全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导三角恒等式和三角不等式.doc

全国高中数学联赛 金牌教练员讲座
兰州一中数学组

第七讲 三角恒等式和三角不等式

知识、方法、技能
三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律.
三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，完成证明.“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。当然有时也可以利用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于的代数恒等式的证明问题.

万能公式

相除
相除
相除

积化和差
和差化积
相加减

要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式. 为此，同学们要熟练掌握各公式及各公式的来龙去脉和变形形式.

上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础.
此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法.
三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器.
三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角形内角和等于180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式，大家往往不甚熟悉，但十分有用.
赛题精讲
例1：已知
【思路分析】条件涉及到角、，而结论涉及到角，.故可利用消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A”入手.
【证法1】

【证法2】

例2：证明：
【思路分析】等号左边涉及角7x、5x、3x、x右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为、
的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次.
【证明】因为
从而有

【评述】本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复数求解. 令，展开即可.
例3：求证：
【思路分析】等式左边同时出现、，联想到公式.
【证明】

【评述】本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证
等.
例4：已知
【证明】

例5：证 明：
【证明】

【评述】这是三倍角的正弦的又一表示. 类似地，有
. 利用这几个公式可解下例.
例6：求证：①
②sin1°sin2°sin3°…sin89°=
【证明】①cos6°cos42°cos66°cos78°
=cos6°cos54°cos66°

②sin1°sin2°sin3°…sin89°
=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60°
=

又

即
所以
例7：证明：对任一自然数n及任意实数为任一整数），有

【思路分析】本题左边为n项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多中间项.
【证明】
同理
……

【评述】①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.
②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：
.

例8：证明：
【证明】

所以，
【评述】①本题也可借助复数获证.
②类似地，有
利用上述公式可快速证明下列各式：

针对性训练题
1．证明：sin47°+sin61°－sin11°－sin25°=cos7°.
2．证明：
3．已知：sinA+sinB+sinC=0，cosA+cosB+cosC=0.
求证：sin2A+sin2B+sin2C=0，cos2A+cos2B+cos2C=0.
4．已知
5．已知的最大值.
6．已知、、、的最大值.
7．△ABC中，C=2B的充要条件是
8．△ABC中，已知、、成等差数列，求证：、、也成等差数列.
9．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，求B的最大值.
10．若、能否以、、的值为边长构成一个三角形.
11．求函数的值域.
12．求函数的值域.