24章圆复习学案.doc

第二十四章 《圆》复习
【一、知识点】
（一）圆的有关概念和性质
1．圆是轴对称图形，经过 的直线都是对称轴；又是中心对称图形，对称中心是 ．
2．顶点在 的角叫做圆周角．
3．顶点在 ，并且两边都和圆 的角叫做圆周角．
4．经过圆的外一点作圆的切线， 的长叫做这点到圆的切线长．
5．三角形的三个顶点可以确定一个圆，这个圆叫做 ，外接圆的圆
心叫做三角形的 ，它到三角形 都相等，是 的交点．
6．和三角形三边都 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ；它到三角形 都相等，是 的交点．
（二）与圆有关的位置关系
7．点与圆的位置关系
位置关系
数量关系
点在圆内

8．直线与圆的位置关系
公共点个数
位置关系
数量关系

（三）重要定理
9．垂径定理：垂直于弦的直径 弦且平分弦所对的 。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，2个可推出其它3个结论，
即：①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧 。 即：在⊙中，∵∥∴弧弧

10、圆心角定理：在同圆或 圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等，所对应的弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①；②；③；④ 弧弧
11、圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的 角的一半。
即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角 ∴ 。

圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角 ；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角 ∴
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙中，∵是直径 ∴ 。（∵∴是 ）
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△中，∵ ∴△是 三角形或 。
12、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角 。
即：在⊙中， ∵四边形是内接四边形 ∴ = 。
13、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径 且 于半径的直线是圆的切线；
即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线
（2）性质定理：切线垂直于过 点的半径（如右图）

14、切线长定理：从圆外一点引圆的 条切线，它们的切线长 ，这点和圆心的连线 两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线 ∴PA= 平分 .
15、正多边形的计算
（1）正三角形 计算在中进行：；
（2）正四边形 计算在中进行，：
（3）正六边形 计算在中进行，.

16、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
（1）扇形：①弧长公式： ；②扇形面积公式： =
（2）、圆柱： =
（3）圆锥侧面展开图 =

【二、考点】
考点1：基本概念和性质
例1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）．
A．4个 B．3个 C． 2个 D． 1个
考点2：圆心角与圆周角的关系
例2．如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CD，∠B＝22°，则∠A＝________°．

考点3：垂径定理
例3．（2010芜湖）如图，在⊙O中，有折线，其中，，，则弦的长为（ ）。Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
考点4：切线的判断和性质
例4．已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F.
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径.

考点5：弧长扇形面积的计算
例6．如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积 ．
考点6：圆锥的侧面展开问题
例7．已知圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则这个圆锥的侧面积为__________cm2．
考点7：正多边形的计算
6、如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）
A． B． C． D．

【三、圆易错点】
1．注意考虑点的位置（在解决点与圆的问题时，应注意对点的位置进行分类，如点在圆内圆外、点在优弧劣弧等）
例１．点到⊙上的最近距离为，最远距离为，则⊙的半径为　　　　．
例２．是⊙的一条弦， ，点A是⊙上的一点（不与B、C重合），则的度数为 ．

2．注意考虑弦的位置（解决与弦有关的问题时，应对两条的位置进行分类，即注意位于圆心同侧和异侧的分类．）

例3．在半径为的圆中，有两条平行的弦，分别长和，则这两条平行弦的距离是　　 ．
例4．是⊙的直径，、是⊙的两条弦，且，，则的度数为 ．

3．注意公共点的个数（在涉及直线与圆的位置关系时，应注意有公共点和有唯一公共点的区别．）

例5．⊙的半径为，点在直线上，且，则⊙和直线的位置关系为 ．