浙大远程工程数学离线作业答案春.doc

浙江大学远程教育学院
《工程数学》课程作业

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《复变函数与积分变换》
第一章
1.1计算下列各式：
（2）、（a-bi）3
解（a-bi）3=a3-3a2bi+3a(bi)2-(bi)3
=a3-3ab2+i(b3-3a2b) ；
（3）、 ；
解==
==
1.2、证明下列关于共轭复数的运算性质：
（1）；
证()-i()
==
（2）
证 =
=
=--

==()()
=--
即左边=右边，得证。
（3）=(Z2≠0)
证 ==（）
==
==
1.4、将直线方程ax+by+c=0 (a2+b2≠0)写成复数形式［提示：记x+iy=z］
z+A+B=0，其中A=a+ib，B=2C(实数) 。
解 由x=，y=代入直线方程，得
()+()+c=0,
az+-bi()+2c=0,
(a- ib)z+( a+ib)+2c=0,
故z+A+B=0，其中A=a+ib，B=2C
1.5、将圆周方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0 (a≠0)写成复数形式（即用z与来表示，其中z=x+iy）
解：x=，y=，x2+y2=z代入圆周方程，得
az+()+()+d=0，2az+(b-ic)z+(b+ic)+2d=0
故Az++B+C=0，其中A=2a，C=2d均为实数，B=b+ic 。
1.6求下列复数的模与辅角主值：
（1）、=2，
解
arg()=arctan= 。
1.8将下列各复数写成三角表示式：
（2）、i；
解 =1,arg()=arctan()= -a
故i=+i 。
1.10、解方程：Z3+1=0
解 方程Z3+1=0，即Z3=-1，它的解是z=，由开方公式计算得
Z==+i，k=0,1,2
即Z0==+i，
Z1==1，
Z2=+ i=i 。
1.11指出下列不等式所确定的区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？
（1）、2＜＜3；
解 圆环、有界、多连域。
（3）、＜arg z＜；
解 圆环的一部分、单连域、有界。
（5）、Re z2＜1；
解 x2-y2＜1无界、单连域。
（7）、＜；
解 从原点出发的两条半射线所成的区域、无界、单连域；

第二章
2.2下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？
（1）f(z)=z2；
解 f(z)=z2=·z·z=·z=( x2+y2)(x+iy)=x(x2+y2)+ iy(x2+y2)，
这里u(x,y)=x( x2+y2),v(x,y)= y( x2+y2)。
ux= x2+y2+2 x2，vy= x2+y2+2 y2，uy=2xy，vx=2xy 。
要ux= vy，uy =-vx，当且仅当x=y=0，而ux, vy，uy ,vx均连续，
故f(z)=·z2仅在z=0可导；z≠0不可导；复平面上处处不解析；
（2）、f(z)= x2+ iy2；
解 这里u= x2,v= y2, ux=2x, uy=0, vx=0, vy=2y，四个偏导数均连续，但ux= vy，uy= -vx仅在x=y处成立，故f(z)仅在x=y上可导，其余点均不可导，复平面上处处不解析；
2.3确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数：
（1）、；
解 f(z)=是有理函数，除去分母为0的点外处处解析，故全平面除去点z=1及z=-1的区域为f(z)的解析区域，奇点为z=±1，f(z)的导数为：f’(z)=)’=则可推出==0，即u=C(常数)。故f(z)必为D中常数。
2.9由下列条件求解析函数f(z)=u+iv
（1）、u=(x-y)(x2+4xy+y2)；
解 因==3+6xy-3 ，所有v=dy
=+3x-+w（x），又=6xy+3+w’（x）,而=3-3，所以w’（x）=-3，则w（x）=-+C。
故f(z)=u+iv=(x-y)(+4xy+)+i(-+C)
