二次根式训练提高含详细解答.doc

二次根式训练提高（20141218）

一．选择题（共14小题）
1．（2010•自贡）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（　　）

A．
3
B．
5
C．
15
D．
25

2．（2003•常州）式子、、、中，有意义的式子个数为（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

3．（1997•西宁）下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（　　）

A．
4个
B．
3个
C．
2个
D．
1个

4．若实数a满足方程，则[a]=（　　），其中[a]表示不超过a的最大整数．

A．
0
B．
1
C．
2
D．
3

5．（2014•丰润区二模）已知a为实数，则代数式的最小值为（　　）

A．
0
B．
3
C．

D．
9

6．（2002•深圳）化简二次根式，结果是（　　）

A．
﹣a
B．
﹣a
C．
a
D．
a

7．（2010•江西）化简的结果是（　　）

A．
3
B．
﹣3
C．

D．
﹣

8．（2007•南京）下列各数中，与2的积为有理数的是（　　）

A．
2+
B．
2﹣
C．
﹣2+
D．

9．（2003•黄冈）下列各式经过化简后与不是同类二次根式的是（　　）

A．

B．

C．

D．

10．（2000•绍兴）已知：，，则代数式（3a2﹣18a+15）（2b2﹣12b+13）的值是（　　）

A．
6
B．
24
C．
42
D．
96

11．观察下列计算：•（+1）=（﹣1）（+1）=1，
（+）（+1）=[（﹣1）+（﹣）]（+1）=2，
（++）（+1）=[（﹣1）+（﹣）+（﹣）]（+1）=3，
…
从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：
（+++…+）（+1）的值为（　　）

A．
2008
B．
2010
C．
2011
D．
2009

12．已知整数X，Y满足，那么整数对（X，Y）的个数是（　　）

A．
2
B．
3
C．
4
D．
5

13．（1998•内江）若，则x3﹣3x2+3x的值等于（　　）

A．

B．

C．

D．

14．（2000•陕西）将一个边长为a的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，求正八边形的面积（　　）

A．
（2﹣2）a2
B．
a2
C．
a2
D．
（3﹣2）a2

二．填空题（共6小题）
15．（2012•田阳县一模）若[x]表示不超过x的最大整数（如[]=3，[﹣π]=﹣4等），根据定义计算下面算式：[]+[]+…+[]=　_________　．

16．（2011•成都）设，，，…，．
设，则S=　_________　 （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．

17．若实数a满足|a﹣8|+=a，则a=　_________　．

18．（2004•宁波）已知：a＜0，化简=　_________　．

19．（2003•常德）化简：+2x﹣x2=　_________　．

20．（2002•黄冈）若，则代数式的值等于　_________　．

三．解答题（共1小题）
21．（2008•凉山州）阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；
当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；
当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数．
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．
问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；
（2）猜想与|a|的大小关系．

二次根式训练提高（20141218）
参考答案与试题解析

一．选择题（共14小题）
1．（2010•自贡）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（　　）

A．
3
B．
5
C．
15
D．
25

考点：
二次根式的定义．菁优网版权所有
分析：
先将中能开方的因数开方，然后再判断n的最小正整数值．
解答：
解：∵=3，若是整数，则也是整数；
∴n的最小正整数值是15；故选C．
点评：
解答此题的关键是能够正确的对进行开方化简．

2．（2003•常州）式子、、、中，有意义的式子个数为（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

考点：
二次根式的定义．菁优网版权所有
分析：
根据二次根式的有意义的条件，逐一判断．
解答：
解：=与的被开方数小于0，没有意义；
=与的被开方数大于等于0，有意义．
故有意义的式子有2个．
故选B．
点评：
本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数非负．

3．（1997•西宁）下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（　　）

A．
4个
B．
3个
C．
2个
D．
1个

考点：
二次根式的定义．菁优网版权所有
分析：
二次根式的被开方数应为非负数，找到根号内为非负数的根式即可．
解答：
解：3a，b2﹣1，都有可能是负数，﹣144是负数，不能作为二次根式的被开方数，
∴二次根式有、、，共3个．
故选B．
点评：
本题考查二次根式的定义，注意利用一个数的平方一定是非负数这个知识点．

4．若实数a满足方程，则[a]=（　　），其中[a]表示不超过a的最大整数．

A．
0
B．
1
C．
2
D．
3

考点：
二次根式有意义的条件；完全平方公式．菁优网版权所有
分析：
对已知条件变形整理并平方，解方程即可得到a的值，求出后直接选取答案．
解答：
解：根据二次根式有意义的条件，可得a≥1．
原方程可以变形为：
a﹣=，两边同平方得：
a2+1﹣﹣2a=a﹣，a2+1﹣2=a．
a2﹣a﹣2+1=0，
解得=1，
∴a2﹣a=1，a=（负值舍去）．
a≈1.618．
所以[a]=1，故选B．
点评：
此题首先能够根据二次根式有意义的条件求得a的取值范围，然后通过平方的方法去掉根号．灵活运用了完全平方公式．

