2012新课标全国卷理科数学解析版.doc

2012年新课标全国卷理科数学试卷详解（适用地区：豫 晋 疆 宁 吉 黑 蒙 冀 滇）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题有且只有一个选项是符合题目要求的1已知集合A=1，2，3，4，5，B=（，）|，则B中包含元素的个数为（ ）A3 B6 C8 D10 【解析】由集合B可知，因此B=（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（3，1），（4，2），（5，3），（4，1），（5，2），（5，1），B的元素10个，所以选择D。【点评】本题主要考察复数的运算，属简单题。2将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A12种 B10种 C9种 D8种【解析】先安排甲组，共有种，再安排乙组，将剩余的1名教师和2名学生安排到乙组即可，共有1种，根据乘法原理得不同的安排方案共有12种，故选择A。【点评】本题主要考集合的基础知识，子集的含意。3下面是关于复数的四个命题：；：；：的共轭复数为；：的虚部为。其中的真命题为（ ）A， B， C， D，【解析】因为，所以，的共轭复数为，的虚部为，所以，为真命题，故选择C。【点评】本题主要考察椭圆的简单几何性质，标准方程的求解。4设、是椭圆E：（）的左、右焦点，P为直线上一点，是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（ ）A B C D【解析】如图所示，是等腰三角形，又，所以，解得，因此，故选择C。【点评】本题主要考察空间点到面的距离，及解三角形的知识。5已知为等比数列，则（ ）A7 B5 C5 D7否是是结束输出A，B开始输入，否是否【解析】因为为等比数列，所以由已知得，解得或，所以或，因此，故选择D。【点评】本题主要考察等差数列的通项公式及裂项法求和。6如果执行右边和程序框图，输入正整数（）和实数，输出A，B，则（ ）A为，的和 B为，的算术平均数C和分别是，中最大的数和最小的数 D和分别是，中最小的数和最大的数【解析】由程序框图可知，A表示，中最大的数，B表示，中最小的数，故选择C。【点评】本题主要考察程序框图的应用。7如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A6 B9 C12 D15【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥A-BCD，底面BCD为底边为6，高为3的等腰三角形，侧面ABD底面BCD，AO底面BCD，因此此几何体的体积为，故选择B。【点评】本题主要考察空间几何体的三视图。8等轴双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，则C的实轴长为（ ）A B C4 D8【解析】设等轴双曲线C的方程为，即（），抛物线的准线方程为，联立方程，解得，因为，所以，从而，所以，因此C的实轴长为，故选择C。【点评】本题主要考察双曲线和抛物线的几何性质。9已知，函数在（，）上单调递减，则的取值范围是（ ）A， B， C（0， D（0，2【解析】因为，所以，因为函数在（，）上单调递减，所以，解得，故选择A。【点评】本题主要考察三角函数的图象和性质。xyO11A1yxO1xyO111xy1OBCD10已知函数，则的图像大致为（ ）【解析】的定义域为且，排除D；因为，所以当时，在（1，0）上是减函数；当时，在上是增函数。排除A、C，故选择B。【点评】本题主要考察函数的图象与性质，用流氓做法，排除即可。11已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）A B C D【解析】如图所示，根据球的性质，知平面，则。在直角中，所以。因此三棱锥SABC的体积，故选择A。【点评】本题主要考察锥体和球的性质。12设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（ ）A B C D【解析】函数与函数互为反函数，图象关于直线对称。问题转化为求曲线上点P到直线的距离的最小值，则的最小值为。（用切线法）：设直线与曲线相切于点，因为，所以根据导数的几何意义，得，所以切点，从而，所以因此曲线上点P到直线的距离的最小值为直线与直线的距离，从而，所以，故选择B。【点评】本题主要考察导数的几何意义，函数的对称性，求函数最小值的方法。第卷（共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量，夹角为45，且，则_。【答案】。【解析】由已知。因为，所以，即，解得。【点评】本小题主要考察平面向量的数量积的知识。14设，满足约束条件，则的取值范围为_。【答案】3，3。【解析】可行域如右图所示。将目标函数化为。显然当过点B（1，2）时， ；当过点A（3，0）时， 。因此的取值范围为3，3。【点评】本小题主要考察线性规划的知识。15某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_。【答案】。【解析】由已知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为。因此该部件的使用寿命超过1000小时的概率为。【点评】本小题主要考察概率与正态分布的知识。16数列满足，则的前60项和为_。【答案】。【解析】因为，所以，。由，可得；由，可得；由，可得；从而。又，所以。从而。因此。【点评】本小题主要考察递推数列的知识。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）已知，分别为ABC三个内角A，B，C的对边，。（1）求A；（2）若，ABC的面积为，求，。【解析】（1）根据正弦定理，得，因为，所以，即，（1）由三角形内角和定理，得，代入（1）式得，化简得，因为，所以，即，而，从而，解得。（2）若，ABC的面积为，又由（1）得，则，化简得，从而解得，。【点评】本小题主要考察正弦定理、余弦定理及三角变换的知识。18（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式；（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。若花店一天购进16枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列、数学期望及方差；若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。