2013k中考数学试题分类汇编代数几何综合.doc

2013中考全国100份试卷分类汇编代数几何综合1、（2013年潍坊市压轴题）如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且,点在抛物线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平分四边形的面积，求的值.（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),由点D(2，1.5)在抛物线上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,又，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以.（2）由（1）知，令x=0,得c(0,1.5),所以CD/AB,令kx-2=1.5,得l与CD的交点F()，令kx-2=0，得l与x轴的交点E()，根据S四边形OEFC=S四边形EBDF得：OE+CF=DF+BE,即：（3）由（1）知所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为假设在y轴上存在一点P(0，t)，t0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，因为MPO=NPO,所以RtMPM1RtNPN1,所以,(1)不妨设M(xM,yM)在点N(xN,yN)的左侧，因为P点在y轴正半轴上，则（1）式变为,又yM =k xM-2, yN=k xN-2, 所以（t+2）(xM +xN)=2k xM xN,(2)把y=kx-2(k0)代入中，整理得x2+2kx-4=0,所以xM +xN=-2k, xM xN=-4,代入（2）得t=2,符合条件，故在y轴上存在一点P（0,2），使直线PM与PN总是关于y轴对称.考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。2、（绵阳市2013年）ABCDOxyl如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m1）与x轴交于D。（1）求二次函数的解析式和B的坐标；（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。解：（1）二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点C的坐标为（0，-2），c = -2 , - , b=0 ,点A(-1,0)、点B是二次函数y=ax2-2 的图象与x轴的交点，a-2=0,a=2. 二次函数的解析式为y=2x2-2；点B与点A(-1,0)关于直线x=0对称，点B的坐标为（1，0）；（2）BOC=PDB=90，点P在直线x=m上，设点P的坐标为（m,p）, OB=1， OC=2， DB= m-1 , DP=|p| ，当BOCPDB时，,p= 或p = ,点P的坐标为（m，）或（m，）；当BOCBDP时， ，p=2m-2或p=2-2m,点P的坐标为（m，2m-2）或（m，2-2m）；综上所述点P的坐标为（m，）、（m，）、（m，2m-2）或（m，2-2m）；（3）不存在满足条件的点Q。点Q在第一象限内的抛物线y=2x2-2上，令点Q的坐标为（x, 2x2-2），x1, 过点Q作QE直线l , 垂足为E，BPQ为等腰直角三角形，PB=PQ，PEQ=PDB，EPQ=DBP，PEQBDP，QE=PD，PE=BD， 当P的坐标为（m，）时，m-x = ， m=0 m=1 2x2-2- = m-1, x= x=1 与x1矛盾,此时点Q不满足题设条件； 当P的坐标为（m，）时，x-m= m=- m=12x2-2- = m-1, x=- x=1 与x1矛盾,此时点Q不满足题设条件； 当P的坐标为（m，2m-2）时，m-x =2m-2 m= m=12x2-2-(2m-2) = m-1, x=- x=1与x1矛盾,此时点Q不满足题设条件；当P的坐标为（m，2-2m）时，x- m = 2m-2 m= m=12x2-2-(2-2m) = m-1 x=- x=1与x1矛盾,此时点Q不满足题设条件；综上所述，不存在满足条件的点Q。3、（2013昆明压轴题）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题专题：综合题分析：（1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y=a（x2）2+3，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标；（3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形ADMN为平行四边形时，DMAN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADMN为平行四边形，可得三角形ADQ全等于三角形NMP，MP=DQ=，NP=AQ=3，将y=代入得：=x2+3x，求出x的值，确定出OP的长，由OP+PN求出ON的长即可确定出N坐标解答：解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），设抛物线解析式为y=a（x2）2+3，将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=，则抛物线解析式为y=（x2）2+3=x2+3x；（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k0），将A（4，0）与C（0，3）代入得：，解得：，故直线AC解析式为y=x+3，与抛物线解析式联立得：，解得：或，则点D坐标为（1，）；（3）存在，分两种情况考虑：当点M在x轴上方时，如答图1所示：四边形ADMN为平行四边形，DMAN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，N1（2，0），N2（6，0）；当点M在x轴下方时，如答图2所示：过点D作DQx轴于点Q，过点M作MPx轴于点P，可得ADQNMP，MP=DQ=，NP=AQ=3，将yM=代入抛物线解析式得：=x2+3x，解得：xM=2或xM=2+，xN=xM3=1或1，N3（1，0），N4（1，0）综上所述，满足条件的点N有四个：N1（2，0），N2（6，0），N3（1，0），N4（1，0）点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识点的探究型试题4、（2013陕西）（第24题图）y-1Ox2-11123-23在平面直角坐标系中，一个二次函灵敏的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点（1）写出这个二次函数的对称轴； （2）设这个二次函数的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AD、DE和DB，当AOC与DEB相似时，求这个二次函数的表达式。提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A，那么它的表达式可表示为：考点：此题在陕西的中考中也较固定，第（1）问主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，抛物线的对称性等简单问题。第二问主要考查二次函数综合应用之点的存在性问题；包括最短距离与面积的最值等（等腰三角形，平行四边形，正方形，相似三角形，相似，全等等问题。考查问题的综合能力要求较高，基本上都是转化为求点的坐标的过程。解析：本题中（1）由抛物线的轴对称性可知，与x轴的两个交点关于对称轴对称，易求出对称轴；（2）由提示中可以设出函数的解析式，将顶点D与E的坐标表示出来，从而将两个三角形的边长表示出来，而相似的确定过程中充分考虑到分类即可解决此题； 解：（1）对称轴为直线：x=2。（2）A（1，0）、B（3，0），所以设即当x=0时，y=3a，当x=2时，y=C（0，3a），D(2,-a) OC=|3a|,A（1，0）、E（2，0），OA=1,EB=1,DE=-a|=|a|在AOC与DEB中，AOC=DEB=90当时，AOCDEB时，解得或当时，AOCBED时，此方程无解，综上所得：所求二次函数的表达式为：或5、（2013成都市压轴题）在平面直角坐标系中，已知抛物线（b,c为常数）的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4,3），直角顶点B在第四象限。（1）如图，若该抛物线过A,B两点，求抛物线的函数表达式；（2）平（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q.i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上点，当以M,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出所有符合条件的M的坐标；ii）取BC的中点N,连接NP,BQ。试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；所不存在，请说明理由。解析：（1）A(0,-1) C(4,3) 则AC=ABC为等腰直角三角形 AB=BC=4B点(4,-1)将A,B代入抛物线方程有（2）当顶点P在直线AC上滑动时，平移后抛物线与AC另一交点Q就是A点沿直线AC滑动同样的单位。下面给予证明： 原抛物线 顶点P为(2,1)设平移后顶点P为(a,a-1),则平移后抛物线 联立y=x-1(直线AC方程)得Q点为（a-2,a-3）PQ= 即实际上是线段AP在直线AC上的滑动. ）点M在直线AC下方，且M,P,Q构成等腰直角三角形，那么先考虑使MP,Q构成等腰直角三角形的M点的轨迹，再求其轨迹与抛物线的交点以确定M点. 若M为直角，则M点轨迹即为AC下方距AC为MH且与AC平行的直线l 又知PQ= ，则MH= PM=2直线l即为AC向下平移PM=2个单位 L:y=x-3 联立得x=1 M点为（1+，-2）或（1-，-2）若P=或Q为直角，即PQ为直角边，MQPQ且，MQ=PQ=或MPPQ,且MP=PQ=,M点轨迹是AC下方距AC为且与AC平行直线L直线L即为AC向下平移MP=4个单位L:y=x-5 联立得x=4或x=-2M点为(4,-1)或（-2，-7）综上所有符合条件的点M为（1+，-2）（4,-1）；（1-，-2）,（-2，-7）)知PQ= 有最大值，即NP+BQ有最小值如下图，取AB中点M，连结QM,NM,知N为中点MN为AC边中位线，MNAC且MN=AC=PQ MNPQ为平行四边形即PN=QM QB+PN=BQ+MQ此时，作B点关于AC对称的点B,连,交AC于点H，易知=BQBQ+PN=+MQ(三角形两边之和大于第三边)仅当Q与H重合时，取等号即BQ+PN最小值存在 且最小值为连结知为等腰直角三角形。=4，AM=AB=2 由勾股定理得最大值存在，且最大值为6、（2013山西压轴题，26，14分）（本题14分）综合与探究：如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧)与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q（1）求点A,B,C的坐标。（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M,N。试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由。（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点 Q，使BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）当y=0时，解得，点B在点A的右侧，点A,B的坐标分别为：（-2，0），（8，0）当x=0时，y=-4点C的坐标为（0，-4），（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）.设直线BD的解析式为ykxb，则.解得，k=，b=4. 直线BD的解析式为.lx轴，点M，Q的坐标分别是（m，），（m，）如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形.（）-()=4-(-4)化简得：.解得，m1=0，（舍去）m2=4.当m=4时，四边形CQMD是平行四边形.此时，四边形CQBM是平行四边形.解法一：m=4，点P是OB中点.lx轴，ly轴.BPMBOD.BM=DM.四边形CQMD是平行四边形，DMCQBMCQ.四边形CQBM为平行四边形.解法二：设直线BC的解析式为y=k1x+b1，则.解得，k1=，b1=-4直线BC的解析式为y=x-4又lx轴交BC于点N.x=4时，y=-2. 点N的坐标为（4，-2）由上面可知，点M,Q的坐标分别为：（4，2），Q(4,-6).MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4.MN=QN.又四边形CQMD是平行四边形.DBCQ，3=4，又1=2，BMNCQN.BN=CN.四边形CQBM为平行四边形.（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（-2，0），Q2（6，-4）.7、（2013内江）如图，在等边ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DEBC，将ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L（1）求ABC的面积；（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）已知图形L的顶点均在O上，当图形L的面积最大时，求O的面积考点：相似形综合题分析：（1）作AHBC于H，根据勾股定理就可以求出AH，由三角形的面积公式就可以求出其值；（2）如图1，当0x1.5时，由三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式，如图2，当1.5x3时，重叠部分的面积为梯形DMNE的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式；（3）如图4，根据（2）的结论可以求出y的最大值从而求出x的值，作FODE于O，连接MO，ME，求得DME=90，就可以求出O的直径，由圆的面积公式就可以求出其值解答：解：（1）如图3，作AHBC于H，AHB=90ABC是等边三角形，AB=BC=AC=3AHB=90，BH=BC=在RtABC中，由勾股定理，得AH=SABC=；（2）如图1，当0x1.5时，y=SADE作AGDE于G，AGD=90，DAG=30，DG=x，AG=x，y=x2，a=0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，x=1.5时，y最大=，如图2，当1.5x3时，作MGDE于G，AD=x，BD=DM=3x，DG=（3x），MF=MN=2x3，MG=（3x），y=，=；（3），如图4，y=；y=（x24x），y=（x2）2+，a=0，开口向下，x=2时，y最大=，y最大时，x=2，DE=2，BD=DM=1作FODE于O，连接MO，MEDO=OE=1，DM=DOMDO=60，MDO是等边三角形，DMO=DOM=60，MO=DO=1MO=OE，MOE=120，OME=30，DME=90，DE是直径，SO=12=点评：本题考查了等边三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，勾股定理的运用，圆周角定理的运用，圆的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用，二次函数的性质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质是关键8、（2013新疆压轴题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求ACE的最大面积及E点的坐标考点：二次函数综合题专题：代数几何综合题分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式=0时，ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），解得，所以，抛物线的解析式为y=x24x+3；（2）点A、B关于对称轴对称，点D为AC与对称轴的交点时BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x1，y=x24x+3=（x2）21，抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=21=1，抛物线对称轴上存在点D（2，1），使BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立， 