20183高三青岛一模统一质量检测文科数学含答案.doc

2018年青岛市高三统一质量检测
数学（文科）
本试题卷共6页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
祝考试顺利
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则
A． B． C． D．
2．已知复数（是虚数单位），则下列命题中错误的是
A． B．在复平面上对应点在第二象限
C． D．的虚部为
3．已知双曲线的一个焦点为，一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为
A． B． C． D．
4．为了得到函数的图像，可以将函数的图像
A．向右平移个单位　 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位　　 D．向左平移个单位
5．公差不为的等差数列的前项和为，若，且，则的值为
A． B． C． D．
俯视图
正视图
侧视图

6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A． B．
C． D．

开始
结束
输出
是
否

输入

7．中国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有
一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，
初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何
日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，
则输出结果

A． B．
C． D．

8．函数的大致图像为

B

C

D

A

9．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，则三棱柱外接球的表面积为
A． B． C． D．
10．已知，则下列结论正确的为
A．　 B．　 C．　 D．
11．函数在上单调递减，且的图像关于对称，若，则满足的的取值范围是
A． B．
C． D．
12．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，若的面积为，则的值为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．
13．已知向量，向量，若，则的值为 ；
14．已知实数,满足，则的最大值为 ；
15．已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：

根据上表可得回归方程，其中，据此估计，当投入万元广告费时，销售额为___________万元；
16．已知数列满足：，若数列满足，数列的前项和为，则的值为 ．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，且的面积是，求的值．

18．（12分）某校高三年级的名学生参加了一次数学测试，已知这名学生的成绩全部介于分到分之间（满分分），为统计学生的这次考试情况，从这名学生中随机抽取名学生的考试成绩作为样本进行统计．将这名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第三组，……，第八组．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
（1）求第七组的频率，并完成频率分
布直方图；
（2）估计该校高三年级的这名学
生的这次考试成绩的中位数；
（3）若从样本成绩属于第一组和第
六组的所有学生中随机抽取
名，求这名学生的分数差的
绝对值大于分的概率．

19．（12分）如图，圆柱横放在底面边长为的正六棱锥的顶点上， 和分别是圆柱左和右两个底面的圆心，正六棱锥底面中心为，，分别是圆柱的底面的最高点和最低点，是圆柱的底面的最低点，为中点，点共面，点共线，四边形为矩形．
（1）求圆柱的体积，并证明：平面；
（2）作出点在平面上的正投影，并证明之．
注：正棱锥就是底面是一个正多边形，
顶点在底面上的正投影为底面的中心的棱锥．

20．（12分）已知椭圆和圆，点在椭圆 上，点在圆上， 的最大值和最小值分别为，．
（1）求椭圆及圆的标准方程；
（2）已知为坐标原点，直线的斜率分别为，直线的斜率等于，若四边形为平行四边形，求的值．

21．（12分）已知函数（，，为自然对数的底数），若对于恒成立．
（1）求实数的值；
（2）证明：存在唯一极大值点，且．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修：坐标系与参数方程（10分）
已知曲线为参数，为参数，在以原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线．
（1）求曲线的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若上的点对应的参数，为上的点，求的中点到直线距离的最小值．

23．选修：不等式选讲（10分）
设函数．
（1）解不等式；
（2）若对一切实数都成立，求的取值范围．

2018年青岛市高三统一质量检测
数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．
C B C D A D C B C C D A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15． 16．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答．
（一）必考题：共60分．
17. （本题满分12分）
解：（1）
由正弦定理得，…………………………2分
…………………………………………………4分

，………………………………………………………………………6分
（2），……………………………8分
由余弦定理得，，
……………………………………………………10分
，
………………………………………………………………………………12分

18．（本题满分12分）
解：（1）由频率分布直方图知第七组的频率
…………2分
直方图如图． ………………………………………………………………………………4分
（2）成绩落在第一组的频率为；
成绩落在第二组的频率为；
成绩落在第三组的频率为；
成绩落在第四组的频率为；
由于；
设该校的名学生这次考试成绩的中位数为，则……………………………………………………………………6分

…………………………………………………………………………………………8分
（3）第六组有学生：人，分别记作；
第一组有学生：人，分别记作．
从中任取人的所有基本事件为
，共个．……………………………………………10分
这名学生的分数差的绝对值大于分，表示所选人来自不同组，其基本事件有个：
所以从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取名，这名学生的分数差的绝对值大于分的概率为：…………………………………………………12分

19．（本题满分12分）
解：（1）正六棱锥底面中心，底面，
为中点, 四边形为矩形，为的中点，，
，，从而底面，
分别是圆柱的底面的最高点和最低点，
底面，
从而共线………………………………………………………………………1分
正六棱锥的底面边长为，，
四边形为矩形，，且
为中点，，且
在中，为的中位线，从而为中点，
所以 …………………………………………………………………………3分
所以圆柱的体积………………………………………………4分
下面证明：平面
证明：因为为中点，为中点，所以；
又因为共线，所以；………………………………………………6分
面，面，所以平面………………………………8分
（2）取中点，连接；
在中作于，则为点在平面上的正投影 ……………9分
下面证明之：
六棱锥为正棱锥，，从而，
正六棱锥底面中心为，底面
底面，
，平面，
平面，………………………………………………………11分
，平面，
所以点在平面上的正投影为 …………………………………………………12分

20．（本题满分12分）
解：（1）由题知：，…………………………………………………2分
，
所以，椭圆的标准方程：；圆的标准方程：……………5分
（2）设直线的方程：
由………………………………………6分
设，的中点坐标为，
由得

从而…………………………………………8分
四边形为平行四边形

，满足……………………………………………………………………10分
所以：
…………………………………………12分

21．（本题满分12分）
解：（1）由可得： ……………1分
因为，所以,
从而是的一个极小值点，
由于,所以……………………………………4分
当时,,
在上单调递减；
在上单调递增；
，故………………………………………………………………5分
（2）当时，，.
令，则
，在上为减函数；
，在上为增函数
由于,所以在上存在满足
在上为减函数，
时，，即，在上为增函数；时，，即，在上为减函数
因此在上只有一个极大值点，.………………………………………7分
由于，且在上为增函数
时，，即，在上为减函数；
时，，即，在上为增函数
因此在上只有一个极小值点，.
综上可知：存在唯一的极大值点，且…………………………9分
，
所以，， 时，，
……………………………………………………………………………12分

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本题满分10分）选修：坐标系与参数方程
解：（1）由题曲线的普通方程为
是以为圆心，半径为的圆 ………………………………………………2分
曲线的普通方程为
是以原点为中心，焦点在轴上长轴为短轴为的椭圆………………………4分
（2）当时，点坐标为………………………………………………………5分
设，所以中点的坐标为
又直线的直角坐标方程为………………………………………………………6分

当时，取最小值……………………………………………10分

23．（本题满分10分）选修：不等式选讲
解：（1）由可得：
①当时，原不等式可化为，
解得：，不等式无解；………………………………………………………1分
②当时，原不等式可化为
解得：，不等式解为……………………………………………3分
③当时，原不等式可化为
解得：，不等式解为…………………………………………………4分
综上，原不等式解集为 ……………………………………………………5分
（2）令
为使对一切实数都成立
必须有 ……………………………………………………………6分

…………………………………………………8分

解得：………………………………………………………………………10分