2016东莞市高二数学下学期期中测试卷理A.doc

粤华学校2016-2017年下学期高二数学期中测试卷（理A）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟．
第Ⅰ卷第Ⅱ卷（选择题 共60分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.
1.过函数图象上点O（0，0），作切线，则切线方程为 （ ）
A． B． C． D．
2．点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值是（　）
(A) １ 　 (B) (C) 2 　 (D)
3． 曲线， 和直线围成的图形面积是 （　 　）
(A) (B) (C) (D)
4．甲、乙速度与时间的关系如下图，是时的加速度，是从到的路程，则与，与的大小关系是 ( )
A．， B．，
第7题图图
b
t
v
甲
乙
C．， D．，

5．如上图,右边的是导数的图象，则函数的图象是 （ ）

6．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表．
x
﹣1
0
4
5
f（x）
1
2
2
1
f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．
下列关于函数f（x）的命题：
①函数y=f（x）是周期函数；
②函数f（x）在[0，2]是减函数；
③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点．
其中真命题的个数是（　　）
A．4个　　　 B．3个　　　 C．2个　　　　　 D．1个

7．如图所示的是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（　　）

A． B． C． D．

8．如图曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为（）

A． B． C． D．
9.因为对数函数y=logax（a＞0，且a≠1）是增函数，而y=logx是对数函数，所以y=logx是增函数，上面的推理错误的是（　　）
A．大前提 B．小前提 C．推理形式 D．以上都是
10．探索以下规律：

则根据规律，从2007到2009，箭头的方向是（　　）
A． B． C． D．
11．定义运算，则(是虚数单位)为 ( )
A．3 B． C． D．
12.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ）
A．210种 B．420种 C．630种 D．840种

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二.填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）

13．垂直于直线2x﹣6y+1=0并且与曲线y=x3+3x2﹣5相切的直线方程是__________　
14．已知函数f（x）=ln（x+），则f′（3）=　　．
15.已知复数，则在复平面内，复数z对应的点位于第___象限.
16．学校分配甲、乙、丙三人到7个不同的社区参加社会实践活动，每个社区最多分配2人，则有_____种不同的分配方案
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共70分).
17.(本小题满分10分）设x=1和x=2是函数f（x）=x5+ax3+bx+1的两个极值点．
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

18（本小题满分12分）已知函数
（1）求的导数；
（2）求曲线在点（1，）处的切线方程；
（3）求证：对任意的正数与，恒有．

19．（本小题满分10分）y
x
第19题图
如图，阴影部分区域是由函数图象，直线围成，求这阴影部分区域面积。

20．（本小题满分12分）编辑一个运算程序：，，．
（1）设，求；
（2）由（1）猜想的通项公式；
（3）用数学归纳法证明你的猜想。

21. （本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足：，
且an＞0，n∈N+．
（1）求a1，a2，a3；
（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．

22．（本小题满分14分）已知函数f（x）=|x﹣2|．
（1）解不等式：f（x﹣1）+f（x+4）≥6；
（2）已知a+b=1（a，b＞0），且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（3﹣x）≤+恒成立，求实数m的取值范围．

参考答案与试题解析
一.选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
C
D
C
C
D
A
D
B
B

二.填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分，只填结果，不要过程，把答案填写在答题卡上）
13． 3x+6y+6=0　
14．
15．一
16.336

三.解答题（本大题6个小题，共80分，必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，把答案填写在答题卡上）
17.【解答】解：（Ⅰ）因为f′（x）=5x4+3ax2+b
由假设知：f′（1）=5+3a+b=0，f′（2）=24×5+22×3a+b=0
解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=5x4+3ax2+b=5（x2﹣1）（x2﹣4）=5（x+1）（x+2）（x﹣1）（x﹣2）
当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0
当x∈（﹣2，﹣1）∪（1，2）时，f′（x）＜0
因此f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣1，1），（2，+∞）
f（x）的单调减区间是（﹣2，﹣1），（1，2）
18 （1）单调增区间 ，单调减区间
（2）切线方程为
（3）所证不等式等价为
而，设则，由（1）结论可得，由此，所以即，记代入得证。

19【解答】y
x
如图，阴影部分区域是由函数图象，直线围成，求这阴影部分区域面积。
解法一：所求图形面积为
----------（5分）
-----------------（9分）
------------------------------（10分）
解法二：所求面积是以长为，宽为了2的矩形的面积的一半，所以所求的面积为。
--------------------------------------（10分）
21.【解答】解：（1），所以，，又∵an＞0，所以.，所以 ，所以．
（2）猜想．
证明：1°当n=1时，由（1）知成立．2°假设n=k（k∈N+）时，成立=．
所以所以当n=k+1时猜想也成立．
综上可知，猜想对一切n∈N+都成立．
21.编辑一个运算程序：，，．
（1）设，求； （2）由（1）猜想的通项公式；
（3）用数学归纳法证明你的猜想。
解：（1），令，则----------------------（1分）
由，，得--------------------（2分）
再令，则，得--------------------------------（4分）
再令，则，得
-------------------------------------------------（5分）
（2）由（1）猜想：------------------------------------（8分）
（3）证明：①当时，，另一方面，，所以当时等式成立。-------------------------------------------------------（10分）
②假设当时，等式成立，即，此时，---------（12分）
那么，当时

所以当时等式也成立。-----------------------------------------（14分）
由①②知，等式对都成立。--------------------------------------（15分）
22.【解答】解：（1）∵f（x）=|x﹣2|．
∴f（x﹣1）+f（x+4）≥6等价为|x﹣3|+|x+2|≥6，
若x≤﹣2，不等式等价为﹣（x﹣3）﹣（x+2）≥6，即﹣2x≥5，得x≤﹣，此时x≤﹣，
当﹣2＜x＜3．不等式等价为﹣（x﹣3）+（x+2）≥6，即5≥6，此时不成立．
若x≥3，不等式等价为（x﹣3）+（x+2）≥6，即2x≥7，即x≥，此时x≥，
综上x≥或x≤﹣，
即不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣}．
（2）∵a+b=1（a，b＞0），
∴+=（+）（a+b）=1+1++≥2+2=2+2=4，
当且仅当=，即a=b=时取等号，
故+的最小值为4，
要使f（x﹣m）﹣f（3﹣x）≤+恒成立，则f（x﹣m）﹣f（3﹣x）≤4成立即可．
即|x﹣m﹣2|﹣|3﹣x﹣2|≤4．
即|x﹣m﹣2|﹣|1﹣x|≤4．
∵|x﹣m﹣2|﹣|1﹣x|≤|x﹣m﹣2+1﹣x|=|﹣m﹣1|=|m+1|，
∴只要|m+1|≤4即可，
得﹣4≤m+1≤4，
得﹣5≤m≤3，
即实数m的取值范围是[﹣5，3]．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．