四川省绵阳市高三第一次诊断性考试理数试题及答案超清.doc

四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试
理数试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知命题：，则为（ ）
A． B．
C． D．
3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4.若实数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5.设命题：，命题：，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6.2016年国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动.一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：
优惠券：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%；
优惠券：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；
优惠券：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.
若顾客想使用优惠券，并希望比使用优惠券或减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于（ ）
A．300元 B．400元 C．500元 D．600元

7.要得到函数的图象，可将的图象向左平移（ ）
A．个单位 B．个单位 C．个单位 D．个单位

8.已知，，则（ ）
A． B．
C． D．

9.已知定义在上的函数满足，当时，，设在上的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．

10.在中，，，，则的角平分线的长为（ ）
A． B． C． D．

11.如图，矩形中，，，是对角线上一点，，过点的直线分别交的延长线，,于.若，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．

12.若函数的图象恒在轴上方，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若向量，，满足条件与垂直，则 .
14.在公差不为0的等差数列中，，且为和的等比中项，则 .

15.函数的图象在点处的切线与直线平行，则的极值点是 .
16.是定义在上的偶函数，且时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知函数的图象（部分）如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）若，且，求.

18.设数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

19.在中，角所对的边分别为，已知，，为的外接圆圆心.
（1）若，求的面积；
（2）若点为边上的任意一点，，求的值.

20.已知函数.
（1）判断在区间上的零点个数，并证明你的结论；（参考数据：，）
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.

21.已知函数，.
（1）讨论的单调区间；
（2）若，且对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若直线的参数方程为（为参数），设点，直线与曲线相交于两点，求的值.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若方程有三个实数根，求实数的取值范围.

四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试
理数试题答案
一、 选择题
1、 A 2、D 3、B 4、C 5、B 6、B 7、A 8、D 9、A 10、C 11、C 12、A
二、 填空题
13、1 14、 13 15、 16、或或
三、 解答题
17、【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）由图像最值关系确定振幅，由最值点与相邻零点之间横坐标距离为四分之一周期得，解得，最后根据最值坐标求初始角：由，可得，又，可得（2）先根据得，再根据给值求值，将欲求角化为已知角，最后根据同角三角函数关系以及两角差余弦公式求结果：，=

考点：求三角函数解析式，给值求值

18、【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）由和项求通项，要注意分类讨论：当时，；当时，解得；当时，化简得；最后根据等比数列定义判断数列为等比数列，并求出等比数列通项（2）先化简不等式，并变量分离得k≥，而不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题，即k≥的最大值，而对数列最值问题，一般先利用相邻两项关系确定其增减性：令，则，所以数列先增后减，最后根据增减性得最值取法：的最大值是．

(2)由≥，整理得k≥，
令，则， ………………………8分
n=1，2，3，4，5时，，∴．………10分
n=6，7，8，…时，，即．
∵b5=<， ∴的最大值是．
∴实数k的取值范围是．…………………………………………12分

考点：由和项求通项，根据数列单调性求最值

19、【答案】（1）（2）
试题解析：(1)由得，
∴．……………………………3分
(2)由， 可得，
于是， ……………………………………5分
即，①
又O为△ABC的的外接圆圆心，则
， =，②…………………………7分
将①代入②得到
解得 ．……………………………………………………………10分
由正弦定理得， 可解得．…………12分
考点：向量投影，正弦定理

20、【答案】（1）有且只有1个零点（2）
【解析】
试题分析：（1）判定函数零点个数从两个方面，一是函数单调性，二是函数零点存在定理，先求函数导数，确定函数在(2，3)上是减函数，即函数在(2，3)上至多一个零点．再研究区间端点函数值的符号：，，由零点存在性定理，得函数在(2，3)上至少一个零点，综上可得函数在(2，3)上有且仅有一个零点（2）先将不等式变量分离得：，再根据不等式有解问题转化为对应函数最值：的最大值，然后利用导数求函数在上最大值
试题解析：(1)，
∴时，，∴函数在(2，3)上是减函数． ……2分
又， ……4分
∵，
，
∴，
由零点存在性定理，在区间(2，3)上只有1个零点．…………………6分
∴，即． ………12分
考点：函数零点，利用导数研究不等式有解

21、【答案】（1）a≥0时，的单调递增区间是； 时，的单调递增区间是；单调递减区间是．（2）m≥．
（2）先化简不等式：，再变量分离转化为求对应函数最值：的最大值，利用导数求函数最值，但这样方法要用到洛必达法则，所以直接研究单调性及最值，先求导数，再研究导函数符号变化规律：当m≤0时，导函数非正，所以在上单调递减，注意到，<h(1)= 0，不满足条件．当m>0时,讨论大小关系，即确定导函数符号规律，注意到，皆为单调递增函数，所以，从而导函数符号为正，即满足条件
(2)，
令，
则，令0，即，可解得m=．
①当m≤0时，显然，此时在上单调递减，
∴<h(1)= 0，不满足条件． ……………………………………………6分
②当时，令．
显然在上单调递增，∴．
由在单调递增，于是．∴．
于是函数的图象与函数的图象只可能有两种情况：
若的图象恒在的图象的下方，此时，即，
故在单调递减，又，故，不满足条件．
若的图象与的图象在x>1某点处的相交，设第一个交点横坐标为x0，
当时，，即，故在单调递减，
又，故当时，．∴不可能恒大于0，不满足条件．……9分
③当m≥时，令，则．
∵x∈，∴>≥，
故在x∈上单调递增，
于是，即，
∴在上单调递增，∴成立．
综上，实数m的取值范围为m≥．………………………………………12分
考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求参数取值范围

22、【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）根据将曲线极坐标方程化为直角坐标方程：（2）根据直线参数方程几何意义得，所以将直线参数方程代入曲线方程，利用韦达定理代入化简得结果
试题解析：(1)由曲线C的原极坐标方程可得，
化成直角方程为．………………………………………………………4分
(2)联立直线线l的参数方程与曲线C方程可得，
整理得， ……………………………………………………7分
∵，于是点P在AB之间，
∴．……………………………10分
考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程几何意义

23、【答案】（1）（2）
试题解析：(1)∵时，，
∴当x≤-1时，，不可能非负．
当-1<x<1时，，由≥0可解得x≥，于是≤x<1．
当x≥1时，>0恒成立．
∴不等式≥0的解集．………………………………………5分

(2)由方程可变形为 ．
令
作出图象如右． ………………………8分
于是由题意可得．…………10分
考点：绝对值定义

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