浙大远程工程数学离线作业答案春.doc

浙江大学远程教育学院工程数学课程作业姓名：学 号：年级：学习中心：复变函数与积分变换第一章 1.1计算下列各式：（2）、（a-bi）3解（a-bi）3=a3-3a2bi+3a(bi)2-(bi)3 =a3-3ab2+i(b3-3a2b) ；（3）、 ； 解=1.2、证明下列关于共轭复数的运算性质：（1）； 证()-i() =（2） 证 = = =- =()() =- 即左边=右边，得证。（3）=(Z20) 证 =（） = =1.4、将直线方程ax+by+c=0 (a2+b20)写成复数形式提示：记x+iy=z z+A+B=0，其中A=a+ib，B=2C(实数) 。 解 由x=，y=代入直线方程，得 ()+()+c=0, az+-bi()+2c=0,(a- ib)z+( a+ib)+2c=0,故z+A+B=0，其中A=a+ib，B=2C1.5、将圆周方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0 (a0)写成复数形式（即用z与来表示，其中z=x+iy） 解：x=，y=，x2+y2=z代入圆周方程，得 az+()+()+d=0，2az+(b-ic)z+(b+ic)+2d=0故Az+B+C=0，其中A=2a，C=2d均为实数，B=b+ic 。1.6求下列复数的模与辅角主值：（1）、=2， 解 arg()=arctan= 。1.8将下列各复数写成三角表示式：（2）、i； 解 =1,arg()=arctan()= -a故i=+i 。1.10、解方程：Z3+1=0 解 方程Z3+1=0，即Z3=-1，它的解是z=，由开方公式计算得 Z=+i，k=0,1,2即Z0=+i，Z1=1，Z2=+ i=i 。1.11指出下列不等式所确定的区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？（1）、23；解 圆环、有界、多连域。（3）、arg z；解 圆环的一部分、单连域、有界。（5）、Re z21； 解 x2-y21无界、单连域。（7）、；解 从原点出发的两条半射线所成的区域、无界、单连域；第二章2.2下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？（1）f(z)=z2； 解 f(z)=z2=zz=z=( x2+y2)(x+iy)=x(x2+y2)+ iy(x2+y2)， 这里u(x,y)=x( x2+y2),v(x,y)= y( x2+y2)。 ux= x2+y2+2 x2，vy= x2+y2+2 y2，uy=2xy，vx=2xy 。 要ux= vy，uy =-vx，当且仅当x=y=0，而ux, vy，uy ,vx均连续， 故f(z)=z2仅在z=0可导；z0不可导；复平面上处处不解析；（2）、f(z)= x2+ iy2； 解 这里u= x2,v= y2, ux=2x, uy=0, vx=0, vy=2y，四个偏导数均连续，但ux= vy，uy= -vx仅在x=y处成立，故f(z)仅在x=y上可导，其余点均不可导，复平面上处处不解析；2.3确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数：（1）、； 解 f(z)=是有理函数，除去分母为0的点外处处解析，故全平面除去点z=1及z=-1的区域为f(z)的解析区域，奇点为z=1，f(z)的导数为：f(z)=)=则可推出=0，即u=C(常数)。故f(z)必为D中常数。2.9由下列条件求解析函数f(z)=u+iv（1）、u=(x-y)(x2+4xy+y2)； 解 因=3+6xy-3 ，所有v=dy=+3x-+w（x），又=6xy+3+w（x）,而=3-3，所以w（x）=-3，则w（x）=-+C。故f(z)=u+iv=(x-y)(+4xy+)+i(-+C) = (1-i)(x+iy)-(1-i) (x+iy)-2(1+i)-2x(1-i)+Ci =z(1-i)()-2xyiiz(1-i)+Ci=(1-i)z(-2xyi)+Ci =（1-i）z3+Ci（3）、u=2(x-1)y，f(0)=-i； 解 因=2y，=2(x-1)，由f(z)的解析性，有=2(x-1)，v=dx=+（y），又=2y，而=（y），所以（y）=2y，（y）=+C，则v=+C，故f(z)=2y+i(+C)，由f(2)=i得f(2)=i(1+C)=,推出C=0。即f(z)=2y+i()=i(+2z) =i(1z)2（4）、u=(x)，f(0)=0； 解 因=(x)+，=(-x)，由f(z)的解析性，有=，=(x)+。