湖北省武汉市武昌区届高三月调考理科数学试题含答案.doc

武昌区2016届高三年级五月调研考试理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若复数是实数，则实数（ B ）A B1 C D22若变量x，y满足约束条件则的最大值是( C )A B0 C D3某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则( B )A B C D4已知双曲线，点，为其两个焦点，点P为双曲线上一点若，则的值为( C )A2 B C D5设，则( C )A B C Dk=k+2输出k结束开始S=0，k=0是否6执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是( B )ABCD7的展开式中，的系数为( A )A110 B120 C130 D1502453正视图侧视图俯视图8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的 体积为( C )A12B18C24D309动点A(x，y)在圆上绕坐标原点沿 逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周已知 时间时，点A的坐标是，则当 时，动点A的纵坐标y关于t（单位： 秒）的函数的单调递增区间是( D )A B C D和10已知命题p1：设函数，且，则在上必有零点；p2：设，则“”是“”的充分不必要条件则在命题：，：，：和：中，真命题是( C )Aq1，q3 Bq2，q3 Cq1，q4 Dq2，q411在中，M是BC的中点若，则( A )A B C D12设直线与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点若这样的直线恰有4条，则r的取值范围是( D )A(1，3) B(1，4) C(2，3) D(2，4)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13若向量a，b满足：a，(a2b)a，(ab)b，则|b| 答案：14已知，则 答案：15已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上若，则该球的表面积等于 答案：16已知函数（k为常数），曲线在点(0，f(0)处的切线与x轴平行，则的单调递减区间为 答案：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）设数列的前n项和为，已知，（）证明：数列是等比数列；（）求数列的前n项和解：（）由an1Sn，及an1Sn1Sn，得Sn1SnSn，整理，得nSn12(n1)Sn，2又1，是以1为首项，2为公比的等比数列6分（）由（），得2n1，Snn2n1（nN*）Tn120221322n2n1， 2Tn 121222(n1)2n1n2n 由，得Tn(12222n1)n2nn2n(n1)2n112分18（本小题满分12分）某公司招收大学毕业生，经过综合测试录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，在180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作（）现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人若从这8人中再选3人，求至少有一人来自甲部门的概率；（）若从甲部门中随机选取3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，求X的分布列及数学期望 男 女 8 8 6 16 86 5 4 3 2 17 65 4 2 18 5 63 2 1 19 0 2解：（）根据茎叶图可知，甲、乙两部门各有10人，用分层抽样的方法，应从甲、乙两部门中各选取104人记“至少有一人来自甲部门”为事件A，则P(A)1故至少有一人来自甲部门的概率为5分（）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)X的分布列为X0123PE(X)012312分19（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，SD底面ABCD，ABDC，ADDC，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC（）证明：；（）求二面角的大小解：（）以D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系D-xyz，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，S(0，0，2)，(0，2，2)，(1，1，0)，(0，2，0)SDABCExyzF设平面SBC的法向量为m(a，b，c)，由m，m，得取m(1，1，1)又设（0），则E(，)，(，)设平面EDC的法向量n(x，y，z)，由n，n，得取n(2，0，)由平面EDC平面SBC，得mn，mn0，20，即2故SE2EB6分（）由（），知E(，)，(，)，(，)，0，ECDE取DE的中点F，则F(，)，(，)，0，FADE向量与的夹角等于二面角A-DE-C的平面角而cos，故二面角A-DE-C的大小为12012分20（本小题满分12分）已知，是椭圆的两个顶点，过其右焦点F的直线l与椭圆交于C，D两点，与轴交于P点（异于A，B两点），直线AC与直线BD交于Q点（）当时，求直线l的方程；（）求证：为定值解：（）由题设条件可知，直线l的斜率一定存在，F(1，0)，设直线l的方程为yk(x1)（k0且k1）由消去y并整理，得(12k2)x24k2x2k220设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|CD|由已知，得，解得k故直线l的方程为y(x1)或y(x1)，即xy10或xy105分（）由C(x1，y1)，D(x2，y2)，A(0，1)，B(0，1)，得直线AC的方程为yx1，直线BD的方程为yx1，联立两条直线方程并消去x，得，yQ由（），知y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，x1y2x2y1x1x2kx1(x21)kx2(x11)x1x22kx1x2k(x1x2)x1x22kkx1x2x1x2，x1y2x2y1x1x2kx1(x21)kx2(x11)x1x2k(x2x1)x1x2k(x2x1)k(x1x2)，yQ，Q(xQ，)又P(0，k)，(0，k)(xQ，)1故为定值12分21（本小题满分12分）（）证明：当时，；（）若不等式对恒成立，求实数a的取值范围解：（）记F(x)sinxx，则F(x)cosx当x(0，)时，F(x)0，F(x)在0，上是增函数；当x(，1)时，F(x)0，F(x)在，1上是减函数F(0)0，F(1)0，当x0，1时，F(x)0，即sinxx记H(x)sinxx，则当x(0，1)时，H(x)cosx10，H(x)在0，1上是减函数，H(x)H(0)0，即sinxx综上，xsinxx，x0，14分（）当x0，1时，axx22(x2)cosx4(a2)xx24(x2)sin2(a2)xx24(x2)(x)2(a2)x当a2时，不等式axx22(x2)cosx4对x0，1恒成立下面证明：当a2时，不等式axx22(x2)cosx4对x0，1不恒成立axx22(x2)cosx4(a2)xx24(x2)sin2(a2)xx24(x2)()2(a2)xx2(a2)xx2xx(a2)存在x0(0，1)（例如x0取和中的较小者）满足ax0x2(x02)cosx040，即当a2时，不等式axx22(x2)cosx40对x0，1不恒成立综上，实数a的取值范围是(，212分22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲ABCDEOO如图，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交O于点E，已知（）求的值；（）求线段AE的长解：（）AC切O于A，CABADB，同理ACBDAB，ACBDAB，即ACBDABADACBD3，ABAD95分（）AD切O于A，AEDBAD，又ADEBDA，EADABD，即AEBDABAD由（）可知，ACBDABAD，AEAC310分23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为（）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；（）若P是直线上的一点，Q是曲线C上的一点，当取得最小值时，求P的直角坐标解：（）由2cos，得22cos，从而有x2y22x，(x)2y23曲线C是圆心为(，0)，半径为的圆5分（）由题设条件知，|PQ|QC|PC|，当且仅当P，Q，C三点共线时，等号成立，即|PQ|PC|，|PQ|min|PC|min设P(t，5t)，又C(，0)，则|PC|当t1时，|PC|取得最小值，从而|PQ|也取得最小值，此时，点P的直角坐标为(，)10分24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，函数的最小值为2（）求的值；（）证明：与不可能同时成立解：（）a0，b0，f(x)|xa|xb|(xa)(xb)|ab|ab|ab，f(x)minab由题设条件知f(x)min2，ab25分（）由（）及基本不等式，得2ab2，ab1假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a2及a0，得a1同理b1，ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立10分