消掉y得，x25x+3m=0，=（5）241（3m）=0，即m=时，点E到AC的距离最大，ACE的面积最大，此时x=，y=，点E的坐标为（，），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），AF=1=，直线AC的解析式为y=x1，CAB=45，点F到AC的距离为=，又AC=3，ACE的最大面积=3=，此时E点坐标为（，）点评：本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题9、（2013凉山州压轴题）如图，抛物线y=ax22ax+c（a0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断PCM的形状；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax22ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；（3）由于PFC和AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似时，分两种情况进行讨论：PFCAEM，CFPAEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出PCM的形状解答：解：（1）抛物线y=ax22ax+c（a0）经过点A（3，0），点C（0，4），解得，抛物线的解析式为y=x2+x+4；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，A（3，0），点C（0，4），解得，直线AC的解析式为y=x+4点M的横坐标为m，点M在AC上，M点的坐标为（m， m+4），点P的横坐标为m，点P在抛物线y=x2+x+4上，点P的坐标为（m， m2+m+4），PM=PEME=（m2+m+4）（m+4）=m2+4m，即PM=m2+4m（0m3）；（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似理由如下：由题意，可得AE=3m，EM=m+4，CF=m，PF=m2+m+44=m2+m若以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似，分两种情况：若PFCAEM，则PF：AE=FC：EM，即（m2+m）：（3m）=m：（ m+4），m0且m3，m=PFCAEM，PCF=AME，AME=CMF，PCF=CMF在直角CMF中，CMF+MCF=90，PCF+MCF=90，即PCM=90，PCM为直角三角形；若CFPAEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3m）=（m2+m）：（m+4），m0且m3，m=1CFPAEM，CPF=AME，AME=CMF，CPF=CMFCP=CM，PCM为等腰三角形综上所述，存在这样的点P使PFC与AEM相似此时m的值为或1，PCM为直角三角形或等腰三角形点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解10、（2013曲靖压轴题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=x2+bx+c点D为线段AB上一动点，过点D作CDx轴于点C，交抛物线于点E（1）求抛物线的解析式（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积（3）连接BE，是否存在点D，使得DBE和DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）设点C坐标为（m，0）（m0），根据已知条件求出点E坐标为（m，8+m）；由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值在计算四边形CAEB面积时，利用S四边形CAEB=SACE+S梯形OCEBSBCO，可以简化计算；（3）由于ACD为等腰直角三角形，而DBE和DAC相似，则DBE必为等腰直角三角形分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数解答：解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=4，A（4，0），B（0，4）点A（4，0），B（0，4）在抛物线y=x2+bx+c上，解得：b=3，c=4，抛物线的解析式为：y=x23x+4（2）设点C坐标为（m，0）（m0），则OC=m，AC=4+mOA=OB=4，BAC=45，ACD为等腰直角三角形，CD=AC=4+m，CE=CD+DE=4+m+4=8+m，点E坐标为（m，8+m）点E在抛物线y=x23x+4上，8+m=m23m+4，解得m=2C（2，0），AC=OC=2，CE=6，S四边形CAEB=SACE+S梯形OCEBSBCO=26+（6+4）224=12（3）设点C坐标为（m，0）（m0），则OC=m，CD=AC=4+m，BD=OC=m，则D（m，4+m）ACD为等腰直角三角形，DBE和DAC相似DBE必为等腰直角三角形i）若BED=90，则BE=DE，BE=OC=m，DE=BE=m，X Kb1. Co mCE=4+mm=4，E（m，4）点E在抛物线y=x23x+4上，4=m23m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=3，D（3，1）；ii）若EBD=90，则BE=BD=m，在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=2m，CE=4+m2m=4m，E（m，4m）点E在抛物线y=x23x+4上，4m=m23m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=2，D（2，2）综上所述，存在点D，使得DBE和DAC相似，点D的坐标为（3，1）或（2，2）点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点第（3）问需要分类讨论，这是本题的难点11、(2013年临沂压轴题)如图，抛物线经过三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.xyAOCB（第26题图）解析：解：（1）设抛物线的解析式为 ， xyAOCB（第26题图）PNMH 根据题意，得，解得抛物线的解析式为： (3分)（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点 即为所求.