广东省台山侨中高三第二次模考.doc

广东省台山侨中2010届高三第二次模考
数学（理科）
本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1．若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
（A） -2 (B) 6 (C) 4 (D)

2. 已知，是两个不共线的单位向量，向量=3-，=t+2，且∥，则t=（ ） A．-6 B．6 C．-3 D．3
3. 的值为（ ）
A．－4 B．－2 C． D． 4
4．已知高为3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是边长为1的正三角形（如图1所示），
则三棱锥B′—ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．中，若，则的外接圆半径为（ ）
A． B． C． D．
6．若实数满足条件, 目标函数，则（ ）
A． B．
C． D．
7．底面是矩形的四棱柱中，，，，则（ ）
A． B． C． D．

O
N
M
y
B

x
8. 幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点,连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数的图像三等分，即有那么，ab=（ ）
A．1 B．2 C． D．
第II卷（非选择题共110分）

二、填空题（每小题5分，共30分）
9. 已知，若，,则 。
10 已知||＝1，||＝2，||＝2，则||＝　　　　　　
11．函数的最大值是 。
12．函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ．
13. 已知等差数列的前项和为，且，，则过点和N*)的直线的斜率是__________。
选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系内，曲线上的动点P与定点的最近距离等于__________.

15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB是⊙O的直径，CB切⊙O与B，CD切⊙O与D，交BA的延长线于E。若AB=3，ED=2，则BC的长为_______.

三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤）
（16）(本小题满分12分)已知函数.
（1）求的定义域；（2）讨论的奇偶性；（3）证明在（0,1）内单调递减.

17.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=2， cosB=．
(1)若b=4，求sinA的值； (2) 若△ABC的面积S△ABC=4，求b，c的值．（本题12分）

18.已知数列是首项为，公比的等比数列，，
设，数列.（本题满分14分）
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn.

19．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，公园由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成。已知休闲区的面积为平方米，人行道的宽分别为米和米（如图）（Ⅰ）若设休闲区的长和宽的比，求公园所占面积关于的函数的解析式；（Ⅱ）要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽该如何设计？

20. （本题满分14分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；
（III）求点E到平面ACD的距离．

21. （本题满分14分）已知，，
（1）若f(x)在处取得极值，试求c的值和f(x)的单调增区间；
（2）如右图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在使得？（用含有a,b,f(a),f(b)的表达式直接回答）
（3）利用（2）证明：函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4.

参考答案
一．选择题（每小题5分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
B
D
C
C
B
A
二、填空题（每小题5分，共30分）
9． 10． 11． 6
12． 4 13．4 14． , 15. __3____.
三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤）
16. （本题满分12分）
⑴故f(x)的定义域为（－1,0）∪（0,1）．4分
⑵　∵，　∴f(x)是奇函数。3分
⑶　设0＜x1＜x2＜1，则

∵　0＜x1＜x2＜1，　∴x2－x1＞0，　x1x2＞0，

∴　， 5分
∴，　即　　∴在（0,1）内递减。
另解：　　∴当x∈（0,1）时，
　　　故在内是减函数。
17【解析】(本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力)
(1) ∵cosB=>0，且0<B<π，
∴sinB=. ……2分
由正弦定理得， ……4分
. ……6分
(2) ∵S△ABC=acsinB=4， ……8分
∴， ∴c=5. ……10分
由余弦定理得b2=a2+c2－2accosB，
∴.……14分
18解（1）由题意知， ，……………2分
又，
故 ……………4分
（2）由（1）知，
……………6分
……7分
于是
…………………………9分
两式相减，得

…………………………12分
……………14分

19．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，公园由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成。已知休闲区的面积为平方米，人行道的宽分别为米和米（如图）（Ⅰ）若设休闲区的长和宽的比，求公园所占面积关于的函数的解析式；（Ⅱ）要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽该如何设计？

19.解：（Ⅰ）设休闲区的宽为米，则其长为米，
∴，
∴

（Ⅱ），当且仅当时，公园所占面积最小，此时，，即休闲区的长为米，宽为米。

20. （本题满分14分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；
（III）求点E到平面ACD的距离．
解：方法一：
（I）证明：连结OC
………1分

在中，由已知可得
而
即……………3分
又
平面……………5分
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。……………6分
在中，
……………7分
是直角斜边AC上的中线，
……………8分

异面直线AB与CD所成角大小的余弦为；……………9分
（III）解：设点E到平面ACD的距离为
……………11分
在中，
……………12分
而……………13分

点E到平面ACD的距离为……………14分
方法二：
（I）同方法一．……………5分
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
则………………6分
…………7分
………9分

异面直线AB与CD所成角大小的余弦为；……………10分
（III）解：设平面ACD的法向量为则
……………11分

令得是平面ACD的一个法向量．……………12分
又 点E到平面ACD的距离
……………14分
21. （本题满分14分）已知，，
（1）若f(x)在处取得极值，试求c的值和f(x)的单调增区间；
（2）如右图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在使得？（用含有a,b,f(a),f(b)的表达式直接回答）
（3）利用（2）证明：函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4.
解：（1），………1分
依题意，有，即 ．……………2分
，．
令得，……………4分
从而f(x)的单调增区间为：；……………5分
（2）；……………8分
（3），…………9分
……………10分
………12分
由（2）知，对于函数y=g(x)图象上任意两点A、B，在A、B之间一定存在一点,使得，又，故有，证毕．………14分