高一数学下学期期中试题三区.doc

山东省邹平双语学校2015-2016学年高一数学下学期期中试题（三区）
（时间：120分钟，分值：150分）
一、选择题（每题5分，共10题共50分）
1.下列说法中正确的是(　　)
A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等
2．如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为(　　)
A．8∶27 B．2∶3 C．4∶9 D．2∶9
3.所示的几何体，则该几何体的俯视图是图(2)中的(　　)

(1)　　　(2)
4.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为(　　)

图
A．2 B．3 C．4 D．6

5．利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形(如图1－2－27所示)，则原图形的形状是(　　)

6．设a，b，c是空间的三条直线，给出以下五个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的个数是(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
7．以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角，可能为钝角的有(　　)A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个
8．等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为(　　)
A．30° B．60° C．90° D．120°
9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)

图
A．AC B．BD C．A1D D．A1D1
10.复数的共轭复数为(　　)
A．－＋i B.＋i C.－iD．－－i
二、填空题（每题5分共5题，共25分）
11.半径为2的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________．
12.∠ACB＝90°，平面ABC外有一点P，PC＝4 cm，点P到角的两边AC、BC的距离都等于2 cm，那么PC与平面ABC所成角的大小为________．

13.在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，二面角A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED的度数为________．

14．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝__________.
15．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为__________
第 页，共 页
三、解答题（共6个小题）
16．(本小题满分12分)已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值．

17．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥V－ABCD的底面为边长等于2 cm的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC＝4 cm，求这个正四棱锥的体积．

18．(本小题满分12分)如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．

19.（本小题12分）如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．

20.（本小题13分）如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于点D、E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小．

21.（本小题14分） 如图所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G.

(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；(2)求点D1到平面B1EF的距离．
邹平双语学校2015—2016第二学期期中考试
(3区) 高一 年级 数学（文理通用）试题答案

一选择题
1-10.BCCBA BBCBD
二、填空题
11. 12. 45° 13. 90° 14. 15. 8
三解答题
16．(本小题满分12分)已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值．
【解】　由①得解得
将x，y代入②得(5＋4a)－(6＋b)i＝9－8i，
所以
所以a＝1，b＝2.
17．(本小题满分12分)如图10所示，四棱锥V－ABCD的底面为边长等于2 cm的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC＝4 cm，求这个正四棱锥的体积．
【解】　连AC、BD相交于点O，连VO，

∵AB＝BC＝2 cm，在正方形ABCD中，
求得CO＝ cm，又在直角三角形VOC中，
求得VO＝ cm，∴VV－ABCD＝SABCD·VO＝×4×＝(cm3)．
故这个正四棱锥的体积为 cm3.
18．(本小题满分12分)如图12在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．
【解】　设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S，
则如图所示R＝OC＝2，AC＝4，
AO＝＝2.

易知△AEB∽△AOC，
∴＝，即＝，
∴r＝1，
S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h
＝2π.
∴S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝(2＋2)π.

19.（本小题12分）如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．

【解】　由题意知，A是M在平面ABC内的射影，
∴MA⊥平面ABC，
∴MC在平面CAB内的射影为AC.
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝.
在Rt△MAB中，MA＝＝＝3.
在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝.
即MC与平面CAB所成角的正弦值为.
20.（本小题13分）如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于点D、E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小．
【解】　∵SA⊥平面ABC，
∴SA⊥BD.
由已知SC⊥ED，SE＝EC，SB＝BC.
∴SC⊥BE，∴SC⊥平面BED，∴SC⊥BD.
又∵BD⊥SA，∴BD⊥平面SAC.
∵AC⊂平面SAC，∴BD⊥AC，
∴BD⊥CD.
同理BD⊥DE，即∠EDC是二面角E－BD－C的平面角，
设SA＝1，则SA＝AB＝1，
∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝，
可证得CB⊥SB，∴SC＝2，
∴在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，
∴∠EDC＝60°.
即二面角E－BD－C的大小为60°.
21.（本小题14分） 如图所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G.

(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；
(2)求点D1到平面B1EF的距离．
【解】　(1)证明：连接AC.∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是正方形，

∴AC⊥BD.又AC⊥DD1，且BD∩DD1＝D，故AC⊥平面BDD1B1，
∵E，F分别为棱AB，BC的中点，故EF∥AC，
∴EF⊥平面BDD1B1，
又∵EF⊂平 B1EF，
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
(2)由(1)平面B1EF⊥平面BDD1B1且交线为B1G，所以作D1H⊥B1G于H，则D1H⊥平面B1EF，即D1H为D1到平面B1EF的距离．
∵B1D1∥BD，∴∠D1B1H＝∠B1GB，
∴sin∠D1B1H＝sin∠B1GB＝＝.
△D1B1H中，D1B1＝4，sin∠D1B1H＝，
∴D1H＝＝.