设直线BC的解析式为，由题意，得解得 直线BC的解析式为 (6分)抛物线的对称轴是，当时，点P的坐标是. (7分)（3）存在 (8分)(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，四边形ACNM是平行四边形，CNx轴，点C与点N关于对称轴x=2对称，C点的坐标为，点N的坐标为 (11分)（II）当存在的点在x轴上方时，如图所示，作轴于点H，四边形是平行四边形，,RtCAO Rt,.点C的坐标为,即N点的纵坐标为，即解得点的坐标为和.综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为， (13分)12、（2013宁波压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD过P，D，B三点作Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交Q于点F，连结EF，BF （1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时求证：BDE=ADP；设DE=x，DF=y请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由考点：一次函数综合题分析：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，把（4，0）代入即可；（2）先证出BODCOD，得出BOD=CDO，再根据CDO=ADP，即可得出BDE=ADP，先连结PE，根据ADP=DEP+DPE，BDE=ABD+OAB，ADP=BDE，DEP=ABD，得出DPE=OAB，再证出DFE=DPE=45，最后根据DEF=90，得出DEF是等腰直角三角形，从而求出DF=DE，即y=x；（3）当=2时，过点F作FHOB于点H，则DBO=BFH，再证出BODFHB，=2，得出FH=2，OD=2BH，再根据FHO=EOH=OEF=90，得出四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4OD，根据DE=EF，求出OD的长，从而得出直线CD的解析式为y=x+，最后根据求出点P的坐标即可；当=时，连结EB，先证出DEF是等腰直角三角形，过点F作FGOB于点G，同理可得BODFGB，=，得出FG=8，OD=BG，再证出四边形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直线CD的解析式，最后根据即可求出点P的坐标解答：解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=1，则直线AB的函数解析式为y=x+4；（2）由已知得：OB=OC，BOD=COD=90，又OD=OD，BODCOD，BOD=CDO，CDO=ADP，BDE=ADP，连结PE，ADP是DPE的一个外角，ADP=DEP+DPE，BDE是ABD的一个外角，BDE=ABD+OAB，ADP=BDE，DEP=ABD，DPE=OAB，OA=OB=4，AOB=90，OAB=45，DPE=45，DFE=DPE=45，DF是Q的直径，DEF=90，DEF是等腰直角三角形，DF=DE，即y=x；（3）当BD：BF=2：1时，过点F作FHOB于点H，DBO+OBF=90，OBF+BFH=90，DBO=BFH，又DOB=BHF=90，BODFHB，=2，FH=2，OD=2BH，FHO=EOH=OEF=90，四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4OD，DE=EF，2+OD=4OD，解得：OD=，点D的坐标为（0，），直线CD的解析式为y=x+，由得：，则点P的坐标为（2，2）；当=时，连结EB，同（2）可得：ADB=EDP，而ADB=DEB+DBE，EDP=DAP+DPA，DEP=DPA，DBE=DAP=45，DEF是等腰直角三角形，过点F作FGOB于点G，同理可得：BODFGB，=，FG=8，OD=BG，FGO=GOE=OEF=90，四边形OEFG是矩形，OE=FG=8，EF=OG=4+2OD，DE=EF，8OD=4+2OD，OD=，点D的坐标为（0，），直线CD的解析式为：y=x，由得：，点P的坐标为（8，4），综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，4）点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数、矩形的性质、圆的性质，关键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组13、（2013四川南充压轴题，21，8分）如图，二次函数y=x2+bx3b+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b2，2b25b1）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；（3）连接AM、DM，将AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若DMF为等腰三角形，求点E的坐标.解析：（1）把点（b2，2b25b1）代入解析式，得2b25b1=（b2）2+b（b2）3b+3， 1解得b=2.抛物线的解析式为y=x2+2x3. 2（2）由x2+2x3=0，得x=3或x=1.A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）.抛物线的对称轴是直线x=1，圆心M在直线x=1上. 3设M（1，n），作MGx轴于G，MHy轴于H，连接MC、MB.MH=1，BG=2.