有理数的加减乘除运算精心制作版.doc

有理数的运算

第一部分 基础定义
一、定义详析（特别记忆阴影部分的定义）
1.有理数：除了无限不循环小数以外的实数统称有理数。（整数和分数统称为有理数）
四对定义：①正负数②奇偶数③非正数、非负数④有理数、无理数
两种分类：

正整数
整数 0
负整数
有理数

分数 正分数

负分数

正有理数
有理数 0
负有理数

2.数轴
(1)规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。所有的实数都可以用数轴上的点来表示。
(2)数轴的画法：①画一条直线②在直线上选取一点为原点，并用这点表示零③确定正方向（一般规定向右为正方向），用箭头表示出来④选取适当的长度作为单位长度，从原点想右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1,2,3，...；从原点向左每个一个单位长度取一点，依次表示为-1，-2，-3，...。
(3)数轴上的点与有理数之间的关系:数轴上的点与实数是一一对应关系
(4)利用数轴比较有理数的大小:
①在同一数轴上的数，右边的数总比左边的数大
②正数＞0＞一切负数.
3. 相反数
（1）概念：①只有符号相反的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别的：0的相反数是0.
②在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数
注意：①0的相反数是0
②相反数是成对出现的，不能单独存在
③只有符号不同的两个数中的只有指的是除了符号不同意外其余完全相同
（1） 相反数的表示方法
表示一个数的相反数，只要在这个数的前面加上“-”即可
注意:①表示和或差形式的代数式的相反数时，要先用括号将代数式括上，再在括号前面添加一个“-”
②因为a可以表示任意有理数，所以-a不一定是负数
③在数轴上，互为相反数的两个数位于原点的两侧且到原点的距离相等。
4. 绝对值
（1） 概念：①几何定义：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数绝对值，数a的绝对值记作“”
②代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数,0的相反数是0。即
③绝对值的求法：要求一个数的绝对值，应先判断出这个数是正数、负数、还是0，再有绝对值的定义确定去掉绝对值符号后的结果。
④两个负数比较大小，绝对值大的反而小
5.倒数
乘积为1的两个有理数互为倒数。
注意：①若a≠0，则a的倒数为，0没有倒数
②若a、b互为倒数，则ab=1
③倒数为本身的数是±1
二、 典例精析
知识点一：基础定义题（有理数）
1. 判断：
（ ）0是整数
（ ）0是偶数
（ ）一个有理数不是整数就是分数
（ ）一个有理数不是整数就是负数
（ ）0是最小的有理数
（ ）0是非负数
（ ）正整数、负整数统称为整数
（ ）正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数
（ ）0不是有理数
结论：0既不是正数也不是负数；有理数包括整数和分数；整数包括正整数、负整数和0；非负数是正数和0；非负数包括负数和0；能被2整除的数是偶数。
2.下列数是有理数的是
A. B.3 C.-2 D.0
3.把下列各数分别填入相应的集合中
，，，，，，25%
正数集合：{ …}
负数集合：{ …}
整数集合：{ …}
分数集合：{ …}
知识点二：基础定义题（数轴）
1. 判断题
（ ）有理数都可以在数轴上找到表示它的一个点
（ ）数轴上的点右边总比左边的大
（ ）数轴三要素：原点、正方向、单位长度
（ ）-2到原点的距离为-2
结论：有理数都可以在数轴上找到表示它的一个点；数轴三要素：原点、正方向、单位长度；数轴上，表示正数的点都在原点的右边，表示负数的点都在原点的左边；数轴上的点右边总比左边的大；距离是一个正数。
2. 在数轴上原点及原点右边的点所表示的数是（ ）
（A） 正数 （B）负数 （C）非正数 （D）非负数
3.若数轴上的点A、B分别与有理数a、b对应，则下列关系正确的是（ ）
（A）a＜b （B）－a＜b （C）|a|＜|b| （D）－a＞－b
4.若|a－2|=2－a，则数a在数轴上的对应点在
（A） 表示数2的点的左侧 （B）表示数2的点的右侧……………（ ）
（C） 表示数2的点或表示数2的点的左侧
（D）表示数2的点或表示数2的点的左侧
5.在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数。
， ，，，
知识点三：基础定义题（绝对值）
1．|－5|等于（ ）
（A）－5 （B）5 （C）±5 （D）0.2
2.－0.2的相反数是 ，倒数是
3.绝对值不大于4的负整数是
4.下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A、和 B、和
C、和 D、和
2．下列说法中正确的个数有（ ）
①两个有理数的和为正数时，这两个数都是正数；②两个有理数的和为负数时，这两个数都是负数；③两个有理数的和可能等于其中一个加数；④两个有理数的和可能等于零
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
知识点四：点与点之间的距离问题
1. 在数轴上，到原点距离为个单位长度的点所表示得数是（ ）
2. 在数轴上有两点，它们与表示3的点的距离都等于5，那么这两个点所表示的数为（ ）
3. 数轴上表示3的点到原点的距离是（ ），表示-5的点到原点的距离是（ ），数轴上表示3和5的两点间的距离是（ ），数轴上表示3和-5的两点间的距离是（ ）；点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点间的距离为（ ）；如果数轴上表示x和1的两点间的距离是2，则x=（ ）。
4. 在数轴上，与表示-1的点相距5个单位长度的点表示得数是什么？
5. 点A在数轴上距原点3个单位长度，且位于原点左侧，若将A点向右移动5个单位，再向左移动1个单位，这是A点表示的数为（ ）。
6. 在数轴上A点和B点所表示的数分别为-1和2，若使A点表示的数是B点表示数的2倍，应将点A（ ）
A. 向左移动三个单位 B.向右移动三个单位
C.向右移动5个单位 D.向左移动5个单位
7. 所有大于-3的负整数是（ ）；所有小于3的非负数的整数是（ ）；大于-8但小于-2的整数是（ ）。
8. 绝对值小于3.5的整数有 个；绝对值不大于5的整数有（ ）个，他们的和为（ ）。
9. 在数轴上表示整数的点称为整点，在某数轴上的单位长度是1cm，若在数轴上随意画一条长2009cm的线段AB，试问线段AB盖住的整点的个数？
知识点五：相反数、绝对值、倒数
10. -（-8）的相反数是（ ）；倒数是（ ）。
11. 相反数为本身的数是（ ）；倒数等于本身的数是（ ）。
12. 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则a+b++5=（ ）。
13. 若，则（ ）
A. B. C. D.
14. ,如果a、b互为相反数，且ab不全为0，若，那么必有
A. B. C. D.
15.下列各式一定为正数的是（ ）
A. B. C. D.
16.如果，则等于（ ）
A. B. C. D.
17.若x的绝对值小于1，则的值等于（ ）
A.2x B.-2x C.2 D.-2
18.若a=2，则-a= ；若=1，则a= ；若，则a=
19．用“＞”或“＜”号填空：
(1)如果a＞0，b＞0，那么a+b ______0；
(2)如果a＜0，b＜0，那么a+b ______0；
(3)如果a＞0，b＜0，|a|＞|b|，那么a+b ______0；
(4)如果a＜0，b＞0，|a|＞|b|，那么a+b ______0．
20.已知字母a和-a表示有理数，请问①-a一定是一个负数吗？为什么？②a与-a哪个大？为什么？

