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已知三角函数图象求解析式方法例析
已知函数y＝Asin(ωx+φ)+k(A＞0，ω＞0)的部分图象，求其解析式，与用“五点法”作函数y＝Asin(ωx+φ)＋ｋ的图象有着密切联系，最主要的是看图象上的“关键点”与“特殊点”．本文就一般情况例析如下．
一、A值的确定方法：A等于图象中最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标所得差的一半．
二、 ω值的确定方法：
方法１.在一个周期内的五个“关键点”中，若任知其中两点的横坐标，则可先求出周期Ｔ，然后据ω＝求得ω的值．
方法２：“特殊点坐标法”。特殊点包括曲线与坐标轴的交点、最高点和最低点等。在求出了A与φ的值之后，可由特殊点的坐标来确定ω的值．
三、 φ值的确定方法：
方法１：“关键点对等法”．确定了ω的值之后，把已知图象上五个关键点之一的横坐标代人ωx+φ，它应与曲线ｙ＝sinx上对应五点之一的横坐标相等，由此可求得φ的值．此法最主要的是找准“对等的关键点”，我们知道曲线y＝sinx在区间[0，2π]上的第一至第五个关键点的横坐标依次为0、、π、、2π,若设所给图象与曲线y=sinx上对应五点的横坐标为x(J＝1,2,3,4,5), 则顺次有ωx+φ＝0、 ωx+φ＝、ωx+φ＝π、ωx+φ＝、ωx+φ＝2π,由此可求出φ的值。
方法2：“筛选选项法”，对于选择题，可根据图象的平移方向经过筛选选项来确定φ的值．
方法3：“特殊点坐标法”．（与2中的方法2类同）．
四、 k值的确定方法： K 等于图象向上或向下平移的长度，图象上移时k为正值，下移时k为负值．
另外A、ω、φ的值还可以通过“解方程（组）法”来求得．
例1.图1是函数ｙ＝2sin（ωx+φ）(ω＞０，φ≤)的图象，那么正确的是（ ）
Ａ.ω＝, φ＝　　　 Ｂ．ω＝, φ＝－
x
y
0
2
-22
Ｃ．ω＝２，φ＝　　 Ｄ．ω＝２，φ＝－
, 解：可用“筛选选项法”．
题设图象可看作由y＝2sinωx

的图象向左平移而得到，所以φ＞0
排除B和D，由A,C知φ＝；
ω值的确定可用“关键点对等法”，　　　图1
因点（,0）是“五点法”中的第五个点，
∴ω·+＝2π 解得ω＝２， 故选C．
例2.图2是函数y＝Asin(ωx+φ)图象上的一段,
（A＞0，ω＞0,φ∈（0，））,求该函数的解析式．
X
Y
2

0

解法一：观察图象易得A＝2,
∴T＝2×（-）＝π，
∴ω＝＝2.
∴y＝2sin(2x+φ).
下面用“关键点对等法”来求出 图2
φ的值,由2×+φ＝π（用“第三点”） 得φ＝
∴所求函数解析式为y＝2sin(2x+)．
说明：若用“第二点”，可由2× +φ＝求得φ的值；若用“第五点”，可由2×+φ＝2π求得φ的值．
解法二：由解法一得到T= π，ω=2后，可用“解方程组法”求得φ与A的值，∵点（0，）及点（，0）在图象上，
∴ Asinφ＝ (1)
Asin(2×+φ)＝0 (2)
由(2)得 φ＝kπ-(k∈Z)， 又φ∈（0，)，
∴只有K＝1，得φ＝ ， 代人（1）得A＝2.
∴所求函数解析式为　y＝2sin(2x+)．
例3.已知函数y＝Asin(ωx+φ) (A＞0，ω＞0, φ＜)图象上的一部分如图3所示，则必定有（ ）
(A) A=-2 （B）ω＝1 （C）φ＝ （D）K＝-2
解：观察图象可知 A＝2,k＝2. ∴y＝2sin(ωx+φ)+2
ｘ
２＋
ｙ
０
４
２
下面用“解方程组法”求φ与ω的值.
∵ 图象过点（0，2+）、（－，2）
∴ 2+=2sinφ+2 图3
2=2sin(-ω+φ)+2
解得ω＝2，φ＝ 故选C.
0
1
4
2
x
y
例4.如图4给出了函数y＝Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0, φ ＜)图象的一段，求这个函数的解析式．
解：由图象可知 T=2×(4-1)=6,
∴ω＝＝，∴y＝2sin（x+φ)
下面用“特殊点坐标法”求φ，
∵ 图象过点（1，2） 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
∴2＝2sin(×1+φ)， 又　φ ＜　　　　图４　　　　
∴只有φ＝
∴所求函数解析式为y＝2sin(x+).
说明：本题φ的值也可由“关键点对等法”来求得，如令×1+φ＝ 或×4+φ＝ 等均可求得φ的值．