2012新课标全国卷理科数学解析版.doc

2012年新课标全国卷理科数学试卷详解
（适用地区：豫 晋 疆 宁 吉 黑 蒙 冀 滇）
第I卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（，）|，，}，
则B中包含元素的个数为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
【解析】由集合B可知，，因此B={（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（3，1），（4，2），
（5，3），（4，1），（5，2），（5，1）}，B的元素10个，所以选择D。
【点评】本题主要考察复数的运算，属简单题。
2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
【解析】先安排甲组，共有种，再安排乙组，将剩余的1名教师和2名学生安排到乙组即可，共有1种，根据乘法原理得不同的安排方案共有12种，故选择A。
【点评】本题主要考集合的基础知识，子集的含意。
3．下面是关于复数的四个命题：
：；：；：的共轭复数为；：的虚部为。
其中的真命题为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【解析】因为，所以，，
的共轭复数为，的虚部为，所以，为真命题，故选择C。
【点评】本题主要考察椭圆的简单几何性质，标准方程的求解。
4．设、是椭圆E：（）的左、右焦点，P为直线上一点，
是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】如图所示，是等腰三角形，
，，
，，，又，
所以，解得，因此，故选择C。
【点评】本题主要考察空间点到面的距离，及解三角形的知识。
5．已知{}为等比数列，，，则（ ）
A．7 B．5 C．－5 D．－7
否
是
是
结束
输出A，B
开始
输入，，，…，
，，
否
是
否
【解析】因为{}为等比数列，
所以由已知得，
解得或，
所以或，
因此，，故选择D。
【点评】本题主要考察等差数列的通项公式及裂项法求和。
6．如果执行右边和程序框图，输入正整数（）和
实数，，…，，输出A，B，则（ ）
A．为，，…，的和
B．为，，…，的算术平均数
C．和分别是，，…，中最大的数和最小的数
D．和分别是，，…，中最小的数和最大的数
【解析】由程序框图可知，A表示，，…，中最大的数，
B表示，，…，中最小的数，故选择C。
【点评】本题主要考察程序框图的应用。

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【解析】由三视图可知，该几何体为
三棱锥A-BCD， 底面△BCD为
底边为6，高为3的等腰三角形，
侧面ABD⊥底面BCD，
AO⊥底面BCD，
因此此几何体的体积为
，故选择B。
【点评】本题主要考察空间几何体的三视图。

8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，
，则C的实轴长为（ ）
A． B． C．4 D．8
【解析】设等轴双曲线C的方程为，
即（），
抛物线的准线方程为，
联立方程，解得，
因为，
所以，从而，
所以，，，
因此C的实轴长为，故选择C。
【点评】本题主要考察双曲线和抛物线的几何性质。
9．已知，函数在（，）上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．[，] B．[，] C．（0，] D．（0，2]
【解析】因为，，所以，
因为函数在（，）上单调递减，
所以，解得，故选择A。
【点评】本题主要考察三角函数的图象和性质。
x
y
O
1
1
A．
1
y
x
O
1
x
y
O
1
1
1
x
y

1
O
B．
C．
D．
10．已知函数，则的图像大致为（ ）

【解析】的定义域为且，排除D；
因为，
所以当时，，在（－1，0）上是减函数；
当时，，在上是增函数。排除A、C，故选择B。
【点评】本题主要考察函数的图象与性质，用流氓做法，排除即可。
11．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图所示，根据球的性质，
知平面，则。
在直角中，，，
所以。
因此三棱锥S－ABC的体积
，故选择A。
【点评】本题主要考察锥体和球的性质。
12．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数与函数互为反函数，图象关于直线对称。
问题转化为求曲线上点P到直线的距离的最小值，则的最小值为。
（用切线法）：
设直线与曲线相切于点，
因为，所以根据导数的几何意义，
得，，
所以切点，从而，
所以
因此曲线上点P到直线
的距离的最小值为直线
与直线的距离，
从而，所以，故选择B。
【点评】本题主要考察导数的几何意义，函数的对称性，求函数最小值的方法。

第Ⅱ卷（共90分）
本试卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，夹角为45°，且，，则_________。
【答案】。
【解析】由已知。
因为，所以，
即， 解得。
【点评】本小题主要考察平面向量的数量积的知识。
14．设，满足约束条件，
则的取值范围为___________。
【答案】[－3，3]。
【解析】
可行域如右图所示。
将目标函数 化为。
显然当过点B（1，2）时， ；
当过点A（3，0）时， 。
因此的取值范围为[－3，3]。
【点评】本小题主要考察线性规划的知识。
15．某一部件由三个电子元件按下图方式连接
而成，元件1或元件2正常工作，且元
件3正常工作，则部件正常工作。设三个
电子元件的使用寿命（单位：小时）均服
从正态分布N（1000，502），且各个元件
能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________。
【答案】。
【解析】由已知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为。
因此该部件的使用寿命超过1000小时的概率为。
【点评】本小题主要考察概率与正态分布的知识。
16．数列{}满足，则{}的前60项和为____________。
【答案】。
【解析】因为，
所以，，，，，，
……，，，。
由，可得；
由，可得；
……
由，可得；
从而。
又，，，…，，，
所以

。
从而。
因此
。
【点评】本小题主要考察递推数列的知识。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知，，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，。
（1）求A；
（2）若，△ABC的面积为，求，。
【解析】（1）根据正弦定理，
得，，，
因为，
所以，
即，（1）
由三角形内角和定理，得，
代入（1）式得，
化简得，
因为，所以，即，
而，，从而，解得。
（2）若，△ABC的面积为，又由（1）得，
则，化简得，
从而解得，。
【点评】本小题主要考察正弦定理、余弦定理及三角变换的知识。

