湖北省武汉市第二中学麻城一中2014高二下学期期中考试数学文试题.doc

武汉二中、麻城一中2014-2015学年度下学期期中联考
高二（文科）数学试卷
命题学校：麻城一中 命题教师： 乐瑞芳 审题教师：周金春
考试时间：2015年4月28日上午8：00—10：00 试卷满分：150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）
1．命题：，x＞0的否定为（ ）
A. ，x≤0 B. ，x0＞0
C. ，x0≤0 D. ，x＜0
2. 若复数是纯虚数，则实数m的值为（ ）
A. m=2 B. m=3 C. m=2或m=3 D. m=0
3. 如图是根据变量x，y的观测数据(i=1，2，3，…，10)得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有相关关系的图是（ ）

A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
4. 若动点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式，则M的轨迹为（ ）
A. 椭圆 B. 双曲线的右支
C. 双曲线的右支 D. 双曲线的左支
5. 执行如右图所示的程序框图，若输入x的值为1，则输出的n的值为（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
6. 2014年国家加大对科技创新行业的支持力度，某研究机构对一新型行业的企业年投入x（单位：万元）与年盈利y（单位：万元）情况进行了统计分析，得下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程中的b的值为0.7，若某企业计划年投资14万元，则该企业的年盈利约为（ ）
A. 6.5 B. 7 C. 7.5 D. 8
7. 记集合，，若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 正项等比数列中的a1，a9是函数的极值点，则lna5
=（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 与a的值有关
9. 已知点P（a，b）是抛物线上一点，焦点为F，，则（ ）
A. 100 B. 200 C. 360 D. 400
10. 若曲线的切线的倾斜角为，则的取值范围为（　　）
　Ａ. B. C. D.
11. 已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则的最大值为（ ）
A. 10 B. 15 C. 4 D. 5
12. 刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积.刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为，即V牟：V球=.也导出了“牟合方盖”的体积计算公式，即V牟=r3-V方盖差，从而计算出V球=.记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正，则（ ）
A. V方盖差＞V正 B. V方盖差=V正
C. V方盖差＜V正 D.以上三种情况都有可能

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. i为虚数单位，则=___________.
14. 某校拔河比赛，三班、四班、五班在预赛中胜出，三个裁判估测冠军，裁判甲说：冠军不会是三班，也不会是四班；乙说：冠军不会是三班，一定是五班；丙说：冠军不会是五班，而是三班，比赛结果出来后，他们中有一个人的两个判断都对，一个人的两个判断都错，还有一个人的判断一对一错，则冠军是_______班。
15. 已知，，则的最小值为________.
16. 若函数在定义域内的一个区间（a＜b）上函数值的取值范围恰好是，则称区间（a＜b）是函数的一个减半压缩区间.若函数存在一个减半压缩区间（（b＞a≥1）.
（1）当时，函数的减半压缩区间为_________；
（2）m的取值范围是__________.
三、解答题题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分12分）
气象部门提供了某地今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下：
日最高气温t
t≤22℃
22℃＜t≤28℃
28℃＜t≤32℃
t＞32℃
天数
6
12
X
Y
由于工作疏忽，统计表被墨水污染，数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9.
（1）若把频率看作概率，求X，Y的值；
（2）把日最高气温高于32℃称为本地区的“高温天气”，根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此你是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关？说明理由.

高温天气
非高温天气
合计
旺销
1

不旺销

6

合计

附：
P(K2≥k)
0.10
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
18.（本小题满分12分）
命题p：方程表示椭圆；命题q：关于x的不等式＜m有解. 若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围.

19.（本小题满分12分）已知函数.
（1）求函数在x=1处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）若函数与有相同极值点，且对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围.

20.（本小题满分12分）如右图，一正方形钢板ABCD缺损一角（图中的阴影部分），边缘线OC是以直线AD为对称轴，以线段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分. 工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形. 若正方形的边长为2m，问：如何画切割线EF，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值.

21.（本小题满分12分）已知椭圆(a＞b＞0)和直线，椭圆的离心率，原点O到直线l的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（-1，0），若直线与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在k值，使以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k值；若不存在，说明理由.

22.（本小题满分10分）已知函数.
（1）解不等式＞1；
（2）若的解集包含，求实数a的取值范围.
武汉二中、麻城一中2014-2015学年度下学期期中联考
高二（文科）数学试卷答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
C
B
B
C
A
B
D
C
B
A

二、填空题
13. 14. 三 15. 4 16. ；
三、解答题
17.（1）由条件知： 解得………………………………（2分）
从而有………………………………………………………（4分）
（2）

高温天气
非高温天气
合计
旺销
1
21
22
不旺销
2
6
8
合计
3
27
30
………………………（7分）
＜3.841……（10分）
所以没有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关……………（12分）
18.解：命题p：若方程表示椭圆则为
………………………………（3分）
命题q：若x的不等式有解
∵ ∴只要m＞7即可………………………………………（6分）
若为真，为假，
则命题p，q中必有一真一假。……………………………………………………（8分）
若p真，q假：{m|9＜m＜25且m≠17}∩{m|m≤7}=
若p假，q真，{m|m≤9或m≥25或m=17}∩{m|m＞7}={m|7＜m≤9或m=17或m≥25}
因此，所求m的范围是{m|7＜m≤9或m=17或m≥25}……………………………（12分）
19.解：（1）∵
∴，所求的切线斜率为0
又切点为（1，-1）
故所求切线方程为…………………………………………………………（2分）
（2）∵且x＞0
令＞0得0＜x＜1，令＜0得x＞1.
从而函数的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）
显然函数只有极大值，且极大值为……………………………………（6分）
（3）由（2）知，x=1是函数的极值点，且函数在上的最大值为，若与有相同的极值点
∴x=1也是的极值点，又
∴，得a=1，即……………………………………（8分）
当时，
当且仅当时取等号，∴函数在上的最小值为2……………（10分）
要对于任意x1，x2，不等式恒成立，
只要，，即得
故实数m的取值范围是……………………………………………………（12分）
20.解：以A为坐标原点，直线AB、AD分别为x轴，y轴建立如右图所示的直角坐标系.
则设边缘线OC的方程为(0≤x≤2)
又∵点C（2，2）在上
∴得
∴(0≤x≤2) ……………………（4分）
要使梯形ABEF的面积最大，则直线EF必与边缘线OC相切，设切点为
（0＜t＜2），当t=0或2时，S=2.
又∵， 直线EF的方程为 :
即
由此可求得，………………………………………（6分）
从而有，
设梯形的面积为S（t）
则

∴当t=1时，
此时，……………………………………………………………（10分）
故当|AF|=0.75m；|BE|=1.75m时可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大面积为2.5m2
……………………………………………………………………………………………（12分）
21.解（1）由原点O到直线l的距离为，得，解得①，
又，所以. ②
由①②可解得，∴椭圆的方程是.…………………………（4分）
（2）联立消去y得.
＞0k＞1或k＜-1.……………………（6分）
设C（x1，y1），D（x2，y2），则有，，,
∵，，且以CD为直径的圆过定点E，
∴EC⊥ED，则，即，
…………………………………………………………………………………………（10分）
∴，解得＞1，
∴当时，以CD为直径的圆过定点E.…………………………………………（12分）
22. 解（1）∴
则不等式＞1的解集为……………………………………（4分）
（2）当-2≤x≤-1，
总有
∴
得
即有-2≤a≤5，故所求a的范围是[-2，5]……………………………………………（10分）