初一数学解密几何图形的平面展开图.doc

初中数学
解密几何图形的平面展开图

1. 正方体的展开图
（1）“141型”（中间一行4个作侧面，上下两个各作为上下底面）

（2）“231型”（中间3个作侧面，共3种基本图形）

（3）“222”型

（4）“33”型

注意：
（1）并不是所有六个正方形相连接的图都是正方体的展开图；
（2）141型、231型根据排列规律理解记忆。222型、33型排列比较特殊，可以直接记忆。
总结：
不管是展开前还是展开后，正方体的相对的面一定是隔开的。

2. 正方体的相对面

总结：先看水平方向：隔一个面的是对面；
再看竖直方向：隔一个面的是对面。

3. 长方体的展开图
（1）“141”型

（2） “231”型

注意：长方体侧面的展开方法比较多，同学们了解一下即可，如有兴趣，可以自己尝试一下。
总结：无论哪种几何体和展开图，学习过程的重点是要实际操作，而不是机械的记忆这些图形，准备几个长方体、正方体等模型，自己展开看看，然后总结出结论才能加深理解。

例题1 如图，一蚂蚁在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的A处，它要从正方体表面爬到C1处，画出正方体的展开图，并画出它爬行的最短距离。

解析：根据两点之间线段最短，我们求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法就是将正方体展开，然后连接两点，再求线段的长度即可。
答案：如图所示，蚂蚁爬行的最短距离为线段AC1。

点拨：1. 线段的性质：两点之间线段最短。
2. 得出正确的展开图是解决这类问题的关键。
拓展：最短路径一共有几条？
例题2 将一个正方体展开图画上一些图案（如图），如果将这些图案折叠起来围成一个正方体，应该得到下图中的哪一个？为什么？请大家先想一想，再回答这个问题。

解析：本题考查了正方体两个对面颜色相同这个知识点，解本题的关键是两个圆圈是对着的两个面，两个三角形是挨着的两个面。
答案：观察图案可知，两个带圆圈图案的面相对，所以A，B错误；C中，三角形的位置错误。
故应该得到图D。
点拨：虽然本题有一定的规律可以遵循，但在学习过程中本题仍需实际操作以后再得出结论，而不是仅仅让这个知识点停留在简单记忆这个层次，要从做中学。

例题3 如图，是一个无盖立方体盒子，请把下列不完整的展开图补充完整。（请画出三种）

解析：首先我们通过读题可知本题中的盒子由五个面构成，然后根据正方体展开图作答即可。
答案：如图

点拨：题目中出现的无盖盒子在生活中较常见，可以自己找个盒子折一下，然后总结出五个面和六个面的区别。

【方法总结】
1. 正方体展开图对面的找法：先看水平方向：隔一个面的是对面；再看竖直方向：隔一个面的是对面。
2. 正方体的平面展开图中最多只能出现三个正方形有一个公共点的情形，最多只能出现四个正方形与一个正方形相邻的情形。
3. 原来处于相对位置上的两个面，展开后的正方形无公共顶点和公共边；反之，有一个公共顶点或一条公共边的两个正方形折叠成正方体后，必成为相邻的两个面，不可能成为相对的面。
4. 从任意角度观察正方体，最多只能观察到三个相邻的面，且两个相对的面不能被同时看到。
例题 如图所示，图（1）为一个正方体，AB=10，图2为图1的表面展开图（字在外表面上），请根据要求回答问题：
（1）面“扬”的对面是面　_________　；
（2）如果面“丽”是右面，面“美”在后面，哪一面会在上面？
（3）图（1）中，M、N为所在棱的中点，试在图（2）中画出点M、N的位置；并求出图（2）中三角形ABM的面积。

解析：
（1）由题意可知这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“丽”与面“州”相对，面“爱”与面“扬”相对，面“我”与面“美”相对，即可得出答案；
（2）如果面“丽”是右面，面“美”在后面，面“爱”会在上面；
（3）根据△ABM的底与高即可得出答案。
答案：
（1）面“扬”的对面是面“爱”；
（2）由图可知，如果面“丽”是右面，面“美”在后面，“爱”面会在上面；
（3）根据三角形边长求出△ABM的面积为10×5×=25或10×（10+10+5）×=125。

