广东省广州番禺区2021-2022高二下学期数学期末统考试卷（含答案）.pdf

2021 学年第二学期高中教学质量监测试题高二数学本试卷共 5页，22 小题，全卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟。?事项：?事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和座位号、准考证号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的区域内，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合 M=fx j 0 x 4g，N=fx j 1 x 5g，则 MTN=(A)fx j 0 x 1g(B)fx j 1 x 4g(C)fx j 4 x 5g(D)fx j 0 b c(B)c a b(C)c b a(D)a c b7.已知 F 是抛物线 C:y=2x2的焦点，N 是 x 轴上一点，线段 FN 与抛物线C 相交于点 M，若 2?!FM=?!MN，则 jFNj=(A)58(B)12(C)38(D)18.已知函数 f(x)=asin2x?p3cos2x 的图象关于直线 x=?12对称，若f(x1)?f(x2)=?4，则 jx1?x2j 的最小值为(A)3(B)23(C)2(D)4二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.已知?2x+13px?n的展开式共有 13 项，则下列说法中正确的有(A)所有奇数项的二项式系数和为 212(B)所有项的系数和为 312(C)二项式系数最大的项为第 6 项或第 7 项(D)有理项共 5 项10.已知函数 f(x)=?x3+3x+1，则(A)f(x)有三个零点(B)f(x)有两个极值点(C)点(0，1)是曲线 y=f(x)的对称中心(D)直线 y=2x 是曲线 y=f(x)的切线11.甲罐中有 5 个红球、2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 6 个红球、2 个白球和 2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以事件 A1，A2，A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一个球，以事件B 表示由乙罐取出的球是红球，下列结论正确的是数学，第 2 页（共 5页）(A)事件 B 与事件 A1不相互独立(B)A1，A2，A3是两两互斥的事件(C)P(B)=35(D)P(BjA1)=71112.已知正方体ABCD?EFGH 棱长为2，M 为棱CG 的中点，P 为底面EFGH上的动点，则(A)存在点 P，使得 jAPj+jPMj=4(B)存在唯一点 P，使得 AP?PM(C)当AM?BP，此时点P 的轨迹长度为p2(D)当 P 为底面 EFGH 的中心时，三棱锥P?ABM 的外接球体积为92ABDCEFHGPM三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.随机变量 X 服从正态分布 N(2，?2)，若 P(2 2:5)=14.已知数列 an，bn满足 a1=12，an+bn=1，bn+1=bn1?a2n(n 2 N?)，则b2022=15.写出与圆 x2+y2=1 和圆(x?4)2+(y+3)2=16 都相切的一条切线方程16.若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线，也是曲线 y=ln(x+1)的切线，则 b=四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)记 Sn为数列 fang 的前 n 的和，已知 a1=1，fSnng 是公差为12的等差数列.（1）求数列 fang 的通项公式；（2）证明：1S1+1S2+?+1Sn 0(1)若 a=1，求函数 f(x)的单调区间和最值；(2)求函数 f(x)的零点个数，并说明理由数学，第 5 页（共 5页）2021 学年第二学期期末质量检测高二数学试题评分参考说明：1参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据比照评分标准给以相应的分数。2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。1B2D3D4A5B6C7A8C二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9BD10ABC11ABD12BCD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。130:14.1420222023.15y=1，或 24x+7y+25=0，或 4x?3y?5=0.161?ln 2.五、解答题：本大题共 90 分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。17.（10 分）解：（1）Snn=S11+12(n?1)1 分=n+12所以Sn=12n(n+1)2 分当 n 2 时，an=Sn?Sn?13 分=12n(n+1)?12(n?1)n=n4 分当 n=1 时，S1=1=a1，所以5 分an=n.6 分（）因为1Sn=2n(n+1)=2n?2n+1，所以7 分1S1+1S2+?+1Sn=?21?22?+?22?23?+?+?2n?2n+1?8 分=2?2n+19 分 2.10 分18.（12 分）解：（1）由(sinB+sinC)(b+c)=asinA+b sinC，得(b+c)2=a2+bc，1 分即a2=b2+c2+bc，2 分所以b2+c2?a2=?bc又由余弦定理得，cos A=b2+c2?a22bc3 分第 1 页（共 6页）=?12.4 分因为 0 A 6:635=x0:01.4 分依据小概率值 =0:01 的独立性检验，能够认为性别与使用刷脸支付有关联.5 分（2）方法一:易知 9 人中刷脸支付的有 5 人，非刷脸支付的有 4 人.6 分由题意可知，X 的可能取值为 0，1，2，3，4.7 分P(X=0)=C44C49=1126，P(X=1)=C15C34C49=20126=1063，8 分P(X=2)=C25C24C49=60126=1021，P(X=3)=C35C14C49=40126=2063，9 分P(X=4)=C45C49=5126，X 的分布列为X01234P1126106310212063512610 分E(X)=0?1126+1?1063+2?1021+3?2063+4?512611 分=20912 分方法二:易知 9 人中刷脸支付的有 5 人，非刷脸支付的有 4 人.6 分由题意可知，X 服从超几何分布.7 分所以 X 的分布列为 P(x=k)=Ck5?C4?k4C49，k=1，2，3，4.9 分又因为从 9 人中抽到刷脸支付的概率 P=59.10 分所以E(X)=np=4?59=209.12 分20.