5．（2014•丰润区二模）已知a为实数，则代数式的最小值为（　　）

A．
0
B．
3
C．

D．
9

考点：
二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值．
解答：
解：∵原式=
=
=
∴当（a﹣3）2=0，即a=3时
代数式的值最小，为即3
故选B．
点评：
用配方法对多项式变形，根据非负数的意义解题，是常用的方法，需要灵活掌握．

6．（2002•深圳）化简二次根式，结果是（　　）

A．
﹣a
B．
﹣a
C．
a
D．
a

考点：
二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
二次根式有意义，隐含条件a≤0，利用二次根式的性质化简．
解答：
解：∵有意义
∴a≤0
∴原式=﹣a．
故选B．
点评：
本题考查了二次根式的化简，注意二次根式的结果为非负数．

7．（2010•江西）化简的结果是（　　）

A．
3
B．
﹣3
C．

D．
﹣

考点：
二次根式的混合运算．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
首先按分配律去掉小括号，再进一步合并同类二次根式．
解答：
解：原式=﹣+3=3．
故选A．
点评：
本题考查的是二次根式的混合运算．

8．（2007•南京）下列各数中，与2的积为有理数的是（　　）

A．
2+
B．
2﹣
C．
﹣2+
D．

考点：
二次根式的乘除法．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
把A、B、C、D均与2相乘即可．
解答：
解：A、（2+）×2=6+4为无理数，故不能；
B、（2﹣）×2=4﹣6为无理数，故不能；
C、（﹣2+）×2=﹣4+6为无理数，故不能；
D、2×=6为有理数．
故选D．
点评：
正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．

9．（2003•黄冈）下列各式经过化简后与不是同类二次根式的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
同类二次根式．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
因为=﹣3x2，然后把四个式子都化简，比较计算结果，看含有不含有即可．
解答：
解：∵根据二次根式有意义，可知x≤0，∴=3x，
A、化简为3x；
B、化简为﹣；
C、=；
D、化简为．
∴B、C、D中都含有，是同类二次根式，A不是，故选A．
点评：
本题考查了同类二次根式的概念：化成最简二次根式后，被开方数相同．

10．（2000•绍兴）已知：，，则代数式（3a2﹣18a+15）（2b2﹣12b+13）的值是（　　）

A．
6
B．
24
C．
42
D．
96

考点：
二次根式的化简求值．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
由已知变形得a2﹣6a=﹣7，b2﹣6b=﹣7，再整体代入计算．
解答：
解：由已知得a﹣3=﹣，b﹣3=，
两式平方，整理得a2﹣6a=﹣7，b2﹣6b=﹣7，
原式=[3（a2﹣6a）+15][2（b2﹣6b）+13]
=[3×（﹣7）+15][2×（﹣7）+13]
=6．故选A．
点评：
先化简再代入，应该是求值题的一般步骤；不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致繁琐的运算．

11．观察下列计算：•（+1）=（﹣1）（+1）=1，
（+）（+1）=[（﹣1）+（﹣）]（+1）=2，
（++）（+1）=[（﹣1）+（﹣）+（﹣）]（+1）=3，
…
从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：
（+++…+）（+1）的值为（　　）

A．
2008
B．
2010
C．
2011
D．
2009

考点：
二次根式的混合运算．菁优网版权所有
专题：
压轴题；规律型．
分析：
从题中可以得到（+++…+）（+1）=n．
解答：
解：由题意得：（+++…+）（+1）=2009．
故选D．
点评：
本题考查了归纳整理，寻找规律的能力．发现规律是解题的关键．

12．已知整数X，Y满足，那么整数对（X，Y）的个数是（　　）

A．
2
B．
3
C．
4
D．
5

考点：
二次根式的加减法．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
将原式化为=的形式，再将数值代入，逐步进行验算．
解答：
解：当y=0时，=，x=72，整数对为（72，0）；
当y=1时，=﹣1，x不是整数；
当y=2时，=﹣2=4=，x=32，整数对为（32，2）；
当y=3时，=﹣2=6﹣2；
当y=4时，=﹣2=6﹣4；
当y=5时，=﹣2=6﹣2；
当y=6时，=﹣2=6﹣2；
当y=7时，=﹣2=6﹣2；
当y=8时，=﹣2=6﹣4=2，x=8，整数对为（8，8）；
当y=9时，=﹣2=6﹣6；
当y=10时，=﹣2=6﹣2；
当y=11时，=﹣2=6﹣2；
当y=12时，=﹣2=6﹣4；
当y=13时，=﹣2=6﹣2；
当y=14时，=﹣2=6﹣2；
当y=15时，=﹣2=6﹣2；
当y=16时，=﹣2=6﹣8；
当y=17时，=﹣2=6﹣2；
当y=18时，=﹣2=6﹣6=0，x=0，整数对为（0，18）．
故整数对（X，Y）是（72，0），（32，2），（8，8），（0，18）共四个．
故选C．
点评：
此题比较复杂，需对x、y的值进行逐一验算求解，找出符合条件的实数对．