【解析】（1）当时，； 当时，。 得：。 （2）可取，。 ，。 的分布列为 ， 。答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花。理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），那么的分布列为的数学期望为，的方差为，由以上的计算结果可以看出，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小。另外，虽然，但两者相差不大。故花店一天应购进16枝玫瑰花。答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花。理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），那么的分布列为的数学期望为，由以上的计算结果可以看出，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝玫瑰花时的平均利润。故花店一天应购进17枝玫瑰花。【点评】本小题主要考察统计、随机变量的分布列、期望、方差。19（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1BD。（1）证明：DC1BC；（2）求二面角A1BDC1的大小。【解析】（1）在中， 得：， 同理：， 得：。又DC1BD，所以平面。而平面，所以。（2）解法一：（几何法）由面。 取的中点，连接，。 因为，所以，因为面面，所以面，从而，又DC1BD，所以面，因为平面，所以。由，BDDC1，所以为二面角A1BDC1的平面角。 设，则，在直角，所以。 因此二面角的大小为。解法二：（向量法）由面。又平面，所以，以C点为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系。不妨设AA1=2，则AC=BC=AA1=1，从而A1（1，0，2），D（1，0，1），B（0，1，0），C1（0，0，2），所以，。设平面的法向量为，则，所以，即，令，则。设平面的法向量为，则，所以，即，令，则。所以，解得。因为二面角为锐角，因此二面角的大小为。【点评】本小题主要考察空间线面垂直，线线垂直的判定与性质及二面角的求法。20（本小题满分12分）设抛物线C：（）的焦点为F，准线为，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交于B，D两点。（1）若BFD=90，ABD的面积为，求的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线上，直线与平行，且与C只有一个公共点，求坐标原点到，距离的比值。【解析】（1）若BFD=90，则BFD为等腰直角三角形，且|BD|=，圆F的半径，又根据抛物线的定义可得点A到准线的距离。因为ABD的面积为，所以，即，所以，由，解得。从而抛物线C的方程为，圆F的圆心F（0，1），半径，因此圆F的方程为。（2）若A，B，F三点在同一直线上，则AB为圆F的直径，ADB=90，根据抛物线的定义，得，所以，从而直线的斜率为或。当直线的斜率为时，直线的方程为，原点O到直线的距离。依题意设直线的方程为，联立，得，因为直线与C只有一个公共点，所以，从而。所以直线的方程为，原点O到直线的距离。因此坐标原点到，距离的比值为。当直线的斜率为时，由图形的对称性可知，坐标原点到，距离的比值也为3。21（本小题满分12分）已知函数满足。（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值。【解析】（1）因为，所以，所以，解得，。所以的解析式为。由此得。而是R上的增函数，且，因此，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数。综上所述，函数的增区间为，减区间为。（2）由已知条件得。 （i）若，则对任意常数，当，且，可得，因此式不成立。（ii）若，则。（iii）若，设，则。 当，；当，从而在单调递减，在单调递增。所以等价于。 因此。设，则。所以在单调递增，在单调递减，故在在处取得最大值，从而，即。当，时，式成立，故。综合得，的最大值为。请考生在第22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22 (本小题满分10分) 选修41：几何证明选讲如图，分别为边，的中点，直线交的外接圆于，两点。若，证明：（1)；（2）。【解析】（1）因为，分别为边，的中点，所以。又已知，所以四边形BCFD是平行四边形，所以CF=BD=AD。而，连结AF，所以ADCF是平行四边形，故CD=AF。因为，所以BC=AF，故CD=BC。（2）因为，故GB=CF。由（1）可知BD=CF，所以GB=BD。所以。因为，所以，从而， 由（1），所以，从而，故。23（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是。正方形ABCD的顶点都在上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）。（1)求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设为上任意一点，求的取值范围。【解析】（1）曲线的参数方程化为直角坐标方程为，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，因为点A的极坐标为（2，），所以点B的极坐标为（2，），点C的极坐标为（2，），点D的极坐标为（2，），因此点A的直角坐标为（1，），点B的直角坐标为（，1），点C的直角坐标为（1，），点D的直角坐标为（，1）。 （2）设P（，），则。因此的取值范围为32，52。【点评】本小题主要考察参数方程、极坐标的相关知识。24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数。（1)当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含1，2，求的取值范围。【解析】（1）当时，。 所以不等式可化为，或，或。解得，或。因此不等式的解集为或。 （2）由已知即为，也即。若的解集包含1，2，则，也就是，所以，从而，解得。因此的取值范围为。【点评】本小题主要考察含两个绝对值的不等式的解法，函数恒成立问题。