= (1-i)(x+iy)-(1-i) (x+iy)-2(1+i)-2x(1-i)+Ci
=z(1-i)()-2xyi·iz(1-i)+Ci=(1-i)z(-2xyi)+Ci
=（1-i）z3+Ci
（3）、u=2(x-1)y，f(0)=-i；
解 因=2y，=2(x-1)，由f(z)的解析性，有==2(x-1)，v=dx=+（y），又==2y，而=’（y），所以’（y）=2y，（y）=+C，则v=++C，故f(z)=2y+i(++C)，由f(2)=i得f(2)=i(1+C)=,推出C=0。即f(z)=2y+i()=i(+2z) =i(1z)2
（4）、u=(x)，f(0)=0；
解 因=(x)+，=(-x)，由f(z)的解析性，有==，==(x)+。则v(x,y)=dx+dy+C
=+dy+C
=Xdy-dy+dy)+C
=+C
=x-+C，故f(z)=-i()+iC。由f(0)=0知C=0
即f(z)=（x）+ i()=zez 。
2.13试解方程：
（1）、=1+i
解 =1+i=2（+i）=2
=
（4）、+=0
解 由题设知=-1,z=k-，k为整数 。
2.14求下列各式的值：
（1）、
解 ==；
（3）、；
===·=·
=27(-i)。
第三章
3.1、计算机积分dz积分路径为（1）自原点至1+i的直线段；（2）自原点沿实轴至1，再由1沿直线向上至1+i；（3）自原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向向右至1+i。
解（1）dz=dt=i(1+i)=；
注：直线段的参数方程为z=(1+i)t，0≤t≤1 。
（2）C1：y=0,dy=o,dz=dx, C2：x=1,dx=o,dz=idy,
dz=+
=dx+idy=+i；
（3） :x=0,dz=idy; :y=1,dz=dx。
dz=+
=dy+dx=
3.2、计算积分dz的值，其中C为 （1）=2；（2）=4。
解 令z=r,则dz==2i 。
当r=2时，为4i；当r=4时，为8i 。
3.6、计算dz，其中C为圆周=2；
解 f(z)==在=2内有两个奇点z=0,1,分别作以0,1为中心的圆周C1, C2, C1与 C2不相交，则dz=dz-dz=2i-2i=0
3.8计算下列积分值：
（1）、 dz；
解 dz =πi0=1- ；
（3）、dz；
解 dz=(3+) 0i =3= 3。
3.10计算下列积分：
（1）、dz；
解 dz =2i=2i
（2）、dz；
解dz =2（2）=4i
（4）、(r≠1)；
解 为0；r＞1时n=1为2i，n≠1为0 。
3.11、计算I=其中C是（1）=1；（2）=1；（3）=；（4）=3。
解（1）被积函数在≤1内仅有一个奇点z=，故I=dz
=2 ()=i；
（2）被积函数在≤1内仅有一个奇点z=2，故I=dz=2 ()=i；
（3）被积函数在≤内处处解析，故I=0；
（4）、被积函数在≤3内有两个奇点z= ，z=2由复合闭路原理，知I= +=dz +dz= =i，其中C1为=1，C2为=1。
3.13计算下列积分：
（2）、dz；
解 dz=2（）’=2·=0
（3）dz，其中：=2，：=3。
解 dz=dz+dz
=2 ()”2 ()”
= (-1) (-1)=0
第四章
4.2下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
（1）、；（2）、；
解（1）因=发散。故发散。
（2）=收敛；故绝对收敛。
4.4试确定下列幂级数的收敛半径：
（1）、；（2）、；
解 （1）= =1，故R=1。
（2）===e，
故R=
4.5将下列各函数展开为z的幂级数，并指出其收敛区域：
（1）、；（3）、；（5）、sin2z；
解 （1）===，原点到所有奇点的距离最小值为1，故＜1 。
（3）=·()’=()’
==，＜1
（5）sin2z==
=，＜∞ 。
4.7求下列函数在指定点z0处的泰勒展示：
（1）、，z0=1；（2）、，z0=1；
解（1）=（）’=［］’==，＜1
(2) ==+
=+，＜∞