（12 分）解：（1）证明：因为 AB?平面 PBC，PC?平面 PBC，所以PC?AB1 分因为 PC?BC，AB BC=B，2 分所以PC?平面 ABC3 分因为 AG=GC，PD=DA，所以DG/PC，故 DG?平面 ABC4 分因为 DG?平面 BDG，ABDCGP所以平面 BDG?平面 ABC5 分（）方法一：因为 AG=GC，AB=BC，所以 BG?AC以 G 为坐标原点，GB，GC，GD 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，第 3 页（共 6页）则 A(0，?p2，0)，B(p2，0，0)，D(0，0，1)，C(0，p2，0)，6 分所以?!AB=(p2，p2，0)，?!AD=(0，p2，1)，?!CD=(0，?p2，1)，?!CB=(p2，?p2，0)设 m m m=(x，y，z)是平面 ABD 的法向量，则8:m m m?!AB=0;m m m?!AD=0:即8:p2x+p2y=0;p2y+z=0:7 分令 x=1，则 y=?1，z=p2，所以 m m m=(1，?1，p2)8 分设 n n n=(a，b，c)是平面 CBD 的法向量，则8:n n n?!CD=0;n n n?!CB=0:即8:?p2b+c=0;p2a?p2b=0:9 分ABDCGPxyz令 a=1，则 b=1，c=p2，所以 n n n=(1，1，p2)，10 分所以 cos=?!m?!nj?!mj?j?!n j=22?2=12.11 分所以平面 ABD 与平面 CBD 的夹角的大小为 6012 分方法二：如图，过 A 作 AE?BD，垂足为 E，连接 EC.6 分由（1）中的垂直关系及条件 AB=BC=CP=2，可计算得AC=2p2，PA=p10，7 分所以DB=DC=DA=12PA=r52.所以4DAB DBC.所以AEC 为二面角 A?BD?C 的平面角.8 分cosADB=52+52?42?52?52=15，ABDCGPEsin ADB=p1?cos2ADB=2p5.9 分EA=DAsin ADE=p2.所以EC=p2.10 分在 4EAC 中，由余弦定理可得cos AEC=EA2+EC2?AC22EA?EC=?12.11 分所以AEC=120，所以平面 ABD 与平面 CBD 的夹角的大小为 6012 分21（12 分）解：（1）设 M 点的坐标为 M(x;y)，由题可知yx+2?yx?2=?34，1 分所以x24+y23=1（x 2）3 分设直线 l 的方程为 x=my+1，Q(x1，y1)，P(x2，y2)，且 y1 0.联立8 0，x1=my1+1x2=my2+1jPFj=p(x2?1)2+y22=p1+m2y2.8 分点 Q1到直线 l 的距离为xyOFMP2A1A1QQd=jx1+my1?1jp1+m2=j2my1jp1+m2=?2my1p1+m2.9 分由（1）可知，y1y2=?93m2+4所以 4PFQ1的面积为S=12jPFj?d=?12y1y2=9m3m2+4.10 分=93m+4m92p12=3p34，11 分当 m2=43，即 m=2p33时，等号成立，此时 4PFQ1的面积最大值为3p3412 分方法二：设 Q1(x1，?y1)，由椭圆的对称性，不妨设 m 0，所以S4PQQ1=12?(?2y1)(x2?x1)=x1y1?x2y1，S4QQ1F=12(1?x1)(?2y1)=x1y1?y1，8 分而 S4PFQ1=S4PQQ1?S4QQ1F=(x1y1?x2y1)?(x1y1?y1)9 分=y1?(my2+1)y1=?my1y2=9m3m2+410 分=93m+4m92p12=3p34，11 分当 m2=43，即 m=2p33时，等号成立，此时 4PFQ1的面积最大值为3p3412 分第 5 页（共 6页）22.（12 分）解：（1）解：函数 f(x)的定义域为(0，+1)，当 a=1 时，f(x)=?12x2+lnx+12，f0(x)=?x+1x=?x2+1x，1 分令 f0(x)=0，得 x=1；由 f0(x)0，得 0 x 1；由 f0(x)1所以，函数 f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，+1)2 分当 x=1 时，函数 f(x)有最大值为 f(1)=0，无最小值。3 分（2）f(x)=?12x2+(a?1)x+alnx+a2，a 0，f0(x)=?x+(a?1)+ax=?x2+(a?1)x+ax=?(x+1)(x?a)x，4 分令 f0(x)=0，得 x=?1（舍去），或 x=a；由 f0(x)0，得 0 x a；由 f0(x)a所以，增区间为(0;a)，减区间为(a;+1)函数有唯一的极大值点 x=a，f(a)=?12a2+(a?1)a+alna+a2=a(12a?12+lna)，5 分令 g(a)=12a?12+lna，a 0因为 g0(a)=12a+1a 0 恒成立，函数 g(a)为增函数，且 g(1)=12?12+ln1=0，0 a 1 时，g(a)0，即 f(a)1 时，g(a)0，即 f(a)0，f(x)=?12x2+(a?1)x+alnx+a2，且 f(1e)=?12e2+ae?1e+aln1e+a2=a(1e?12)?12e2?1e 0)，则 h0(x)=ex?1，当 x 0 时，h0(x)0 成立，所以 h(x)h(0)=0，所以 ex x+1(x 0)，所以 e4a 4a+1，a 0，9 分所以 f(e4a)?12(4a+1)(2a+3)+4a2+a2=?12(13a+3)0，10 分在区间 1e，a 上有唯一零点，在区间 a，;e4a 上有唯一零点，函数 f(x)有两个不同的零点11 分综上所述：0 a 1 时，函数 f(x)有两个不同的零点12 分第 6 页（共 6页）