初二下学期数学期中复习精.doc

初二数学下学期期中复习
1.1一元一次不等式
一、知识点回顾
1、不等式的定义：
一般地，用符号“＜”、“≤”、“＞”、“≥”、“≠”连接的式子叫做不等式。
注意：⑴要弄清不等式和等式的区别：等式有等号，而不等式没有。
⑵常用的不等号有：＜、≤、＞、≥、≠。
⑶列不等式是数学化与符号化的过程，它与列方程类似，列不等式注意找到问题中不等关系的词，如：
“正数(＞0)”， “负数（＜0）”， “非正数（≤0）”， “非负数（≥0）”，
“超过(＞0)”， “不足（＜0）”， “至少（≥0）”， “至多（≤0）”，
“不大于（≤0）”， “不小于（≥0）”
⑷除了⑶常见不等式所表示的基本语言与含义还有：
①若a－b＞0，则a大于b ；②若a－b＜0，则a小于b ；③若a－b≥0，则a不小于b ；④若a－b≤0，则a不大于b ；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号。
⑸不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c。
练习：1、用不等式表示：⑴a是正数： ；⑵x的平方是非负数： ；
⑶a不大于b： ；⑷x的3倍与－2的差是负数： ；
⑸长方形的长为x cm，宽为10cm，其面积不小于200cm2： 。
2、试判断与的大小。
3、如果，，则的从打到小的排序是： 。

2、不等式的基本性质：
有时，为了更好的理解新旧知识之间的异同，便以表格形式将二者进行比较。
等式的基本性质
不等式的基本性质
一般形式
两边同时加上（或减去）同一个代数式所得结果仍是等式。
性质1：两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
若，则
两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数）所得结果
仍是等式。
性质2：两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
若，则
性质3：两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
若，则
比如：不等式的解集是，一定会有。
3、不等式的解和不等式的解集的定义：
⑴能使不等式成立的未知数的值（一个或几个），叫做不等式的解。
⑵一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
注意：不等式的解集，包含两方面的含义：
⑴未知数取解集中的任何一个值时，不等式都成立。
⑵未知数取解集外的任何一个值时，不等式都不成立。
⑶求不等式的解集的过程叫做解不等式。
⑷不等式的解集可在数轴上直观表示。注意：用数轴表示不等式的解，应记住规律：
大于向右画，小于向左画，有等号(≤、≥)画实心点，无等号(＜、＞)画空心圈。
4、一元一次不等式的定义和解法：
⑴不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式。其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)．
⑵解一元一次不等式的一般步骤：
5、一元一次不等式与一次函数
⑴利用函数图象求解不等式，通过直接观察图象，得到不等式的解集，并用解不等式方法加以验证；
⑵借助于函数关系建立不等式，即先建立函数模型，再建立不等式模型。
⑶解一元一次不等式与解一元一次方程的区别
①从表达含义来看：一元一次不等式表示的是不等关系，一元一次方程表示的是相等关系。
②从解法来看：解法的5个步骤相同，但是“去分母”“系数化为1”时，如果不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等号方向改变。
③从解的情况来看：不等式有无数个解，而一元一次方程只有唯一解。
⑷一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的互相转化作用
令一次函数y=kx+b(k≠0)中的y=0，即可得一元一次方程，将一元一次方程中的等号改为不等号，一元一次方程则转化为一元一次不等式
6、一元一次不等式组：
⑴关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组。
⑵一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
⑶一元一次不等式组的解法：先解出各个不等式的解集，然后再找出它们的公共部分。
可以利用数轴来找。
一元一次不等式组
解集
图示
语言表达
（）

同大取大
（）

同小取小
（）

大小小大中间取
（）
无解

大大小小无解答
7、列不等式（组）解应用题的一般步骤：
①弄清题意和题中的数量关系，用字母表示未知数
②找出能表示题目全部含义的一个（多个）不等关系。
③根据这个不等关系列出所需要的代数式，从而列出不等式（组）
④解这个不等式（组），求出解集
⑤写出符合实际意义的解。

二、常见题型
例1：解不等式并把它的解集在数轴上表示出来。
例2：求不等式的非负整数解
例3：已知关于x的方程的解是非负数，求m的取值范围。
例4：已知，，当x取何值时，y1>y2？
例5、点A（m－4，1－2m）在第三象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例6：解不等式组

例7：解不等式3<≤5
例8：已知关于x、y的方程组的解满足x<1，y>1，求整数a的值。

例9：七（２）班共有50名学生，老师安排每人制作一件A型或B型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36kg，乙种制作材料29kg，制作A、B两种型号的陶艺品用料情况如下表：

需甲种材料
需乙种材料
1件型陶艺品
０.9kg
0.3kg
1件型陶艺品
0.4kg
1kg
（1）设制作型陶艺品件，求的取值范围；
（2）请你根据学校现有材料，分别写出七（2）班制作型和型陶艺品的件数．