13．（1998•内江）若，则x3﹣3x2+3x的值等于（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
二次根式的化简求值．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
把x的值代入所求代数式求值即可．也可以由已知得（x﹣1）2=3，即x2﹣2x﹣2=0，则x3﹣3x2+3x=x（x2﹣2x﹣2）﹣（x2﹣2x﹣2）+3x﹣2=3x﹣2，代值即可．
解答：
解：∵x3﹣3x2+3x=x（x2﹣3x+3），
∴当时，原式=（）[﹣3（）+3]=3+1．
故选C．
点评：
代数式的三次方不好求，就先提取公因式，把它变成二次方后再代入化简合并求值．

14．（2000•陕西）将一个边长为a的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，求正八边形的面积（　　）

A．
（2﹣2）a2
B．
a2
C．
a2
D．
（3﹣2）a2

考点：
二次根式的应用．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
设剪去三角形的直角边长x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为x，即正八边形的边长为x，依题意得x+2x=a，则x=，那么正八边形的面积等于原正方形的面积减去四个直角三角形的面积．
解答：
解：设剪去三角形的直角边长x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为x，即正八边形的边长为x，
依题意得x+2x=a，则x==，
∴正八边形的面积=a2﹣4××=（2﹣2）a2．
故选A．

点评：
此题综合性较强，关键是寻找正八边形和正方形边长和面积之间的关系，得以求解．

二．填空题（共6小题）
15．（2012•田阳县一模）若[x]表示不超过x的最大整数（如[]=3，[﹣π]=﹣4等），根据定义计算下面算式：[]+[]+…+[]=　2011　．

考点：
二次根式的化简求值．菁优网版权所有
专题：
压轴题；新定义．
分析：
首先对每个式子进行分母有理化，即可确定每个式子的值，然后相加即可．
解答：
解：==，而1＜1+＜2．
所以[]=1，
设第n+1个式子是：===1+，
则[]=[1+]=1，
故可求得每个式子均为1，所以所求式子的和为2011．
点评：
本题是一道定义新运算型问题，具有一定的难度，解答问题的关键是归纳出一般规律，然后求解．

16．（2011•成都）设，，，…，．
设，则S=　　 （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．

考点：
二次根式的化简求值．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题；规律型．
分析：
由Sn=1++===，求，得出一般规律．
解答：
解：∵Sn=1++===，
∴==1+=1+﹣，
∴S=1+1﹣+1+﹣+…+1+﹣
=n+1﹣
==．
故答案为：．
点评：
本题考查了二次根式的化简求值．关键是由Sn变形，得出一般规律，寻找抵消规律．

17．若实数a满足|a﹣8|+=a，则a=　74　．

考点：
二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
由可得a≥10，再对式子进行化简，从而求出a的值．
解答：
解：根据题意得：a﹣10≥0，解得a≥10，
∴原等式可化为：a﹣8+=a，
即=8，
∴a﹣10=64，解得：a=74．
点评：
二次根式中被开方数为非负数，是解此题的突破口．

18．（2004•宁波）已知：a＜0，化简=　﹣2　．

考点：
二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
根据二次根式的性质化简．
解答：
解：∵原式=﹣=﹣
又∵二次根式内的数为非负数
∴a﹣=0
∴a=1或﹣1
∵a＜0
∴a=﹣1
∴原式=0﹣2=﹣2．
点评：
解决本题的关键是根据二次根式内的数为非负数得到a的值．

19．（2003•常德）化简：+2x﹣x2=　﹣2x　．

考点：
二次根式的加减法．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
利用开平方的定义计算．
解答：
解：原式=+2x﹣x2
=2x+x﹣5x
=﹣2x．
点评：
应先化成最简二次根式，再进行运算，只有同类二次根式，才能合并．

20．（2002•黄冈）若，则代数式的值等于　　．

考点：
二次根式的化简求值．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
先将各式因式分解，然后再约分、代值．
解答：
解：原式=
=
=，
当时，原式==．
故填空答案：．
点评：
本题考查了分式的计算和化简．解决这类题目关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．

三．解答题（共1小题）
21．（2008•凉山州）阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；
当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；
当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数．
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．
问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；
（2）猜想与|a|的大小关系．

考点：
二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
专题：
压轴题；阅读型．
分析：
应用二次根式的化简，首先应注意被开方数的范围，再进行化简．
解答：
解：（1）由题意可得=；
（2）由（1）可得：=|a|．
点评：
本题主要考查二次根式的化简方法与运用：①当a＞0时，=a；②当a＜0时，=﹣a；③当a=0时，=0．