2018高中数学计数原理121时排列一习题新人教A版.doc

第一章　1.2　1.2.1　第1课时 排列(一)

A级　基础巩固
一、选择题
1．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有(　C　)
A．6个　　　　　　　　　　 B．10个
C．12个 D．16个
[解析]　符合题意的商有A＝4×3＝12．
2．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是(　B　)
A．8 B．12
C．16 D．24
[解析]　设车站数为n，则A＝132，n(n－1)＝132，∴n＝12．
3．(2018·东安区校级期末)＝(　D　)
A． B．
C． D．
[解析]　＝＝＝＝．
故选D．
4．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站(这六个大站间)准备不同的火车票种数为(　A　)
A．30种 B．15种
C．81种 D．36种
[解析]　对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．因此，每张火车票对应于从6个不同元素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种排列．所以问题归结为求从6个不同元素中每次取出2个不同元素的排列数A＝6×5＝30种．故选A．
5．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有(　B　)
A．108种 B．186种
C．216种 D．270种
[解析]　从全部方案中减去只选派男生的方案数，所有不同的选派方案共有A－A＝186(种)，选B．
6．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有(　C　)
A．A种 B．A种
C．AA种 D．2A种
[解析]　安排4名司机有A种方案，安排4名售票员有A种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算完成，由分步乘法计数原理知共有AA种方案．
二、填空题
7．(2018·天津模拟)由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有__120__个．
[解析]　1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，有AA＝144个，
4在第四位，则前3位是奇偶奇，后两位是奇偶或偶奇，共有2CCA＝24个，
∴所求六位数共有120个．
故答案为120．
8．将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有__480__种(用数字作答)．
[解析]　A、B两个字母与C的位置关系仅有3种：同左、同右或两侧，各占，
∴排法有A＝480．
9．(2018·烟台一模)上合组织峰会将于2018年6月在青岛召开，组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E这五名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求A，B必须在同一组，且每组至少2人，则不同分配方法的种数为__8__．
[解析]　根据题意，分3种情况讨论：
①、A，B在一组，C，D，E都分在另一组，将两组全排列，对应两个地点即可，有A＝2种分配方法；
②、C，D，E中取出1人，与A、B一组，剩下2一组，再将两组全排列，对应两个地点，
有CA＝6种分配方法；
故一共有2＋6＝8种分配方法．
故答案为8．
三、解答题
10．(2018·深圳高二检测)用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：
(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？
(2)可以排出多少个不同的三位数？
[解析]　(1)三位数的每位上数字均为1,2,3,4,5,6之一．
第一步，得首位数字，有6种不同结果，
第二步，得十位数字，有5种不同结果，
第三步，得个位数字，有4种不同结果，
故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个)．
(2)三位数，每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个，共有这样的三位数6×6×6＝216(个)．
B级　素养提升
一、选择题
1．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程＋＝1中的m和n，则能组成落在矩形区域B＝{(x，y)||x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为(　B　)
A．43 B．72
C．86 D．90
[解析]　在1、2、3、4、…、8中任取两个作为m、n，共有A＝56种方法；可在9、10中取一个作为m，在1、2、…、8中取一个作为n，共有AA＝16种方法，由分类加法计数原理，满足条件的椭圆的个数为：A＋AA＝72．
二、填空题
2．(2018·通渭县校级期中)若A＝2A，则m的值为(　A　)
A．5 B．3
C．6 D．7
[解析]　根据题意，若A ＝2A，
则有m(m－1)(m－2)(m－3)(m－4)＝2×m(m－1)(m－2)，
即(m－3)(m－4)＝2，解可得：m＝5；故选A．
3．有10幅画展出，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画排成一排，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的陈列方式有__5760__种．
[解析]　第一步，水彩画可以在中间，油画、国画放在两端，有A种放法；
第二步，油画内部排列，有A种；
第三步，国画内部排列，有A种．
由分步乘法计数原理，不同的陈列方式共有AAA＝5 760(种)．
三、解答题
4．求和：＋＋＋…＋．
[解析]　∵＝＝－＝－，
∴原式＝＋＋＋…＋＝1－．
5．(2016·宝鸡市金台区高二检测)“渐降数”是指每一位数字比其左边的数字小的正整数(如632)，那么比666小的三位渐降数共有多少个？
[解析]　百位是6，十位是5比666小的渐降数有654,653,652,651,650共5个，
百位是6，十位是4比666小的渐降数有643,642,641,640共4个，
百位是6，十位是3比666小的渐降数有632,631,630共3个，
百位是6，十位是2比666小的渐降数有621,620共2个，
百位是6，十位是1比666小的渐降数有610，
所以百位是6比666小的渐降数有1＋2＋3＋4＋5＝15个，
同理：百位是5比666小的渐降数有1＋2＋3＋4＝10个，
百位是4比666小的渐降数有1＋2＋3＝6个，
百位是3比666小的渐降数有1＋2＝3个，
百位是2比666小的渐降数有1个，
所以比666小的三位渐降数共有15＋10＋6＋3＋1＝35个．
C级　能力拔高
(1)写出从a，b，c，d这4个字母中，任意取出2个字母的所有排列；
(2)写出从a，b，c，d这4个字母中，任意取出3个字母的所有排列．
[解析]　(1)把a，b，c，d中任意一个字母排在第一个位置上，有4种排法；第一个位置上的字母排好后，第二个位置上的字母就有3种排法．
如果第一个位置是a，那么第二个位置可以是b，c或d，有3个排列，即ab，ac，ad．
同理，第一个位置更换为b，c或d，也分别各有3个排列，如图所示．

因此，共有12个不同的排列，它们是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc．
(2)根据(1)，从4个字母中每次取出2个字母的排列有12种，在每一种排列的后面排上其余两个字母中的任一个，就得到取出3个字母的所有排列，可以画出树形图，如图所示．

因此，共有24个不同的排列，它们是abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb．