北京中考数学一模26题探索型专题.doc

2017年北京中考数学一模26题 “探索型”专题
西城26．阅读下列材料：
某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源以后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，……，按照以上方式不断循环.
小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度，x（单位：min）表示接通电源后的时间.
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况
接通电源后
的时间x
（单位：min）
0
1
2
3
4
5
8
10
16
18
20
21
24
32
…
水箱中水的温度y
（单位：℃）
20
35
50
65
80
64
40
32
20
m
80
64
40
20
…
m的值为 ；
（2）① 当0≤x≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；
当4＜x≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；
② 如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32时，温度y随时间x变化的函数图象；

（3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源 min.

东城26. 在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质.
定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）.

（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ；

定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）.
特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形.
小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究.
下面是小洁的探究过程，请补充完整：
（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；
（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）.
朝阳26. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究.
下面是小华的探究过程,请补充完整:
(1)函数的自变量x的取值范围是 ；
(2)下表是y与x的几组对应值.
x
…
-3
-2
-1
0

1
3

4
5
6
7
…
y
…

6
6

m
…
求m的值；
（3）如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象；

（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： .

房山26.小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）函数的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值.
x
…

0

1

2

3
4
…
y
…

2

4

2

m
…
表中m的值为________________；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点. 根据描出的点，画出函数的大致图象；
（4）结合函数图象，请写出函数
的一条性质：______________________________.
（5）解决问题：如果函数与直线y=a的交点有2个，那么a的取值范围是______________ .

顺义26．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）该函数的自变量x的取值范围是　　　　；
（2）同学们先找到y与x的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系xOy中，描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ．

平谷26．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
小军根据学习函数的经验， 对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小军的探究过程， 请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值
x
﹣2
﹣1.9
﹣1.5
﹣1
﹣0.5
0
1
2
3
4
…
y
2
1.60
0.80
0
﹣0.72
﹣1.41
﹣0.37
0
0.76
1.55
…

在平面直角坐标系xOy中， 描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点， 画出该函数的图象；

（3）观察图象，函数的最小值是 ；
（4）进一步探究，结合函数的图象， 写出该函数的一条性质（函数最小值除外）： ．

门头沟26.在一节数学实践课上，老师出示了这样一道题，
如图26-1，在锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对边分别是a、b、c,
请用a、c、∠B表示.

26-1
26-2

经过同学们的思考后，
甲同学说：要将锐角三角形转化为直角三角形来解决，并且不能破坏∠B，因此可以经过点A，作AD⊥BC于点D,如图26-2，大家认同；
乙同学说要想得到要在Rt△ABD或Rt△ACD中解决；
丙同学说那就要先求出________,_______；(用含c，∠B的三角函数表示)
丁同学顺着他们的思路，求出=AD2+DC2=_____________(其中)；
请利用丁同学的结论解决如下问题：
如图26-3，在四边形ABCD中，,,.
求AC的长（补全图形，直接写出结果即可）.

26-3

海淀26．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
下面是小文的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x
…

0
2
3
4
5
…
y
…

0
2

…

x=1
如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．

①观察图中各点的位置发现：点和，和，和，和均关于某点中心对称，则该点的坐标为 ；
②小文分析函数的表达式发现：当时,该函数的最大值为0，则该函数图象在直线左侧的最高点的坐标为 ；
（3）小文补充了该函数图象上两个点（），（），
①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象；
②写出该函数的一条性质：________________ ．
丰台26．【问题情境】
已知矩形的面积为a（a为常数，），当该矩形的长为多少时，它的周长
最小?最小值是多少?
【数学模型】
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数表达式为．
【探索研究】
小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．
（1）结合问题情境，函数的自变量x的取值范围是，
下表是y与x的几组对应值．
x
…

1
2
3
m
…
y
…

2

…
①写出m的值；
②画出该函数图象，结合图象，得出当x =______时，y有最小值，y最小=________；
【解决问题】
（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．

石景山26．（1）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，
这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形为凹四边形．

图1 图2 图3 图4

（2）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．
已知：如图2，四边形是凹四边形．
求证：．
（3）性质应用：
如图3，在凹四边形中，的角平分线与的角平分线交于
点，若，，则 ．
（4）类比学习：
如图4，在凹四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接各边中点得到四边形．若，，
则四边形是 ．（填写序号即可）
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形

通州26．已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x>0，下表是y与x的几组对应值.
x
…
1
2
4
5
6
8
9
…
y
…
3.92
1.95
0.98
0.78
2.44
2.44
0.78
…

小风根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象和性质进行了探究.
下面是小风的探究过程，请补充完整：
（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象；

（2）根据画出的函数图象，写出：
①x=7对应的函数值y约为______________.
②该函数的一条性质：______________________________________________________.