4.8将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数：
（1）、，0＜＜1，1＜＜+∞；（3）、，1＜＜2
（4）、，0＜＜+∞；
解 （1）0＜＜1时，=(1-)=，
当1＜＜+∞时，0＜＜1，=(1+)=（1+）
=+=+ 。
（3）==
=
=+，1＜＜2 。
（4）0＜＜+∞时，=
=+== 。
4.9将=在z=1处展开为洛朗级数
解 f(z)f(z)的奇点为z1=1,z2=2。
f(z) 在0＜＜1与＞1解析。当0＜＜1时
f(z)===
=
当＞1时0＜＜1，f(z)==+
=+
第五章
5.3、下列各函数有哪些奇点？各属何类型（如是极点，指出它的阶数）：
（1）、；（2）、；（3）、；（4）、；（5）、；
（6）、-；
解 （1）令f(z)=，z=0，±2i为f(z)的奇点，因=，所以z=0为简单极点，又==，所以z=2i为二阶极点，同理z=亦为二阶极点。
（2）因==1，所以z=0为二阶极点。
（3）令f(z)==，则的零点为z=k-，k=0，±1，±2，…因（）’=（
==0，所以 都为简单极点 。
（4）令f(z)=，=，则的零点为z=, k=0，±1，±2，…。因=（z++…）=(1++…)，z=0为的三阶零点，故f(z)的三阶极点。又）’=(2z()+)0，故z=为的一阶零点，即为f(z)的简单极点。
（5）令f(z)=，z=0为其孤立奇点。因==1，所以z=0为可去奇点。
（6）令f(z)=-=，z=0和（）为其孤立奇点。因===，所以z=0为可去奇点，又==()，所以z= ( k=0，±1，±2，…)为的一阶零点，即为f(z)的简单极点。
5.5、如果与g(z)是以z0为零点的两个不恒为零的解析函数，则=(或两端均为)。［提示：将写成的形式，再讨论。］
证 设为的m阶零点，为g(z)的n阶零点，则=，在0，m≥1，g(z)=，在0，n≥1。因而
=，
==
当m=n时，（1）式==（2）式，当m＞n时，（1）式=（2）式=0，
当m＜n时，（1）式=（2）式=∞ 。
5.7求出下列函数在孤立奇点处的留数：
（1）、； （2）、；（5）、；（6）、；
解（1）令=，孤立奇点仅有0。
Res［，0］===0
（2）z=2为简单极点，z=±i为二阶极点。Res［，2］===，Res［，i］===。同理可计算Res［，-i］=。
（5）的孤立奇点为z=0，=kπ(k=±1，±2，…)，其中，z=0为二阶极点，这是由于===，在z=0处解析。且≠0所以Res［，0］==
==0，易知=kπ(k=±1，±2，…)为简单极点，所以Res［，kπ］(k=±1，±2，…)为简单极点，所以Res［，kπ］===(k=±1，±2，…)。
（6）=在整个复平面上解析，无孤立奇点。
5.8利用留数计算下列积分：
（1）、=0；（2）、dz=；
（4）、=-2
解（1）=2Res［，0］=2
=2=2
=2=2=0
（2）dz=2 Res［，1］=2=。
（4）=2=2=2
5.12求下列各积分之值：
（1）、()；（3）、d()；（4）、d；
解（1）dz=dz
=dz。令=，其中a=a，为实系数二次方程=0的两相异实根，显然＞1,＜1，被积函数在=1上无奇点，在单位圆内部又是一个简单极点z=故Res［，］=·==，即
=2 Res［，］=
（3）=它共有两个二阶极点，且（）在实轴上无奇点，在上半平面仅有二阶极点ai，所以=2 Res［，］=2=2=
（4）不难验证=满足若尔当引理条件，函数有两个一阶极点-2+i，-2-i。Res［，-2+i］===，
d=2 Res［，-2+i］=()。故d=
第八章
8.4求下列函数的傅氏变换，并证明所列的积分等式。
（1）、f(t)= ；（2）、f(t)=；
（3）、f(t)
解（1）［f(t)］=dt=dt+dt

=dt+dt=2jdt==［1-］
（2）F()=dt=dt=dt
==
（3）F()=dt=dt
=dt-dt
=-2dt
=［］
=()［tdt］=()。
8.5求下列函数的 傅氏变换，并证明所列的积分等式。
（2）、f(t)=证明d=
解（2）F()=dt=dt
=dt=2jdt
=jdt
=j()=j()=
