2018中考数学复习几何证明与计算专题训练带答案.docx

2018届初三数学中考复习 几何证明与计算 专题复习训练题
1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，点E，F分别是BG，AC的中点． (1)求证：DE＝DF，DE⊥DF； (2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．
2. 如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△FCE； (2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数． 3. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E. (1)求证：AG＝CG； (2)求证：AG2＝GE•GF.
4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3. (1)求AD的长； (2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)
5. 如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF. (1)求证：△BCE≌△DCF； (2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
6. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于点H，交CD于点G. (1)求证：BG＝DE； (2)若点G为CD的中点，求HGGF的值． 7. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG. (1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由； (2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．
8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F. (1)求证：△ACD∽△BFD； (2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．
9. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E. (1)求证：AG＝CG； (2)求证：AG2＝GE•GF.
10. 如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N. (1)求证：AD＝AF； (2)求证：BD＝EF； (3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．

11. 在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC. (1)如图①，若AB＝32，BC＝5，求AC的长； (2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF. 12. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N. (1)求证：△ABM∽△EFA； (2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
参考答案： 1. 解：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在△BDG和△ADC中， BD＝AD，∠BDG＝∠ADCDG＝DC，，∴△BDG≌△ADC. ∴BG＝AC，∠BGD＝∠C.∵∠ADB＝∠ADC＝90°， E，F分别是BG，AC的中点，∴DE＝12BG＝EG， DF＝12AC＝AF.∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠FAD. ∴∠EDG＋∠FDA＝90°，∴DE⊥DF. (2)∵AC＝10，∴DE＝DF＝5，由勾股定理，得EF＝DE2＋DF2＝52. 2. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC. ∴∠D＝∠ECF.在△ADE和△FCE中， ∠D＝∠ECF，DE＝CE，∠AED＝∠FEC， ∴△ADE≌△FCE(ASA)． (2)∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC.∵AD＝BC，AB＝2BC， ∴AB＝FB.∴∠BAF＝∠F＝36°.∴∠B＝180°－2×36°＝108°. 3. 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD， ∠ADB＝∠CDB.又GD为公共边，∴△ADG≌△CDG(SAS)，∴AG＝CG. (2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG.∵AB∥CD， ∴∠DCG＝∠F.∴∠EAG＝∠F.∵∠AGE＝∠AGE， ∴△AGE∽△FGA.∴AGFG＝EGAG.∴AG2＝GE•GF. 4. 解：(1)∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°. ∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝12∠CAB＝30°. 在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝6. (2)∵DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF＝∠DAF. ∴AF＝DF.∴四边形AEDF是菱形．∴AE＝DE＝DF＝AF. 在Rt△CED中，∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠B＝30°. ∴DE＝CDcos30°＝23.∴四边形AEDF的周长为83. 5. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D， AB＝BC＝DC＝AD.∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点， ∴AE＝BE＝DF＝AF，OF＝12DC，OE＝12BC，OE∥BC. 在△BCE和△DCF中， BE＝DF，∠B＝∠D，BC＝DC，∴△BCE≌△DCF(SAS)． (2)当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形， 理由如下：由(1)得AE＝OE＝OF＝AF， ∴四边形AEOF是菱形．∵AB⊥BC，OE∥BC， ∴OE⊥AB.∴∠AEO＝90°.∴四边形AEOF是正方形． 6. 解：(1)证明：∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°.∵∠BCG＝90°， ∠BGC＝∠DGF，∴∠CBG＝∠CDE. 在△BCG与△DCE中.∠CBG＝∠CDE，BC＝CD，∠BCG＝∠DCE， ∴△BCG≌△DCE(ASA)，∴BG＝DE. (2)设CG＝x，∵G为CD的中点，∴GD＝CG＝x， 由(1)可知△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG＝CE＝x. 由勾股定理可知DE＝BG＝5x，∵sin∠CDE＝CEDE＝GFGD， ∴GF＝55x.∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH.∴ABCG＝BHGH＝21. ∴BH＝253x，GH＝53x.∴HGGF＝53. 7. 解：(1)结论：AG2＝GE2＋GF2.理由：连接CG. ∵四边形ABCD是正方形，∴点A，C关于对角线BD对称． ∵点G在BD上，∴GA＝GC.∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F， ∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°.∴四边形EGFC是矩形． ∴CF＝GE.在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GF2＋GE2. (2)过点B作BN⊥AG于点N，在BN上取一点M，使得AM＝BM. 设AN＝x.∵∠AGF＝105°，∠FBG＝∠FGB＝∠ABG＝45°， ∴∠AGB＝60°，∠GBN＝30°，∠ABM＝∠MAB＝15°. ∴∠AMN＝30°.∴AM＝BM＝2x，MN＝3x. 在Rt△ABN中，∵AB2＝AN2＋BN2，∴1＝x2＋(2x＋3x)2， 解得x＝6－24，∴BN＝6＋24.∴BG＝BNcos30°＝32＋66. 8. 解：(1)∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD　 (2)∵tan∠ABD＝1，∠ADB＝90°，∴ADBD＝1，∵△ACD∽△BFD，∴ACBF＝ADBD＝1，∴BF＝AC＝3 9. 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，可证△ADG≌△CDG(SAS)，∴AG＝CG (2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG，∵AB∥CD，∴∠DCG＝∠F，∴∠EAG＝∠F，∵∠AGE＝∠AGE，∴△AGE∽△FGA，∴AGFG＝EGAG，∴AG2＝GE•GF 10. 解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝135°，∵∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF＝∠ACD，∵CB＝CD，CB＝BF，∴BF＝CD，可证△ABF≌△ACD(SAS)，∴AD＝AF (2)由(1)知AF＝AD，△ABF≌△ACD，∴∠FAB＝∠DAC，∵∠BAC＝90°，∴∠EAB＝∠BAC＝90°，∴∠EAF＝∠BAD，可证△AEF≌△ABD(SAS)，∴BD＝EF (3)四边形ABNE是正方形．理由如下：∵CD＝CB，∠BCD＝90°，∴∠CBD＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝90°，由(2)知∠EAB＝90°，△AEF≌△ABD，∴∠AEF＝∠ABD＝90°，∴四边形ABNE是矩形，又∵AE＝AB，∴四边形ABNE是正方形 11. 解：(1)∵∠ABM＝45°，AM⊥BM， ∴AM＝BM＝ABcos45°＝32×22＝3. 则CM＝BC－BM＝5－3＝2，∴AC＝AM2＋CM2＝22＋32＝13. (2)证明：延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG.∵DM＝MC，∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，∴△BMD≌△AMC(SAS)．∴AC＝BD.又CE＝AC，∴BD＝CE.∵BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，FG＝FE，∴△BFG≌△CFE.∴BG＝CE，∠G＝∠E.∴BD＝CE＝BG，∴∠BDG＝∠G＝∠E. 12. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC.∴∠AMB＝∠EAF. 又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°.∴∠B＝∠AFE.∴△ABM∽△EFA. (2)∵∠B＝90°，AB＝AD＝12，BM＝5，∴AM＝122＋52＝13. ∵F是AM的中点，∴AF＝12AM＝6.5.∵△ABM∽△EFA， ∴BMAF＝AMAE，即56.5＝13AE.∴AE＝16.9，∴DE＝AE－AD＝4.9.

20 × 20