怀柔26．已知y是x的函数，下表是y与x的几组对应值.
x
2
3
4
5
6
7
…
y
0
1

2

…
小聪根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的表达式，图象和性质进行了探究.
下面是小聪的探究过程，请补充完整:
(1)根据上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，
写出该函数的表达式: ;
(2)该函数自变量x的取值范围是 ;
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点的位置（近似即可），根据描出的点，画出该函数的图象;

(4)根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质: .

西城26．解：（1）50； 1分
（2）①答案不唯一. 如：当0≤x≤4时，；
当4＜x≤16时，；
3分
②

4分
（3）56.
5分

东城26．解：
（1）. …………1分
（2）它是一个轴对称图形；两组邻边分别相等；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线等等. …………3分
已知：如图，在凹四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC.
求证：∠B=∠D.
证明：连接AC.
∵AB=AD,CB=CD,AC=AC，
∴△ABC≌△ADC.
∴∠B=∠D. …………4分

（3）燕尾四边形ABCD的面积为. …………5分

朝阳26.解:（1）x≠2
（2）当x=7时，y=.
∴.

（3）该函数的图象如下图所示：

（4）答案不唯一,如：函数图象关于直线x=2对称.
房山26.（1）全体实数 ------1分
（2）m= ------2分
（3）------3分
（4）以下情况均给分：
①图象位于第一、二象限 ②当x=1时，函数有最大值4.
③图象有最高点（1，4） ④x>1时，y随x增大而减小
⑤x<1时，y随x增大而增大 ⑥图象与x轴没有交点
⑦图象与y轴有一个交点 ⑧图象关于直线x=1对称 …… ------4分
（5）0<a<4 ------5分

顺义26．解：（1）自变量x的取值范围是 ． …………………………………… 1分

（2）

………………………… 3分

（3）该函数的一条性质是：函数有最大值(答案不唯一）． …………………… 5分

平谷26．（1）； 1
（2）该函数的图象如图所示； 3

（3）； 4
（4）该函数的其它性质:当时，y随x的增大而减小； 5

门头沟26.（1）,.…………2分
（2） . …………3分
（3）补全图形正确 . ……………………4分
结果： ……………………5分

海淀26．（1）；-----------------------------------------------------------------------------------1分
（2）①（1，1）；----------------------------------------------------------------------------------- 2分
②（0，0）；---------------------------------------------------------------------------------- 3分
（3）①
------------------------------------------- 4分
②该函数的性质：
（ⅰ）当x＜0时，y随x的增大而增大；
当0≤x＜1时，y随x的增大而减小；
当1＜x＜2时，y随x的增大而减小；
当x≥2时，y随x的增大而增大．
（ⅱ）函数的图象经过第一、三、四象限．
（ⅲ）函数的图象与直线x=1无交点，图象由两部分组成．
（ⅳ）当x>1时，该函数的最小值为1．
……
（写出一条即可）-------------------------------------------------------------------- 5分

丰台26. 解：（1）①m = 4；…………………………………………………………………………1分
②图象如图. ……………………………………………………………………2分

1；2. …………………………………………………………………………4分
（2）根据小彬的方法可知，
当时，y有最小值，即时，．…………………5分

石景山26．（2）证法一：
连接并延长到点，如图1．
∵，，…………… 1分
∴．
图1
即． …………… 2分
证法二：
延长交于点，如图2．
∵，，………… 1分
∴． ………… 2分
图2
（3）． ………… 4分
（4）． ………… 5分

通州26．（1）过点；符合函数概念………………………………..(3分)
（2）答案需和图形统一 ………………………………..(5分)

怀柔26．(1)y=;……………………………2分
(2)x≥2; ……………………………3分
(3) 如图：……………………………4分
(4) x≥2时，函数图形y随x的增大而增大.
……………………………5分