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第 2 课时 课题:任意角的三角比

【教学目标】掌握任意角的三角比定义、弧度制。
【教学重难点】（1）理解并熟练掌握角的定义、分类；（2）终边相同的角的集合表示；
（3）角的弧度制
【知识点归纳】
一、角的概念的推广
1．角的定义
一条射线由原来的位置OA绕着它的端点O旋转到另一位置OB所形成的图 形就是角。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止时的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点。

2．角的分类
（1）按旋转方向分类可分为正角、负角和零角
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，一条射线没有作任何旋转时，这时形成的角叫做零角。
（2）按角的终边位置分类
在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边（除端点外）落在第几象限，就说这个角是第几象限角，当角的终边落在坐标轴上就认为这些角不属于任何象限。

3．终边相同的角的集合表示
所有与角终边相同的角，连同角在内可以用式子k·360°+，（k∈Z）来表示，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。

【同步练习】
1、下列命题中是真命题的是 （ ）
A．小于90°的角是锐角；
B．若是锐角，则的终边在第一象限；
C．若角与角的终边相同，则=；
D．若的终边在第一象限，则是正角。
2、在下列各角中与330°角的终边相同的是 （ ）
A．510° B．150° C．﹣60° D．﹣390°
3、将下列各角化成+2k（0≤≤2，k∈Z）的形式，并指出它们是第几象限的角：
（1）； （2）﹣315°； （3）1 500°； （4）﹣9

二、弧度制
1．角的度量
（1）弧度制的定义
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad，以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
（2）角的弧度数的计算
若l是以角作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径，那么的弧度数的绝对值||=

2．角度制与弧度制的换算
（1）角度化为弧度
360°=2 rad，180°= rad；1°= rad≈0．017 45 rad
（2）弧度化为角度
2 rad=360°， rad=180°，1 rad=≈57．30°
（3）常用的特殊角的弧度数
角度
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
120°
135°
150°
弧度
0

3． 弧长公式和扇形面积公式
（1）弧长公式
①角度制下的弧长公式为l=（n为角的角度数）；
②弧度制下弧长公式为l=·r，其中为圆弧所对的圆心角的弧度数，r为圆的半径。
（2）扇形面积公式
①角度制下的扇形面积公式S=；
②弧度制下扇形面积公式为S=l·r，其中l为扇形的弧长，r为扇形的半径，弧度制下扇形面积公式还可以表示为S=r，其中为扇形的圆心角，r为扇形的半径。

【同步练习】
1、（1）将315°30′化成弧度；

（2）将13．5 rad化成度；

（3）时间经过4小时，时针、分针各转多少度？等于多少弧度？

2、已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，
（1） 求的长；
（2） 求弓形AB的面积。

【巩固练习】
1、在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角
（1）最大的负角；
（2）最小的正角；
（3）360°~720°的角。

2、如图，试用弧度制：
（1） 分别写出终边在OA、OB上的角的集合；
（2） 写出终边落在阴影部分（含边界）的角的集合。

3、若是第二象限角，试判断2，，角各是第几象限角

4、用30cm长的铁丝围成一个扇形，应该怎样设计才能使扇形面积最大？最大面积是多少？

5、如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx=45°，点P从点A出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转。已知P在1秒钟内转过的角度为（0°<<180°），经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又回到出发点A，求

6、若是第三象限角，则所属的象限是

【知识点归纳】
1、角和角的终边相同：
2、象限角与正、负角
使用集合形式来表示角：
3、弧度制
4、弧长公式：
5、扇形面积公式：
6、三角比的定义：
7、不同象限内三角比的不同符号:

8、单位圆与三角函数线 ：

【例题精讲】
例1、用集合形式表示几种终边在特殊位置的角的集合
在平面直角坐标系中，以原点O为角的顶点，x轴的正半轴为角的始边，那么
（1）终边落在x轴正半轴的角的集合是_____________________；
（2）终边落在x轴负半轴的角的集合是_____________________；
（3）终边落在x轴上的角的集合是_____________________；
（4）终边落在y轴正半轴的角的集合是_____________________；
（5）终边落在y轴负半轴的角的集合是_____________________；
（6）终边落在y轴上的角的集合是_____________________；
（7）终边落在坐标轴上的角的集合是_____________________。

例2、已知角，在区间内找出所有与角具有相同终边的角。

例3、若角与的终边满足下列位置关系，求、所满足的度量关系
（1）重合： _____________________；
（2）关于原点对称： _____________________；
（3）关于x轴对称：_____________________；
（4）关于y轴对称：_____________________。

例4、命题P: 是第二象限角，命题Q: 是钝角，则P是Q的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
例5、若角是第二象限角，则是第__________象限角；
是第____________角；是第__________象限角。

例6、一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆周的长，则扇形的圆心角是多少弧度? 合多少度? 扇形的面积是多少?

例7、已知扇形OAB的圆心角为，面积为。
（1）求弧AB的长；（2）求含于扇形内，且以AB为弦的弓形面积。

例8、已知角的终边上一点，且，求、的值。

例9、（1）若且，则为第___________象限角；
（2）若，则为第___________象限角．

例10、利用三角函数线分别求满足下列条件的的取值范围:
（1）； （2）且。

【回顾反思】
1、主要方法：
① 弧度制与角度制的转换、弧长公式、扇形面积公式；
② 终边相同的角的表示、象限角的表示: 确定一个满足的角，后观察周期．
③ 任意角的三角比: 定义、所在象限三角比符号的确定．
2、易错、易漏点：
① 在简单三角比的运算中要牢记角的正切、余切有意义时角的范围问题，避免产生增根；
② 三角比的结果表达中不要弧度制、角度制混用；
③ 在任意角的范围表达中注意的条件．

【课后练习】
1、化为的形式是 （ ）
A． B．
C． D．
2、下列各命题中，为真命题的是 （ ）
A．第一象限角是锐角 B．直角不是任何象限角
C．第二象限角比第一象限角大 D．三角形的内角一定是第一或第二象限角
3、若2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角的所夹扇形的面积为 （ ）
A． B．
C． D．
4、在不等的圆中，1弧度的圆心角所对的 （ ）
A．弦长相等 B．弧长相等
C．弦长等于所在圆的半径 D．弧长等于所在圆的半径
5、一个半径为R的扇形，它的周长为，则这个扇形所含弓形的面积为 （ ）
A． B．
C． D．
6、在区间上且与角终边相同的角是___________。
7、若角是第三象限角，则角是第___________象限角；是第___________象限角；是第___________象限角；是第___________象限角。
8、在扇形中，圆心角所对弦长等于半径，则这个圆心角的度数为___________。
9、设A是的值域所组成的集合，则用列举法表示集合A为___________。
10、已知角的终边上有一点P到原点的距离为，且，则P点的坐标为___________。
11、若，则的取值范围是___________。
12、对于角，若它的终边与角的终边相同，求角的值。

13、已知扇形的周长为20，当扇形的圆心角为何值时，扇形的面积S最大? 此时的S为多少?

14、已知集合，求。

【拓展练习】
1、若，则为第___________象限角；与具有相同终边的最小正角_________。

2、已知为第二象限角，确定的符号。

3、已知，确定所在象限。

4、扇环的两条弧的长分别是，两条直边AD、CB的长均为d，求扇环ABCD的面积。

（第4题图）