8.13证明下列各式：
（1）、f1(t)*f2(t)= f2(t)*f1(t)；
8.14、设f1(t)= f2(t)=求f1(t)*f2(t)。
解 f1(t)*f2(t)=dt当t≤0时，f1(t)*f2(t)=0；当t＞0时，f1(t)f2(t)=dt==1故f1(t)*f2(t)=
8.15设F1()=F［f1(t)］， F2)=［f2(t)］，证明：f1(t)·f2(t)］= F1()*F2)。
证 F1()*F2)=du=dt］du
=du
=dt
=dt
=dt
=dt=f1(t)·f2(t)］
第九章
9.1求下列函数的拉氏变换：
（1）、f(t)=；（2）、f(t)=
解（1） F(s)=［f(t)］=dt=3dtdt
=+
（2）F(s)=［f(t)］=dt=3dt+dt
=+dt
=(1-)+dt
=(1-)+()=(1-)+()
(Re s＞0)
=(1-)+)=(1-)-
9.2求下列函数的拉氏变换：
（1）、；（4）、；
解（1）［］=dt=dt
=［］(Re s＞0) =
（4）［］=dt=dt=［t-dt］
=dt (Re s＞0) =
9.3求下列函数的拉氏变换：
（1）、t2+3t+2；（3）、；（5）、t；
解（1）由=及［1］=有［］=++
（3）［］=［2t+］=+=
（5）由微积分性质有：
［t］=(［］’)s=()=
9.4利用拉氏变换的性质，计算：
（1）、f(t)=t；（2）、f(t)=t；
解（1）［］==
［t］=［］==
（2）［］=［］=
［t］=()’=
9.5利用拉氏变换性质，计算：
（2）、=；（4）、=；
解（2）=，令［］=f(t)
===()=(tf(t))= (-tf(t))，故
［］=f(t)=
（4）由于·=，由积分的像函数性质［］=dt=
9.6、利用像函数的积分性质，计算；
（1）、f(t)=；（2）dt；
解（1）（）==，
［］=ds=d()=arctan
（2）［］=，
［dt］=［］=ds=
9.8求下列像函数F（s）的拉氏变换：
（5）、；（7）、；
解（5）=
（7）=+=t+(t-2)u(t-2)
=
9.11利用卷积定理证明下列等式：
（1）、［］=［f(t)*u(t)］=；
（2）、=(a≠0)。
证（1）［f(t)*u(t)］=［f(t)］*［u(t)］=F(s)·，
［f(t)*u(t)］=［］=［］=［］
（2）F(s)==·由=，=有f(t)==*
=·dt=·］dt
=+=+［］
=

《常微分方程》
第一章
2、验证函数y=cx+(c是常数)和y=2都是方程y=xy’+的解。
解 证明：y= cx+，y’=cxy’+=cx+=y。
Y=±2，y’=±xy’+=±2=y。
4、验证函数y=c1+c2(k、c1、c2是常数)是方程y”+k2y=0的解。
证明：y=c1+c2y’=c1k+ c2ky”= c1k2 c2k2 y”+ k2y= c1k2 c2k2+ c1k2+ c2k2 。
6、dx+y；
解：=及y±1。
8、y’=(1-y2)
解：==+c=c
=ccos2xy=，y(0)==2c=y= 。
9、求下列齐次方程的解 ；
解：令y=ux,==
--=+c=cx=cx=cx
= =c，及y=±x。
10、求下列齐次方程的解 =(1+)；
解：=(1+)，令y=uxx+u=u(1+)x=u
du=dx=+c=cx，u=，x＞0y=x。
12、求下列齐次方程的解 =2+，y(1)=4；
解：令y=ux，u≥0x+u=2+u=dx=+c=cx
=cx，y(1)=4=c，c==x=2+。
13、求下列齐次方程的解 xy’-y=，y(1)=；
解：令y=ux，x(x)-ux==若x＞0，= arc=+c；若x＜0，= arc=+c。y(1)==ux1=u x＞0 arc=+c，c=
arc= 。
14、求下列一阶线性方程或伯努利方程的解 =；
解：y’+y=，p(x)=，f(x)=，==
y=()=()=+ 。
15、求下列一阶线性方程或伯努利方程的解 +2xy+x=，y(0)=2；
解：+2xy+x=-x，p(x)=2x，f(x)=-x，=
y==()
=(x-)=(c+x)，y(0)=c=2c=-