第二章 分解因式
1.1分解因式
一、知识点回顾
一）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。（和差化积）
易错点注意：1、被分解的代数式（等式的左边）是多项式；2、分解后的因式（等式的右边）是整式；3、结果是积的形式；4、结果的因式必须分解彻底。
二、提公因式法分解因式
（一）公因式：①系数取最大公约数；②相同字母取最低次幂。
（二）提取公因式的方法：每项都从左到右寻找，先考虑系数（取最大公约数，第一项若是负数则需提取负号，提取负号后各项要变号）、再到字母（把每项都有的相同字母提取出来，以最低次幂为准）。
三、运用公式分解因式
（一）（1）平方差公式：
（2）完全平方公式：
二、常见题型

例1、下列由左到右的变形，属分解因式的是（　　）
A、　　　　　　　 　B、
C、　 D、
例2、已知关于x的二次三项式分解因式的结果为,求m，n的值。
例3、k为何值时，多项式有一个因式是？
例4、已知，求的值。
例5、已知，求的值。
例6求证能被24整除。
例8分解因式
⑴ ⑵
⑶ ⑷
练习：
1、a＝47，b＝32，c＝21，求的值。

2、已知a＋b＝13，ab＝40，求的值。

3、已知，求代数式的值。

4、不解方程组　　　　　　，求的值。

5、利用因式分解说明能被7整除。

6、已知可分解因式为，求m的值。

7、计算的结果为（　　　）
A、　 　　　B、　 　　C、　 　　　D、　
8、分解因式＝　　　　　　。
例、
①
②　　　　　　　　　　　
③
④
⑤
⑥　　　　　　　
⑦
⑧
⑨

第三章 分式
一、知识点回顾
概括定义1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

（）

3.分式的通分和约分：关键先是分解因式
4.分式的运算：
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减
混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。
5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即；当n为正整数时， （
6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)
（1）同底数的幂的乘法：；
（2）幂的乘方：;
（3）积的乘方：；
（4）同底数的幂的除法：( a≠0)；
（5）商的乘方：；(b≠0)
7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
解分式方程的步骤 ：
(1)能化简的先化简 (2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．
　增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．
应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题
基本公式：工作量=工时×工效． (4)顺水逆水问题、

8、知识总览
本章主要学习分式的概念，分式的基本性质，分式的约分、通分，分式的运算（包括乘除、乘方、加减运算），分式方程等内容，分式是两个整式相除的结果，且除式中含有字母，它类似于小学学过的分数，分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型，在中考中，有关分式的内容所占比例较大，应重视本章知识的学习．
【经典例题】
考点1：分式的意义
例1．（1）当 时，分式有意义．
（2）已知分式的值是零，那么x的值是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
考点2：分式的变形
例2．下列各式与相等的是（ ）
（A）（B）（C）（D）
考点3：分式的化简
分式的约分与通分是进行分式化简的基础，特别是在化简过程中的运算顺序、符号、运算律的应用等也必须注意的一个重要方面
例2．化简：÷(x－).
考点4：分式的求值
例4．先化简代数式：，然后选取一个使原式有意义的的值代入求值．
考点5：解分式方程
例5．解分式方程：
考点6：分式方程的应用
例6． A城市每立方米水的水费是B城市的1.25倍，同样交水费20元，在B城市比在A城市可多用2立方米水，那么A、B两城市每立方米水的水费各是多少元？
考点7：综合决策
例7．在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天）完成．现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成．请问：
（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？
（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用

易错点剖析
1．符号错误
例1．不改变分式的值，使分式的分子、分母第一项的符号为正．
2．运算顺序错误
例2．计算：
3．错用分式基本性质
例3．不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数．
4．约分中的错误
例4．约分：．
5．结果不是最简分式
例5．计算：．
6．误用分配律
例6．计算：．
7．忽略分数线的括号作用
例7．计算：．
【方法点拔】
一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。每题3分,共24分)：
1.下列运算正确的是( )
A.x10÷x5=x2 B.x-4·x=x-3 C.x3·x2=x6 D.(2x-2)-3=-8x6
2. 一件工作,甲独做a小时完成,乙独做b小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时.
A. B. C. D.
3.化简等于( )
A. B. C. D.
4.若分式的值为零,则x的值是( )
A.2或-2 B.2 C.-2 D.4
5.不改变分式的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( )
A. B. C. D.
6.分式:①,②,③,④中,最简分式有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.计算的结果是( )
A. - B. C.-1 D.1
8.若关于x的方程 有解,则必须满足条件( )
A. a≠b ，c≠d B. a≠b ，c≠-d C.a≠-b , c≠d C.a≠-b , c≠-d
9.若关于x的方程ax=3x-5有负数解,则a的取值范围是( )
A.a<3 B.a>3 C.a≥3 D.a≤3
10.解分式方程,分以下四步,其中,错误的一步是( )
A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)
B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6
C.解这个整式方程,得x=1
D.原方程的解为x=1
二、填空题:(每小题4分,共20分)
11.把下列有理式中是分式的代号填在横线上 ．
(1)－3x；(2)；(3)；(4)－；(5) ； (6)；(7)－； (8).
12.当a 时，分式有意义．
13.若x=-1,则x+x-1=__________.
14.某农场原计划用m天完成A公顷的播种任务,如果要提前a天结束,那么平均每天比原计划要多播种_________公顷.
15.计算的结果是_________.
16.已知u= (u≠0),则t=___________.
17.当m=______时,方程会产生增根.
19.当x 时，分式的值为负数．
20.计算(x+y)· =____________.
三、计算题:(每小题6分,共12分)
21.; 22..