则v(x,y)=dx+dy+C =+dy+C=Xdy-dy+dy)+C=+C=x-+C，故f(z)=-i()+iC。由f(0)=0知C=0即f(z)=（x）+ i()=zez 。2.13试解方程：（1）、=1+i 解 =1+i=2（+i）=2= （4）、+=0 解 由题设知=-1,z=k-，k为整数 。2.14求下列各式的值：（1）、解 =；（3）、； = =27(-i)。第三章3.1、计算机积分dz积分路径为（1）自原点至1+i的直线段；（2）自原点沿实轴至1，再由1沿直线向上至1+i；（3）自原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向向右至1+i。解（1）dz=dt=i(1+i)=； 注：直线段的参数方程为z=(1+i)t，0t1 。（2）C1：y=0,dy=o,dz=dx, C2：x=1,dx=o,dz=idy, dz=+=dx+idy=+i；（3） :x=0,dz=idy; :y=1,dz=dx。 dz=+=dy+dx=3.2、计算积分dz的值，其中C为 （1）=2；（2）=4。解 令z=r,则dz=2i 。当r=2时，为4i；当r=4时，为8i 。3.6、计算dz，其中C为圆周=2； 解 f(z)=在=2内有两个奇点z=0,1,分别作以0,1为中心的圆周C1, C2, C1与 C2不相交，则dz=dz-dz=2i-2i=03.8计算下列积分值：（1）、 dz； 解 dz =i0=1- ；（3）、dz； 解 dz=(3+) 0i =3= 3。3.10计算下列积分：（1）、dz； 解 dz =2i=2i（2）、dz； 解dz =2（2）=4i（4）、(r1)； 解 为0；r1时n=1为2i，n1为0 。3.11、计算I=其中C是（1）=1；（2）=1；（3）=；（4）=3。 解（1）被积函数在1内仅有一个奇点z=，故I=dz=2 ()=i；（2）被积函数在1内仅有一个奇点z=2，故I=dz=2 ()=i；（3）被积函数在内处处解析，故I=0；（4）、被积函数在3内有两个奇点z= ，z=2由复合闭路原理，知I= +=dz +dz= =i，其中C1为=1，C2为=1。3.13计算下列积分：（2）、dz； 解 dz=2（）=2=0（3）、dz，其中：=2，：=3。解 dz=dz+dz =2 ()”2 ()”= (-1) (-1)=0第四章4.2下列级数是否收敛？是否绝对收敛？（1）、；（2）、； 解（1）因=发散。故发散。 （2）=收敛；故绝对收敛。4.4试确定下列幂级数的收敛半径：（1）、；（2）、； 解 （1）= =1，故R=1。（2）=e，故R=4.5将下列各函数展开为z的幂级数，并指出其收敛区域：（1）、；（3）、；（5）、sin2z；解 （1）=，原点到所有奇点的距离最小值为1，故1 。（3）=()=()=，1 （5）sin2z=， 。4.7求下列函数在指定点z0处的泰勒展示：（1）、，z0=1；（2）、，z0=1； 解（1）=（）=，1 (2) =+ =+， 4.8将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数：（1）、，01，1+；（3）、，12（4）、，0+； 解 （1）01时，=(1-)=，当1+时，01，=(1+)=（1+）=+=+ 。 （3）= =+，12 。（4）0+时，=+= 。4.9将=在z=1处展开为洛朗级数解 f(z)=。f(z)的奇点为z1=1,z2=2。f(z) 在01与1解析。当01时 f(z)=当1时01，f(z)=+ =+第五章5.3、下列各函数有哪些奇点？各属何类型（如是极点，指出它的阶数）：（1）、；（2）、；（3）、；（4）、；（5）、；（6）、-； 解 （1）令f(z)=，z=0，2i为f(z)的奇点，因=，所以z=0为简单极点，又=，所以z=2i为二阶极点，同理z=亦为二阶极点。 （2）因=1，所以z=0为二阶极点。 （3）令f(z)=，则的零点为z=k-，k=0，1，2，因（）=（ =0，所以 都为简单极点 。（4）令f(z)=，=，则的零点为z=, k=0，1，2，。因=（z+）=(1+)，z=0为的三阶零点，故f(z)的三阶极点。又）=(2z()+)0，故z=为的一阶零点，即为f(z)的简单极点。 （5）令f(z)=，z=0为其孤立奇点。因=1，所以z=0为可去奇点。 （6）令f(z)=-=，z=0和（）为其孤立奇点。因=，所以z=0为可去奇点，又=()，所以z= ( k=0，1，2，)为的一阶零点，即为f(z)的简单极点。5.5、如果与g(z)是以z0为零点的两个不恒为零的解析函数，则=(或两端均为)。提示：将写成的形式，再讨论。证 设为的m阶零点，为g(z)的n阶零点，则=，在0，m1，g(z)=，在0，n1。