（答题时间：30分钟）
一、选择题
1.（常州）下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（　　）
A. B. C. D.
2.（余姚市模拟）已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示。若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（　　）

A. B.
C. D.
3.（泰安模拟）下列图形中，是正方体的平面展开图的是（　　）
A. B. C. D.
4.（高邮市模拟）如图，点A，B，C是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是（　　）

A. B.
C. D.
5.（鼓楼区二模）图①是由白色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②。则下列图形中，是图②的表面展开图的是（　　）

A. B.
C. D.

二、填空题
6.（荔城区三模）如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是　_______　。

7. 如图，已知某长方体的表面展开图的面积为310cm2，则图中x满足的数量关系是　_________　。

8.（荆州模拟）下图是无盖长方体盒子的表面展开图（重叠部分不计），则盒子的容积为　_________　。

9. （德宏州）以下三组图形均由四个等边三角形组成。能折成多面体的选项序号是　_________　。

三、解答题
10. 如图是一个正方体的表面展开图，如果把它重新折成正方体，那么与点G重合的是哪两点？并用字母指出三对相对的面。

11. 在下图中剪去一个小正方形，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，问应剪去哪个小正方形？（说出一种即可）

12. 如图，在一张正方形纸片的4个角剪去4个大小一样的小正方形，然后折起来就可以制成一个无盖的长方体纸盒，设这张正方形纸片的边长为a，这个无盖的长方体盒子的高为h。
（1）若a=18cm，h=4cm，则这个无盖长方体盒子的底面积为　_________　；
（2）用含a和h的代数式表示这个无盖长方体盒子的容积V=　_________　；

一、选择题
1. B 解析：根据圆锥的特征可知，侧面展开图是扇形的是圆锥。
2. C 解：∵ C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，
∴侧面展开图中BO为扇形对称轴，连接AC即为最短路线，
∵另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，作出C关于OA的对称点，再利用扇形对称性得出关于BO的另一对称点，连接即可。
3. B 解析：A. 折叠后缺少两个底面，故此选项错误；
B. 可以是一个正方体的平面展开图，故此选项正确；
C. 缺少一个侧面，故此选项错误；
D. 折叠后缺少一个底面，上面重合，故此选项错误。
4. D 解析：选项A、B、C折叠后都不符合题意，只有选项D折叠后两个剪去的三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去的三角形交于一个顶点，符合题意。
5. B 解析：由图中阴影部分的位置，首先可以排除C、D，又阴影部分正方形在左，三角形在右，而且相邻，故只有选项B符合题意。

二、填空题
6. 6
解析：易得2和6是相对的两个面；3和4是相对的两个面；1和5是相对的两个面，
∵2+6=8，3+4=7，1+5=6，
所以原正方体相对两个面上的数字和最小的是6。
7. x=7 解析：由题意得2×（10x+5x+5×10）=310，x=7
8. 6 解析：观察图形可知长方体盒子的长=3、宽=5﹣3=2、高=1，则盒子的容积=3×2×1=6。
9.（1）（3）
解析：只有图（1）、图（3）能够折叠成一个三棱锥。

三、解答题
10. 解：结合图形可知，围成正方体后点G与点A和点C重合；
四边形ABMN与四边形FEJI，四边形LMJK与四边形CBED，四边形MJEB与四边形HIFG为相对的面。
11. 解：根据正方体展开图可得应剪去标有数字2的小正方形。

12. 解：（1）∵ a=18cm，h=4cm，
∴ 这个无盖长方体盒子的底面积为：（a﹣2h）（a﹣2h）=（18﹣2×4）×（18﹣2×4）=100（cm2）
（2）这个无盖长方体盒子的容积V=h（a﹣2h）（a﹣2h）=h（a﹣2h）2（cm3）