四、解方程:(6分)
23.。

五、列方程解应用题：(10分)
24.甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天, 再由两队合作2天就完成全部工程,已知甲队与乙队的工作效率之比是3:2,求甲、 乙两队单独完成此项工程各需多少天?

第四章 相似图形
知识要点：

二. 线段的比：
同一长度单位的两条线段AB、CD的长度分别为m、n，那么这两条线段的比AB：
三. 比例线段：
a、b、c、d分别叫做1，2，3，4项，其中a、d叫外项，b、c叫内项。
四. 比例的基本性质：

五. 合比性质、等比性质：

七. 黄金分割：

线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。

八. 相似多边形及性质：
1. 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。
2. 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应线段比等于相似比。
九. 相似三角形性质与判定：
1. 三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。记作△ABC~△DEF。
2. 相似三角形对应角相等，对应边成比例，对应线段成比例（对应高、对应中线、对应角平分线）。
周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
3. 判定：
（1）两角对应相等，两三角形相似。
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（3）三边对应成比例，两三角形相似。
4. 相似三角形的性质
（1）对应边的比相等，对应角相等.
（2）相似三角形的周长比等于相似比.
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.
5.三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线.
三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.
梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.
7.相似三角形的应用:
１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；
２、利用三角形相似，求线段的长等
3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。
(三)位似:
位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.
位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
1.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=16，将△ABC沿DE折叠，使点C落在BC边上的C’处，并且C’D∥BC，则CD的长度是_________。

2．如图，在直角梯形ABCD中，AD=8，AB=2，DC=3，P为AD上一点，若△PAB和△PCD相似，则AP的长度为多少？

3.如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O，已知AB=7，BC=5，则
等于_________。

4.如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，过点D垂直于直线AB的直线交BC与点F，交AC的延长线于点E，
请说明：△DCF∽△DEC。

（一）选择题
1．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（　　）
（A）　（B）　（C）　（D）
2．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则（　）
（A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD

题2 题4 题5
3．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（　　）
（A）1条　　　（B）2条　　　（C）3条　　　（D）4条
4．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（　　）
（A）2　　　（B）3　　　（C）4　　　（D）5
5．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（　　）
（A）∠APB＝∠EPC　（B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点（D）BP︰BC＝2︰3
6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：
（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）＝；（4）AB2＝BD·BC
其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（　　）
（A）3个　　　（B）2个　　　（C）1个　　　（D）0个

题6 题7 题8
7．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（　　）
（A）AE⊥AF　（B）EF︰AF＝︰1（C）AF2＝FH·FE　（D）FB︰FC＝HB︰EC
8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（　　）
（A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长
（B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积
（C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC
9．如图，在□ABCD中，E为AD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于（　　）
（A）4︰10︰25　（B）4︰9︰25　（C）2︰3︰5　（D）2︰5︰25

题9 题10 题11
10．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（　　）．
（A）5︰12　　（B）9︰5　　（C）12︰5　　（D）3︰2
11．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC︰CD为（　　）
（A）2︰1　　（B）3︰2　　（C）3︰1　　（D）5︰2
12．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9 cm，宽AB＝3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（　　）
（A）4 cm、 cm　（B）5 cm、 cm（C）4 cm、2 cm　（D）5 cm、2 cm
题12
（二）填空
13．已知线段a＝6 cm，b＝2 cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与
a－b的比例中项是_____cm．
14．若＝＝＝－m2，则m＝______．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______．
16．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．

题16 题17 题18
17．如图，AB∥CD，图中共有____对相似三角形．

18．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．
19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE的长等于________．

题19 题20 题21
20．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，则
△ABC的面积是______．
21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD
面积是_________．
22．如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8 cm，AD＝8 cm，BC＝14 cm，
则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝____________．

(三)解答题
23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．

24. 已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．求证＋＝1

25. 如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．

26. 如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．
（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．

27. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，CA＝8 cm，动点P从点C出发，以每秒2 cm的
速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使S△BCP＝S△ABC？

28. 如图，小华家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块35m长且平 行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）．

29. 阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.

30. （1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。求证：AE//BC；
（2）如图二，将(1)中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。所作△EDC改成相似于△ABC。请问：是否仍有AE//BC？证明你的结论。

O
P
A
X
Y
B
Q
31. 如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm，OB=6cm，点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动：点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间（），那么：
（1）设△POQ的面积为，求关于的函数解析式。
（2）当△POQ的面积最大时，△ POQ沿直线PQ翻折
后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，
并说明理由。
（3）当为何值时， △POQ与△AOB相似？