能达到的最大利润是：7
36、847.5007 销售商的利润与计划生产量（）和实际订购量（）关系图 在上面的关系图中，我们可以看到当销售商的订购量为400时，销售商的期望利润是：7979.7829， 当不考虑生产商时，销售商所能达到的最大利润是：7980.1732. 通过上面生产商和销售商分利润的两幅图可知生产商和销售商自身最大利润和在总利润最大情况下所得利润相差不大，我们认为双方都可以接受。从长远利益来看，这是一种较好的方案，因为在这种情况下总利润保持了最大，即就是保证了供应链上的良好接触，使各个方面都得到共赢，形成了很好的产业关系。 5.4 问题二 由于商品实际生产量和生产商的实际销售量都是随
37、机的，所以要使生产商的计划生产量和销售商的计划订购量达到最优，就必须建立双目标规划模型。为了求解该模型，我们把生产商和销售商两者的总利润作为我们最终的规划目标，以此建立生产商与销售商的总利润达到最大的期望值模型。 对于问题二，通过我们认真仔细的分析，我们的得出了与问题一相同的模型，因此只要把问题一中销售量的一定值转化为问题二中关于计划销售量的一个正态分布的实际销售量就可以了。 通过上面的分析，我们得出了计算最大利润的如下公式： 由已知参数数据，,分别服从正太分布，即，，从而可得到总利润的期望为： ，其中为的联合分布密度 ，其中分别为的方差。 根据上述公式，我们运用Matl
38、ab编程对在不同的条件下遍历求解总利润期望，（见附录二）可得到数据表格和和数据图： 最大利润跟计划生产量（）和实际订购量（）关系表（限于篇幅我们只摘录了最大值附近的部分数据） Q I 411 412 413 414 415 416 417 418 390 14301.7465 14279.8558 14256.1034 14230.5476 14203.2474 14174.2622 14143.6517 14111.4755 391 14326.2639 14305.0935 14282.0235 14257.1125 14230.420
39、1 14202.0062 14171.9313 14140.2559 392 14349.9647 14329.5517 14307.2013 14282.9723 14256.9245 14229.1182 14199.6147 14168.475 393 14372.8133 14353.1943 14331.6005 14308.0905 14282.7241 14255.5622 14226.6661 14196.0977 394 14397.9625 14379.1841 14358.3936 14335.6494 14311.0
40、112 14284.5397 14256.2968 14226.3448 395 14419.0048 14401.097 14381.1411 14359.1946 14335.3171 14309.5691 14282.0125 14252.7098 396 14439.0861 14422.0827 14402.9958 14381.8826 14358.8017 14333.8135 14306.9798 14278.3629 397 14461.3533 14445.2933 14427.1155 14406.8761 14384
41、6331 14360.4462 14334.3768 14306.4873 398 14479.5558 14464.4634 14447.2207 14427.8825 14406.5059 14383.1499 14357.8753 14330.744 399 14496.715 14482.6193 14466.3422 14447.9373 14427.4602 14404.9692 14380.5242 14354.1866 400 14512.8058 14499.734 14484.4515 14467.0102 14447
42、4646 14425.8716 14402.2902 14376.781 401 14530.8618 14518.85 14504.6001 14488.1622 14469.5893 14448.9367 14426.2623 14401.6258 402 14544.7147 14533.7784 14520.5792 14505.1651 14487.5872 14467.8993 14446.1579 14422.4214 403 14557.4337 14547.593 14535.4667 14521.1007 14504.
43、5441 14485.8489 14465.07 14442.2646 404 14572.1271 14563.4063 14552.3793 14539.0897 14523.5846 14505.914 14486.1311 14464.2914 405 14582.6637 14575.0714 14565.155 14552.9557 14538.5185 14521.8913 14503.1252 14482.2741 406 14592.0327 14585.5812 14576.7904 14565.699 14552.34
44、95 14536.7877 14519.0626 14499.226 407 14603.2035 14597.9099 14590.2643 14580.3027 14568.0653 14553.5953 14536.9396 14518.1481 408 14610.1659 14606.0317 14599.5359 14590.7121 14579.5975 14566.2332 14550.6636 14532.9363 409 14615.9477 14612.9764 14607.6368 14599.9597 14589.
45、9797 14577.7353 14563.2684 14546.6243 410 14623.4995 14621.6986 14617.5251 14611.007 14602.1764 14591.0691 14577.7243 14562.185 411 14627.046 14626.4075 14623.3952 14618.0344 14610.3542 14600.3878 14588.1719 14573.7469 412 14629.4266 14629.9464 14628.0938 14623.8912 14617.
46、3654 14608.5465 14597.4687 14584.1698 413 14630.6497 14632.321 14631.624 14628.5784 14623.2081 14615.5408 14605.6078 14593.4442 414 14633.5941 14636.4136 14636.8715 14634.9849 14630.7749 14624.2664 14615.4882 14604.4726 415 14632.4869 14636.4358 14638.0326 14637.2919 14634
47、232 14628.8754 14621.248 14611.3795 416 14630.2684 14635.3321 14638.0557 14638.4512 14636.5344 14632.3251 14625.8466 14617.1259 417 14629.8555 14636.0238 14639.866 14641.3917 14640.6142 14637.5507 14632.2218 14624.6521 418 14625.5841 14632.8323 14637.7708 14640.4069 14640
48、7516 14638.8193 14634.6285 14628.2008 419 14620.2626 14628.5703 14634.5868 14638.3171 14639.77 14638.9575 14635.8955 14630.6033 420 14613.913 14623.2582 14630.3325 14635.139 14637.6841 14637.9777 14636.0333 14631.8676 最大利润跟计划生产量（）和实际订购量（）关系图 在上面的关系图中，我们可以看到当生产商的计划生产量为41
49、7，而销售商的订购量为414时，它们的总利润达到最大值，即=14641.3917。其中生产商的利润是：7755.3449;销售商的利润是：6886.0468. 生产商的利润与计划生产量（）和实际订购量（）关系图由上面的关系图我们可以看出，当生产商的计划生产量为417时，生产商的获利期望是：7755.3449，如果不考虑销售商时，它可以获得的最大利润是7850.2434. 销售商的利润与计划生产量（）和实际订购量（）关系图 同样，通过上面的关系图，我们可以得知，当销售商的计划订购量是414时，销售商的获利期望是：6886.0468，如果不考虑销售商时，它可以获得的最
50、大利润是7014.9764。 通过上面生产商和销售商分利润两幅图可知生产商和销售商自身最大利润和在总利润最大情况下所得利润相差不大，我们认为双方都可以接受。从长远利益来看，这是一种较好的方案，因为在这种情况下总利润保持了最大，即就是保证了供应链上的良好接触，使各个方面都得到共赢，形成了很好的产业关系。 5.5问题三 我们仔细的阅读了第三个问题，对于这个问题，我们采用先分别求一级生产商的利润和二级生产商的利润，然后在求它们的总利润。 我们知道，影响两者生产商利润的因素有三个：销售额，赔偿费用以及存储费用。因此我们在计算两者利润时分布进行考虑。（具体的思考思路在存储问题中已分析） 我
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