知识点六：基本应用
1. 冰箱冷藏室的温度是3℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度低15℃，则冷冻室温度是 ℃。
2. 紧接在奇数a后面的三个偶数是
3.若a＜0，b＞0，|a|＞|b|，则a+b 0。（填“＞”“=”或“＜”）
4.在括号内的横线上填写适当的项：2x－(3a－4b+c)=(2x－3a)－( )。
5.倒数等于它本身的数有（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）无数个
6. 星期四股票A开盘价为12元，上午11：30分跌1.0元，下午收盘
时又涨了0.2元，则股票A这天收盘价是（ ）
A、0.2元 B、9.8元
C、11.2元 D、12元
7.下列比较大小正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
第二部分 有理数的加减混合运算练习
一、有理数的加法运算法则：
1. 同号相加,取相同符号,并把绝对值相加. 　　
2. 异号相加绝对值相等的两个数和为0。（相反数）
3. 异号相加绝对值不相等,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。　　
4.一个数同0相加,仍得这个数。
二、有理数的减法运算法则：
1.减去一个有理数等于加上这个有理数的相反数。
2.一个有理数-0=这个有理数。
三、有理数的加减混合运算步骤：将所有的加减运算全都化为加法运算，然后再进行加法计算。（化简依据：加法不变，减去一个有理数等于加上这个有理数的相反数。）
四、有理数加法的交换律、结合律
五、有理数的乘法法则
六、有理数的除法法则
七、有理数的混合运算步骤
1.计算下列各题.
有理数的加法
(1)67+(-73)； (2)(-84)+(-59)； (3)33+48； (4)(-56)+37．

(5) (-0.9)+(-2.7)； (6)3.8+(-8.4)； (7)(-0.5)+3；

(8)3.29+1.78；

有理数的减法
(1) -30-(+8)-(+6)-(-17) (2) ︱-15︱-(-2)-(-5)

（3） -0.8-(-0.08)-(-0.8)-(-0.92)-(-9) （4）10-[（-8）+（-3）-（-5）]

（5）-1-（6-9）-（1-13）

有理数的混合运算（有括号的先算括号里面的）
（1）25.3＋（－7.3）＋（－13.7）＋7.3 （2）

（3） －4.27＋3.8－0.73＋1.2 （4）33.1－10.7－（－22.9）－

（5）（-6）-（+6）-（-7） （6）0-（+8）+（-27）-（+5）

(7) (-)+(+0.25)+(-)-(+)

(8) (+3)+(+4)-(+1)+(-3)

（9）10-[（-8）+（-3）-（-5）] （10）-1-（6-9）-（1-13）

（11） [1.8-(-1.2+2.1)-0.2]-(-1.5)

（12） -︱--（-）︱-︱（-）+（-）︱

有理数的乘除
1.（1）5×（－4）= ；（2）（-6）×4= ；（3）（-7）×（-1）= ；
（4）（-5）×0 = ； （5） ；（6） ；
（7）（-3）×
2、填空：
（1）-7的倒数是 ，它的相反数是 ，它的绝对值是 ；
（2）的倒数是 ，-2.5的倒数是 ；
（3）倒数等于它本身的有理数是 。的倒数的相反数是 。
3、计算：
（1）； （2）(-6)×5×；

（3）（-4）×7×（-1）×（-0.25） （4）

（5）； （6）；

（7） （8）。

（9） （10）。

(11) （12）

(13)（－85）×（－25）×（－4）； (14)－9×（－11）+12×（－9）

有理数的除法
（1） ；（2）= ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） .
2、化简下列分数：
（1）；（2）；（3）；（4）.

3、计算：
（1） （2） （3）；

（4） （5） （6）；

（7） （8）；

（9） （10）.

（11）11+（—22）—3×（—11）