高三一轮复习——空间向量与立体几何含解析.doc

空间向量

1. A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
如图，正四棱柱中，，点在上且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．

以为坐标原点，射线为轴的正半轴，
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
y
x
z
建立如图所示直角坐标系．依题设，．
，
．
（Ⅰ）证明 因为，，
故，．
又，
所以平面．
（Ⅱ）解 设向量是平面的法向量，则
，．
故，．
令，则，，．
等于二面角的平面角，
．
所以二面角的大小为．

2.如图,四棱锥中,,,为的中点,.
(1)求的长; (2)求二面角的正弦值.

【答案】

3.已知点H在正方体的对角线上，∠HDA=．
（Ⅰ）求DH与所成角的大小；
（Ⅱ）求DH与平面所成角的大小．
A
B
C
D

x
y
z
H
解：以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．
设
则，．连结，．
设，由已知，
由
可得．解得，
所以．（Ⅰ）因为，
所以．即DH与所成的角为．
（Ⅱ）平面的一个法向量是．
因为， 所以．
可得DH与平面所成的角为．

4.如图,在四面体中,平面,.是的中点, 是的中点,点在线段上,且.
(1)证明:平面;(2)若二面角的大小为,求的大小.
A
B
C
D
P
Q
M

【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取的中点,且是中点,所以.因为是中点,所以;又因为(Ⅰ)且,所以,所以面面,且面,所以面;

方法二:如图7所示,取中点,且是中点,所以;取的三等分点,使,且,所以,所以,且,所以面;
(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面面,过作于,所以,过作于,连接,所以就是的二面角;由已知得到,设,所以
,
在中,,所以在中, ,所以在中

;
5. 如图，在四棱锥中，底面四边长
为1的菱形，, , ,为
的中点，为的中点
（Ⅰ）证明：直线；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。

作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为
轴建立坐标系
,
(1)证明
设平面OCD的法向量为,则
即
取,解得

(2)解 设与所成的角为,
, 与所成角的大小为.
(3)解 设点B到平面OCD的距离为，
则为在向量上的投影的绝对值,
由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为