18．（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式；
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
①若花店一天购进16枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），
求的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。
【解析】（1）当时，；
当时，。
得：。
（2）①可取，，。
，，。
的分布列为

，
。
②答案一：
花店一天应购进16枝玫瑰花。理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），那么的分布列为

的数学期望为，
的方差为

，
由以上的计算结果可以看出，，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小。
另外，虽然，但两者相差不大。故花店一天应购进16枝玫瑰花。
答案二：
花店一天应购进17枝玫瑰花。理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），那么的分布列为

的数学期望为，
由以上的计算结果可以看出，，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝玫瑰花时的平均利润。故花店一天应购进17枝玫瑰花。

【点评】本小题主要考察统计、随机变量的分布列、期望、方差。

19．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD。
（1）证明：DC1⊥BC；
（2）求二面角A1－BD－C1的大小。
【解析】（1）在中，，
得：，
同理：，
得：。
又DC1⊥BD，，
所以平面。
而平面，所以。
（2）解法一：（几何法）
由面
。
取的中点，连接，。
因为，所以，
因为面面，所以面，从而，
又DC1⊥BD，所以面，因为平面，所以。
由，BD⊥DC1，所以为二面角A1－BD－C1的平面角。
设，，则，，
在直角△，，，
所以。 因此二面角的大小为。
解法二：（向量法）
由面
。又平面，
所以，，
以C点为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为
轴、轴、轴建立空间直角坐标系。
不妨设AA1=2，则AC=BC=AA1=1，
从而A1（1，0，2），D（1，0，1），
B（0，1，0），C1（0，0，2），
所以，，
。
设平面的法向量为，
则，，
所以，即，令，则。
设平面的法向量为，则，，
所以，即，令，则。
所以，解得。
因为二面角为锐角，因此二面角的大小为。
【点评】本小题主要考察空间线面垂直，线线垂直的判定与性质及二面角的求法。
20．（本小题满分12分）
设抛物线C：（）的焦点为F，准线为，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交于B，D两点。
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线上，直线与平行，且与C只有一个公共点，
求坐标原点到，距离的比值。
【解析】
（1）若∠BFD=90°，则△BFD为等腰直角三角形，
且|BD|=，圆F的半径，
又根据抛物线的定义可得点A到准线的距离
。
因为△ABD的面积为，
所以，即，
所以，由，解得。
从而抛物线C的方程为，
圆F的圆心F（0，1），半径，
因此圆F的方程为。
（2）若A，B，F三点在同一直线上，
则AB为圆F的直径，∠ADB=90°，
根据抛物线的定义，得，
所以，
从而直线的斜率为或。
当直线的斜率为时，直线的方程为，
原点O到直线的距离。
依题意设直线的方程为，
联立，得，
因为直线与C只有一个公共点，所以，从而。
所以直线的方程为，原点O到直线的距离。
因此坐标原点到，距离的比值为。
当直线的斜率为时，由图形的对称性可知，坐标原点到，距离的比值也为3。
21．（本小题满分12分）
已知函数满足。
（1）求的解析式及单调区间；
（2）若，求的最大值。
【解析】（1）因为，
所以，
所以，解得，。
所以的解析式为。
由此得。
而是R上的增函数，且，
因此，当时，，在上是增函数；
当时，，在上是减函数。
综上所述，函数的增区间为，减区间为。
（2）由已知条件得。 ①
（i）若，则对任意常数，当，且，
可得，因此①式不成立。
（ii）若，则。
（iii）若，设，则。
当，；当，
从而在单调递减，在单调递增。
所以等价于。 ②
因此。
设，则。
所以在单调递增，在单调递减，
故在在处取得最大值，从而，即。
当，时，②式成立，故。
综合得，的最大值为。

请考生在第22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22． (本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲
如图，，分别为边，的中点，直线
交的外接圆于，两点。若∥，证明：
（1)；
（2）∽。

【解析】（1）因为，分别为边，的中点，
所以∥。
又已知∥，所以四边形BCFD是平行四边形，
所以CF=BD=AD。
而∥，连结AF，
所以ADCF是平行四边形，故CD=AF。
因为∥，所以BC=AF，故CD=BC。
（2）因为∥，故GB=CF。
由（1）可知BD=CF，所以GB=BD。
所以。
因为∥，所以，
从而， ①
由（1），所以，
从而，②
故∽。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是。正方形ABCD的顶点都在上，
且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）。
（1)求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设为上任意一点，求的取值范围。
【解析】（1）曲线的参数方程化为
直角坐标方程为，
曲线的极坐标方程化为
直角坐标方程为，
因为点A的极坐标为（2，），
所以点B的极坐标为（2，），
点C的极坐标为（2，），
点D的极坐标为（2，），
因此点A的直角坐标为（1，），点B的直角坐标为（，1），
点C的直角坐标为（－1，－），点D的直角坐标为（，－1）。
（2）设P（，），则

。
因此的取值范围为[32，52]。
【点评】本小题主要考察参数方程、极坐标的相关知识。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数。
（1)当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含[1，2]，求的取值范围。
【解析】（1）当时，。
所以不等式可化为
，或，或。
解得，或。
因此不等式的解集为或。
（2）由已知即为，
也即。
若的解集包含[1，2]，则，，
也就是，，
所以，，从而，
解得。因此的取值范围为。
【点评】本小题主要考察含两个绝对值的不等式的解法，函数恒成立问题。