样本平均数的方差的推导.doc

样本平均数的方差的推导：

假定从任意分布的总体中抽选出一个相互独立的样本，则有

即每一个样本单位都是与总体同分布的。
在此基础上，
证明样本平均数以总体平均数为期望值。

接着，再以此为基础，推导样本平均数的方差。
在此，需要注意方差的计算公式为：

以下需要反复使用这一定义：

在证明中，一个关键的步骤是，其原因在于这一项事实上是与的协方差。由于任意两个样本都是相互独立的，因此其协方差均为0。
如果采用的是无放回的抽样，则样本间具有相关性，协方差小于0。此时样本均值的方差为

样本方差的期望：

证明了样本平均数的方差公式后，我们可以来分析一下样本方差的情况。
先构造一个统计量为，我们来求它的期望。
根据方差的简捷计算公式：，可得

其中，同样运用简捷计算公式，可以得到：
；

原式化为

等式的两端同除以右侧的系数项，得到

令
则有
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