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圆的弧长和图形面积的计算 一、选择题(每小题6分，共24分) 1．(2014•襄阳)用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为( B ) A.12 B．1 C.32 D．2 2．(2013•河北)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C＝30°，CD＝23，则S阴影＝( D ) A．π B．2π C.233 D.23π 3．(2014•金华)一张圆心角为45°的扇形纸板和一张圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是( A ) A．5∶4 B．5∶2 C.5∶2 D.5∶2 4．(2014•东营)如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则图中弓形的面积为( C ) A.4π－334 B.π－34 C.2π－334 D.π－332 二、填空题(每小题7分，共28分) 5．(2014•泰州)圆锥的底面半径为6 cm，母线长为10 cm，则圆锥的侧面积为__60π__cm2. 6．(2013•重庆)如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA＝2，那么图中阴影部分的面积为__π－2__．(结果保留π)． ,第6题图) ,第7题图) 7．(2013•泸州)如图，从半径为9 cm的圆形纸片上剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为__35__ cm. 解析：圆心角是360×(1－13)＝240°，则弧长是240π×9180＝12π(cm)．设圆锥的底面半径是r，则2πr＝12π，解得r＝6，则圆锥的高是92－62＝35(cm) 8．(2013•昆明)如图，从直径为4 cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB，且点O，A，B在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是__22__cm. 三、解答题(共48分) 9．(12分)(2013•x疆)如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC＝30°，且AB＝AC. (1)求证：AB为⊙O的切线； (2)求弦AC的长； (3)求图中阴影部分的面积．
(1)证明：如图，连接OA.∵AB＝AC，∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°.∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，∴在△ABO中，∠OAB＝180°－∠ABO－∠AOB＝90°，即AB⊥OA，又∵OA是⊙O的半径，∴AB为⊙O的切线 (2)解：如图，连接AD.∵CD是⊙O的直径，∴∠DAC＝90°.∵由(1)知，∠ACB＝30°，∴AD＝12CD＝4，则根据勾股定理知AC＝CD2－AD2＝43，即弦AC的长是43 (3)由(2)知，在△ADC中，∠DAC＝90°，AD＝4，AC＝43，则S△ADC＝12AD•AC＝12×4×43＝83.∵点O是△ADC斜边上的中点，∴S△AOC＝12S△ADC＝43.根据图示知，S阴影＝S扇形AOD＋S△AOC＝60π×42360＋43＝83π＋43，即图中阴影部分的面积是83π＋43
10．(12分)(2014•滨州)如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． (1)证明：连接OC.∵AC＝CD，∠ACD＝120°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°.∴∠OCD＝90°.∴CD是⊙O的切线 (2)解：∵∠A＝30°，∴∠1＝2∠A＝60°.∴S扇形BOC＝60π×22360＝2π3.在Rt△OCD中，∵CDOC＝tan60°，∴CD＝23.∴SRt△OCD＝12OC•CD＝12×2×23＝23.∴图中阴影部分的面积为23－2π3
11．(12分)(2014•襄阳)如图，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG. (1)求证：EF∥CG； (2)求点C，点A在旋转过程中形成的AC�啵�AG�嘤胂叨�CG所围成的阴影部分的面积． (1)证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°，∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝EC，∴∠AFB＋∠FAB＝90°，∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC∥FG，∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG (2)解：∵AD＝2，E是AB的中点，∴FE＝BE＝12AB＝12×2＝1，∴AF＝AB2＋BF2＝22＋12＝5，由平行四边形的性质，△FEC≌△CGF，∴S△FEC＝S△CGF，∴S阴影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形FAG＝90•π•22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90•π•（5）2360＝52－π4
12．(12分)(2013•龙岩)如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝3＋1，AD＝3. (1)如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为__6__； (2)如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为____； (3)如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得到△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．(结果保留π) (2)由(1)知，C′E＝1＝C′F，∴S四边形B′FED′＝S矩形B′D′EC′－S△EC′F＝3－12 (3)∵∠C＝90°，BC＝3，EC＝1，∴tan∠BEC＝BCCE＝3，∴∠BEC＝60°，由翻折可知：∠DEA＝45°，∴∠AEA′＝75°＝∠D′ED″，∴D′D″�啵�75×π×3180＝5312π
2015年名师预测 1．如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形EBF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是( B ) A.23π－32 B.23π－3 C．π－32 D．π－3 解析：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴∠ADC＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴△DAB是等边三角形，∵AB＝2，∴△ABD的高为3，∵扇形EBF的半径为2，圆心角为60°，∴∠4＋∠5＝60°，∠3＋∠5＝60°，∴∠3＝∠4，在△ABM和△DBN中，∠A＝∠2，AB＝BD，∠3＝∠4，∴△ABM≌△DBN(ASA)，∴四边形MBND的面积等于△ABD的面积，∴图中阴影部分的面积是S扇形EBF－S△ABD＝60π×4360－12×2×3＝23π－3 ,第1题图) ,第2题图) 2．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以点B为圆心，BA长为半径画AC�啵�连接AF，CF，则图中阴影部分面积为__4π__． 解析：设小正方形的边长为x.∵S△AGF＝12AG•GF＝12x(x＋4)，S梯形CBGF＝12(GF＋BC)．BG＝12x(x＋4)．∴S△AGF＝S梯形CBGF.设AF与BC相交于点O，则S△ABO＝S△CFO，∴图中阴影部分面积＝S扇形ABC＝14π•AB2＝4π
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