厦门大学第景润杯数学竞赛试卷答案理工类.doc

厦门大学第十二届“景润杯”
数学竞赛试卷（理工类）
竞赛日期 2015年5月30日
竞赛时间 2013.06.22 （理工卷）

一、 求下列各题极限（每小题5分，共15分）
（1） 求极限 .
原式
.
另解：原式
. （两次应用拉格朗日中值定理）
其中在之间，在之间.
(1) 设，求极限.
解：将递推的数列等式看成是二阶常系数的齐次差分方程
其特征方程为，其特征根为，故此差分方程的通解为，其中为常数，其特解可由定出,由于，所以 .
另解：由题设条件知，对，，且，即严格单增，所以，，即有 ，
故
所以 ，即.
（3）设可微函数满足 ，求
.
解：由 得.
记

.
二、（8分）设函数可导，且满足，其中是常数，且，求的导数.
解：由, ，得
，即
令 ，则

(代入)
.
三、（8分）设函数在上有连续的导数，且，证明至少存在一点，使得.
证明：构造辅助函数，则在上连续可导，且，
若对，则有下面两种情况
(i) 对，此时，，，
从而，这与矛盾，
(ii) 对，此时，，，
从而，这与矛盾。
从而至少存在一点，使得.
四、（8分） 证明不等式
证明：设
，令 解得驻点为
，
，故是的极小值点，是的极大值点。
由罗尔定理，在区间上，仅有唯一的一个零点，当时，，当时，，又,
因此在上，，从而在上，单增，且
类似地，由罗尔定理，在区间上，仅有唯一的一个零点，当时，，当时，，又
，因此在上，，从而在上单减，且，综上所述，在区间上恒大于零，即在上的最小值为，即，从而不等式成立。
五、设是上的连续函数，且对有
（称具有反序性）
（i） 证明：
（ii） 利用（i）证：若是上的连续函数，且对有
，则.
证：(i)由 得

不等式两端在D上求二重积分，其中，即

即
（ii）由于与在上[0,1]具有反序性，则由（i）

因为，所以 .
六、（10分）已知曲线，在纵坐标为的点处的切线为，是通过且与曲面相切的平面，求的方程.
解：若以为参数，曲线C的参数方程为，在对应点处的切向量为，所以在点处的切线的方程为
，或者
过的平面束方程为，
即 （1）
记，设与曲面的切点为，则曲面在点处的法向量为，
由于所求的平面与相切，因此应满足 ，
由此可得，且, (在上)
又因为也应在上，将其代入（1）得
，即
解得，因而得到所求的的平面方程为
或.
七、（10分）设分别是函数在上的最大值和最小值，是连接原点与点的位于第一象限内的光滑曲线，并且与线段围成的闭区域的面积为1，求关于坐标的曲线积分.
（其中为逆时针方向）
解：先确定，再计算.
由的积分表达式 ，
于是的根为，并且

所以 ，

（由格林公式）

.
八、（10分）设幂级数的系数满足，求此幂级数的和函数.
解：设，则，由条件，有

解此一阶线性微分方程，得. 由，得，故
.
九、（12分）设是过原点，方向为（其中）的直线，均匀椭球（其中，密度为1）绕旋转
（1）求其转动惯量；
（2）其转动惯量关于方向的最大值和最小值.
解：（1）设旋转轴的方向向量为，椭球内任意一点到旋转轴的距离的平方为

由积分区域的对称性，，
其中，而

同理
所求的转动惯量为.
（2）设考虑目标函数在约束条件下的条件极值. 设拉格朗日函数为

令
求得极值点为
通过比较可知，当时，即绕轴转动惯量最大，即
，当时，即绕轴转动惯量最小，即.
十、（9分）在不断抽打下，陀螺会飞快地旋转，但当一旦停止对它进行抽打，它也就不再转动而停下来.设陀螺材质均匀，且旋转体所占的立体区域为，试求当陀螺停止转动后，在稳定平衡状态下它的中心轴与水平地面的夹角.如图（轴截面）(其中A为陀螺停止转动后，在稳定平衡状态下与地平面的接触点)
解：首先求陀螺的质心坐标.由于陀螺材质均匀的旋转体，所以它的
质心就是几何体的形心，根据对称性可知，
必有，而

.所以有陀螺的质心坐标为
.当陀螺停止转动后，在稳定平衡状态下时，它的质心到水平地面的距离应达到最短。
如轴截面，设陀螺在稳定平衡状态下，它与水平地面的切点为
于是问题就转化为一个条件极值问题，其目标函数为
，约束条件为（陀螺侧面的轴截线）
将其代入目标函数，有
解驻点，令 ，
当时，，当时，
从而得到
轴截线与轴在点处的切线与轴的夹角为

，，.