因而 =，=当m=n时，（1）式=（2）式，当mn时，（1）式=（2）式=0，当mn时，（1）式=（2）式= 。5.7求出下列函数在孤立奇点处的留数：（1）、； （2）、；（5）、；（6）、；解（1）令=，孤立奇点仅有0。Res，0=0（2）z=2为简单极点，z=i为二阶极点。Res，2=，Res，i=。同理可计算Res，-i=。（5）的孤立奇点为z=0，=k(k=1，2，)，其中，z=0为二阶极点，这是由于=，在z=0处解析。且0所以Res，0=0，易知=k(k=1，2，)为简单极点，所以Res，k(k=1，2，)为简单极点，所以Res，k=(k=1，2，)。（6）=在整个复平面上解析，无孤立奇点。5.8利用留数计算下列积分：（1）、=0；（2）、dz=；（4）、=-2解（1）=2Res，0=2=2=2=2=2=0（2）dz=2 Res，1=2=。（4）=2=2=25.12求下列各积分之值：（1）、()；（3）、d()；（4）、d；解（1）dz=dz=dz。令=，其中a=a，=+为实系数二次方程=0的两相异实根，显然1,1，被积函数在=1上无奇点，在单位圆内部又是一个简单极点z=故Res，=，即=2 Res，=（3）=它共有两个二阶极点，且（）在实轴上无奇点，在上半平面仅有二阶极点ai，所以=2 Res，=2=2=（4）不难验证=满足若尔当引理条件，函数有两个一阶极点-2+i，-2-i。Res，-2+i=，d=2 Res，-2+i=()。故d=第八章8.4求下列函数的傅氏变换，并证明所列的积分等式。（1）、f(t)= ；（2）、f(t)=；（3）、f(t)解（1）f(t)=dt=dt+dt=dt+dt=2jdt=1-（2）F()=dt=dt=dt=（3）F()=dt=dt=dt-dt=-2dt=()tdt=()。8.5求下列函数的 傅氏变换，并证明所列的积分等式。（2）、f(t)=证明d=解（2）F()=dt=dt=dt=2jdt=jdt=j()=j()=8.13证明下列各式：（1）、f1(t)*f2(t)= f2(t)*f1(t)；8.14、设f1(t)= f2(t)=求f1(t)*f2(t)。 解 f1(t)*f2(t)=dt当t0时，f1(t)*f2(t)=0；当t0时，f1(t)*f2(t)=dt=1故f1(t)*f2(t)=8.15设F1()=Ff1(t)， F2)=f2(t)，证明：f1(t)f2(t)= F1()*F2)。证 F1()*F2)=du=dtdu=du=dt=dt=dt=dt=f1(t)f2(t)第九章9.1求下列函数的拉氏变换：（1）、f(t)=；（2）、f(t)=解（1） F(s)=f(t)=dt=3dtdt=+ （2）F(s)=f(t)=dt=3dt+dt=+dt=(1-)+dt=(1-)+()=(1-)+() (Re s0) =(1-)+()=(1-)-9.2求下列函数的拉氏变换：（1）、；（4）、；解（1）=dt=dt=(Re s0) =（4）=dt=dt=t-dt =dt (Re s0) =9.3求下列函数的拉氏变换：（1）、t2+3t+2；（3）、；（5）、t；解（1）由=及1=有=+（3）=2t+=+= （5）由微积分性质有：t=()s=()=9.4利用拉氏变换的性质，计算：（1）、f(t)=t；（2）、f(t)=t；解（1）=t=（2）=t=()=9.5利用拉氏变换性质，计算：（2）、=；（4）、=；解（2）=，令=f(t)=()=(tf(t)= (-tf(t)，故=f(t)=（4）由于=，由积分的像函数性质=dt=9.6、利用像函数的积分性质，计算；（1）、f(t)=；（2）dt；解（1）（）=，=ds=d()=arctan（2）=，dt=ds=9.8求下列像函数F（s）的拉氏变换：（5）、；（7）、；解（5）= （7）=+=t+(t-2)u(t-2)=9.11利用卷积定理证明下列等式：（1）、=f(t)*u(t)=；（2）、=(a0)。证（1）f(t)*u(t)=f(t)*u(t)=F(s)，f(t)*u(t)=（2）F(s)=由=，=有f(t)=*=dt=dt=+=+=常微分方程第一章2、验证函数y=cx+(c是常数)和y=2都是方程y=xy+的解。解 证明：y= cx+，y=cxy+=cx+=y。 Y=2，y=xy+=2=y。4、验证函数y=c1+c2(k、c1、c2是常数)是方程y”+k2y=0的解。证明：y=c1+c2y=c1k+ c2ky”= c1k2 c2k2 y”+ k2y= c1k2 c2k2+ c1k2+ c2k2 。6、dx+y； 解：=及y1。8、y=(1-y2) 解：=+c=c=ccos2xy=，y(0)=2c=y= 。