广东省台山侨中高三第二次模考.doc

广东省台山侨中2010届高三第二次模考数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。第卷（选择题 共40分）一、选择题（每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1若复数（aR，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）（A）-2 (B) 6 (C) 4 (D) 2. 已知，是两个不共线的单位向量，向量=3-，=t+2，且，则t=（ ） A-6 B6 C-3 D33. 的值为（ ）A4 B2 C D 4 4已知高为3的直棱柱ABCABC的底面是边长为1的正三角形（如图1所示），则三棱锥BABC的体积为（ ）A B C D5中，若，则的外接圆半径为（ ）ABCD6若实数满足条件, 目标函数，则（ ）AB C D7底面是矩形的四棱柱中，则（ ）ABCDONMyBx8. 幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）设点,连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数的图像三等分，即有那么，ab=（ ）A1 B2 C D第II卷（非选择题共110分）二、填空题（每小题5分，共30分）9. 已知，若，,则 。10 已知|1，|2，|2，则|11函数的最大值是 。12函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 13. 已知等差数列的前项和为，且，则过点和N*)的直线的斜率是_。选做题（1415题，考生只能从中选做一题） 14.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系内，曲线上的动点P与定点的最近距离等于_.15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB是O的直径，CB切O与B，CD切O与D，交BA的延长线于E。若AB=3，ED=2，则BC的长为_.三、解答题（共80分解答题应写出推理、演算步骤）（16）(本小题满分12分)已知函数.（1）求的定义域；（2）讨论的奇偶性；（3）证明在（0,1）内单调递减.17.已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=2， cosB=(1)若b=4，求sinA的值； (2) 若ABC的面积SABC=4，求b，c的值（本题12分）18.已知数列是首项为，公比的等比数列，设，数列.（本题满分14分）（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn.19某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，公园由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成。已知休闲区的面积为平方米，人行道的宽分别为米和米（如图）（）若设休闲区的长和宽的比，求公园所占面积关于的函数的解析式；（）要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽该如何设计？20. （本题满分14分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；（III）求点E到平面ACD的距离21. （本题满分14分）已知，（1）若f(x)在处取得极值，试求c的值和f(x)的单调增区间；（2）如右图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在使得？（用含有a,b,f(a),f(b)的表达式直接回答）（3）利用（2）证明：函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4. 参考答案一选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案DABDCCBA二、填空题（每小题5分，共30分）9 10 11 6 12 4 134 14 , 15. _3_. 三、解答题（共80分解答题应写出推理、演算步骤）16. （本题满分12分）故f(x)的定义域为（1,0）（0,1）4分，f(x)是奇函数。3分设0x1x21，则0x1x21，x2x10，x1x20， 5分，即在（0,1）内递减。另解：当x（0,1）时，故在内是减函数。17【解析】(本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力)(1) cosB=0，且0B，sinB=. 2分由正弦定理得， 4分 . 6分(2) SABC=acsinB=4， 8分 ， c=5. 10分由余弦定理得b2=a2+c22accosB，.14分18解（1）由题意知， ，2分又，故 4分（2）由（1）知， 6分7分于是9分两式相减，得12分14分19某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，公园由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成。已知休闲区的面积为平方米，人行道的宽分别为米和米（如图）（）若设休闲区的长和宽的比，求公园所占面积关于的函数的解析式；（）要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽该如何设计？19.解：（）设休闲区的宽为米，则其长为米， ， （），当且仅当时，公园所占面积最小，此时，即休闲区的长为米，宽为米。20. （本题满分14分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；（III）求点E到平面ACD的距离解：方法一：（I）证明：连结OC1分在中，由已知可得而即3分 又 平面5分（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。6分 在中，7分是直角斜边AC上的中线，8分异面直线AB与CD所成角大小的余弦为；9分（III）解：设点E到平面ACD的距离为11分在中， 12分而13分点E到平面ACD的距离为14分方法二：（I）同方法一5分（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则6分7分9分异面直线AB与CD所成角大小的余弦为；10分（III）解：设平面ACD的法向量为则11分令得是平面ACD的一个法向量12分又点E到平面ACD的距离14分21. （本题满分14分）已知，（1）若f(x)在处取得极值，试求c的值和f(x)的单调增区间；（2）如右图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在使得？（用含有a,b,f(a),f(b)的表达式直接回答）（3）利用（2）证明：函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4. 解：（1），1分依题意，有，即 2分， 令得，4分从而f(x)的单调增区间为：；5分（2）；8分（3），9分10分12分由（2）知，对于函数y=g(x)图象上任意两点A、B，在A、B之间一定存在一点,使得，又，故有，证毕14分