求曲线方程的几种常用方法.doc

.
求曲线方程的几种常用方法
宜君县高级中学 马卫娟
已知动点所满足的条件，求动点的轨迹方程是平面解析几何的一个重要题型。下面就通过实例介绍几种求曲线方程的常用方法。
一.直接法：即课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系,这时,设曲线上动点的坐标为(x,y),再根据命题中的已知条件,研究动点形成的几何特征,运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x,y的关系式,从而得到轨迹方程。
例1.在直角△ABC中,斜边是定长2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程。
解法一：以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系（如图所示）则有:A(-a,0)、B(a,0),设动点C的坐标为(x,y)
则满足条件的点C的集合为
所以
即
因为当点C与A、B重合时，直角△ABC不存在，所以轨迹中应除去A、B两点，既。
故所求点C的轨迹方程为。
解法二:如解法一建立直角坐标系,设A(-a,0)、B(a,0)、C(x,y)
∵AC⊥BC
∴
∴（1）
化简得：（2）
由于时，方程(1)与(2)不等价,
所以所求点C的轨迹方程为。
解法三：如解法一建立直角坐标系，则：A(-a,0)、B(a,0)，设C(x,y)
连接CO，则有：
所以
即
轨迹中应除去A，B两点（理由同解法一）
故所求点C的轨迹方程为。
说明：利用直接法求曲线方程的一般步骤
(1) 建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意点M的坐标;
(2) 写出适合条件P的点M的集合P={M\p(m)};
(3) 用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0;
(4) 化方程f(x,y)为最简形式;
(5) 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。(此步骤常省略不写，但一定要注意所求方程中所表示的点是否都在曲线上，注意特殊点)。
直接法是求曲线方程的基本方法。本例虽给出了三种解法，但实质上都是利用等量关系，直接求出轨迹方程。
二 .中间变量法(相关点法)
如果所求轨迹上的动点P(x,y)与已知曲线上的动点M(x,y)相互制约，那么可根据动点M在已知曲线上的运动规律求出动点P的轨迹方程。
例2．已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，求AB中点M的轨迹方程。
解:由题意可设A(a,0)，B(0,b)，M(x,y)
∵
∴（1）
又∵M(x,y)是AB的中点
∴ ∴ （2）
（2）代入（1）得：
化简得：
所以AB中点M的轨迹方程是。
说明：此解法在求轨迹方程时应用广泛，并多与线段定比分点坐标公式相结合。
三.参数法：即通过一个(或若干个)中间变量的介入，使得点的坐标之间确立一定的间接关系,从而消去中间变量求得动点轨迹。
例3：过不在坐标轴上的定点M(a,b)的动直线交两坐标轴于点A、B，
过A、B作坐标轴的垂线交于点P，求交点P的轨迹方程。
解：如图，设P(x,y)，并设过点M的动直线为：
（k存在且k≠0），则：，
所以 即：
消去参数k即得交点P的轨迹方程为：。
说明：本题通过参数k把x，y联系在一起。
在利用参数法求轨迹时，要适当的设定参数，即应使动点坐标x，y便于用参数表示，最终应将参数方程化为普通方程。
以上介绍了求曲线方程的几种常用方法，即直接法，中间变量法及参数法。求曲线方程的关键是仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，寻找曲线上的任一点（动点）所满足的条件，然后把动点所适合的条件转化为动点坐标所适合的等式。解题过程中要注意同解变形，并考虑一些特殊点是否适合方程。
4 / 4