9、求下列齐次方程的解 ； 解：令y=ux,=-=+c=cx=cx=cx= =c，及y=x。10、求下列齐次方程的解 =(1+)； 解：=(1+)，令y=uxx+u=u(1+)x=udu=dx=+c=cx，u=，x0y=x。12、求下列齐次方程的解 =2+，y(1)=4；解：令y=ux，u0x+u=2+u=dx=+c=cx=cx，y(1)=4=c，c=x=2+。13、求下列齐次方程的解 xy-y=，y(1)=； 解：令y=ux，x(x)-ux=若x0，= arc=+c；若x0，= arc=+c。y(1)=ux1=u x0 arc=+c，c=arc= 。 14、求下列一阶线性方程或伯努利方程的解 =； 解：y+y=，p(x)=，f(x)=，=y=()=()=+ 。15、求下列一阶线性方程或伯努利方程的解 +2xy+x=，y(0)=2； 解：+2xy+x=-x，p(x)=2x，f(x)=-x，=y=()=(x-)=(c+x)，y(0)=c=2c=-17、求下列一阶线性方程或伯努利方程的解 -=0， y(0)=1； 解：两边乘以y，y-=0，令z=x。p(x)=，f(x)=x=，这里初值是x=0取1。z=()=()，=()。y(0)=10。y(0)=1-1+c=1c=2y= 。19、验证下列方程为全微分方程或找出积分因子，然后求其解（5ydx+）+dx=0解：（5ydx+）+dx=0=，=是全微分方程，u(x,y)=+=-+-=+-=c +=c20、验证下列方程为全微分方程或找出积分因子，然后求其解 2(ydx+xdy)+xdx-5ydy=0，y(0)=1。解：(2y+x)dx+(2x-5y)dy=0=2，=2全微分方程，u（x,y）=+=x-+-+2xy-2x-+=-+2xy-+=0-+4xy+=0第二章7、求下列方程的通解或特解y”-4y=0解：-4=0，=0，=4，通解为y=+。8、求下列方程的通解或特解y”+2y=0解：+2=0，=，=，通解为y=+ c2 。9、求下列方程的通解或特解y”-2y+y=0解：-2+1=0 =1通解为y=( c1+ c2x)。10、求下列方程的通解或特解y”+4y+13y=0 解：+4+13=0，=-2+3i，=-2-3i，通解为（c1+ c2）。11、求下列方程的通解或特解y”-5y+4y=0，y，y。 解：-5+4=0，=1，=4，则通解为y=+，于是我们有y=+4，代入初始条件，于是有，那么解为：y=4+18、求下列方程的通解或特解y”+y=a(a是常数)，y(0)=0，y(0)=0； 解：齐次方程的通解为=+ c2，去特解=A，则A=a，所以y=+ c2+a，y=+，代入初值，得到，于是解为y=a+a19、求下列方程的通解或特解y”+5y+4y=20，y(0)=0，y(0)=-2； 解：齐次方程的通解为=+。设特解为=A,则A+5 A+4 A=20，代入初始条件，我们有，得到，那么解就为y=-4+2+2。24、求下列方程的通解或特解y”+2y+y=2 解：齐次方程的通解为=（+），设特解为=A，于是有=2 A A，”=2 A4 A+ A，则有A=1，那么解为y=(+）。26、求下列方程的通解或特解+x=，x=；解：齐次方程的通解为=+，x=+，代入初始条件就得到，得到 ，于是解为x=-227、求下列方程的通解或特解+x=，a0； 解：当a=1时，设特解为= A，此时有=，可得A=，于是就有解为x=+。当a1时，设特解为= A，此时有= A，可得A=。于是就有解为x=+ 。28、求下列方程的通解或特解+3=2+；解：齐次方程的通解为=，设特解为=A+B，可得=AB= AB。于是就可得到A=，B=。那么y=+31、求下列方程的通解或特解2y”+5y=cos2x解：齐次方程的通解为=，因为cos2x=，则我们设特解为=Ax，=B，于是可得到A=，B=，那么解为y=+33、求下列方程的通解或特解y”-2y+2y=；解：齐次方程的通解为=（+）。设特解为=A，则有=A（），”=-2Ai，于是可得A=，那么解为y=(+)+()。34、求下列方程的通解或特解y”+4y=x解：齐次方程的通解为=+，设特解为=x(Ax+B)。则有”=2A+4i(2Ax+B)-4(A+Bx)，于是可得A=，B=，那么解为y=+ 。填空题：1. 设，那末_e2cos1_，_ e2sin1_。2. 设,那么函数除了点z =_1_外处处解析,且=_-(Z)_。3. 微分方程的通解_sinx+c_，当满足条件时，_sinx+1_。4. 设已知方程的齐次方程一解为 、非齐次方程一解为，则方程的通解为_cx2_+ x2_。5. 傅里叶变换性质：F _F1(w). F2(w)_，F_f1*f2_。6. 拉普拉斯变换有微分性质：L_SF(s)_-f(0)_。