17、求下列一阶线性方程或伯努利方程的解 --=0， y(0)=1；
解：两边乘以y，y--=0，令z=
==x。p(x)=，f(x)=x=
==，这里初值是x=0取＜1。
z=()=()，=()。y(0)=1＞0。y(0)==1
-1+c=1c=2y= 。
19、验证下列方程为全微分方程或找出积分因子，然后求其解（5ydx+）+dx=0
解：（5ydx+）+dx=0=，=是全微分方程，u(x,y)=+=-++-=+-=c +=c
20、验证下列方程为全微分方程或找出积分因子，然后求其解 2(ydx+xdy)+xdx-5ydy=0，y(0)=1。
解：(2y+x)dx+(2x-5y)dy=0=2，=2全微分方程，
u（x,y）=+
=x-+-+2xy-2x-+
=-+2xy--+=0-+4xy+=0
第二章
7、求下列方程的通解或特解y”-4y’=0
解：-4λ=0，=0，=4，通解为y=+。
8、求下列方程的通解或特解y”+2y=0
解：+2=0，=，=，通解为y=+ c2 。
9、求下列方程的通解或特解y”-2y’+y=0
解：-2λ+1=0 λ=1通解为y=( c1+ c2x)。
10、求下列方程的通解或特解y”+4y’+13y=0
解：+4λ+13=0，=-2+3i，=-2-3i，通解为（c1+ c2）。
11、求下列方程的通解或特解y”-5y’+4y=0，y，y’。
解：-5λ+4=0，=1，=4，则通解为y=+，于是我们有y’=+4，代入初始条件，于是有，那么解为：y=4+
18、求下列方程的通解或特解y”+y=a(a是常数)，y(0)=0，y’(0)=0；
解：齐次方程的通解为=+ c2，去特解=A，则A=a，所以y=+ c2+a，y’=+，代入初值，得到，于是解为y=a+a
19、求下列方程的通解或特解y”+5y’+4y=20，y(0)=0，y’(0)=-2；
解：齐次方程的通解为=+。设特解为=A,
则A+5 A+4 A=20，代入初始条件，我们有，得到，那么解就为y=-4+2+2。
24、求下列方程的通解或特解y”+2y’+y=2
解：齐次方程的通解为=（+），设特解为=A，于是有’=2 A A，”=2 A4 A+ A，则有A=1，
那么解为y=(++）。
26、求下列方程的通解或特解+x=，x=；
解：齐次方程的通解为=+，
x’=++，代入初始条件就得到，
得到 ，于是解为x=-2
27、求下列方程的通解或特解+x=，a＞0；
解：当a=1时，设特解为= A，此时有=，可得A=，于是就有解为x=+。
当a1时，设特解为= A，此时有= A，可得A=。于是就有解为x=++ 。
28、求下列方程的通解或特解+3=2+；
解：齐次方程的通解为=，设特解为=A+B
可得=AB= AB。于是就可得到A=，B=。那么y=++
31、求下列方程的通解或特解2y”+5y’=cos2x
解：齐次方程的通解为=，因为cos2x=，则我们设特解为=Ax，=B，于是可得到A=，B=，那么解为
y=+++
33、求下列方程的通解或特解y”-2y’+2y=；
解：齐次方程的通解为=（+）。设特解为=A，则有’=A（），”=-2Ai，于是可得A=，那么解为y=(+)+()。
34、求下列方程的通解或特解y”+4y=x
解：齐次方程的通解为=+，设特解为=x(Ax+B)。则有”=［2A+4i(2Ax+B)-4(A+Bx)］，于是可得A=，B=，那么解为y=+ 。

填空题：
1. 设，那末___e2cos1_①______，___ e2sin1____②_______。
2. 设,那么函数除了点z =__1__③__外处处解析,且=__-(Z)④_______。
3. 微分方程的通解__sinx+c___⑤____，当满足条件时，__sinx+1___⑥_____。
4. 设已知方程的齐次方程一解为 、非齐次方程一解为，则方程的通解为____cx2_+ x2_______⑦______________。
5. 傅里叶变换性质：F _F1(w). F2(w)__⑧__，F__⑨_f1*f2__。
6. 拉普拉斯变换有微分性质：L____SF(s)_-f(0)_____⑩________。