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3.4.3 函数模型及其应用
自我小测
1．某座高山，从山脚开始，海拔每升高100米气温就降低0.7℃，已知山顶温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则这座山的相对高度是________．
2．今有一组实验数据见下表：
t
1.99
3.01
4.02
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.51
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个函数序号是________．①v＝log2t ② ③ ④v＝2t－2
⑤v＝2t
3．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个商品销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个________元．
4．为了预防甲型H1N1流感的发生，某校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
5．2009年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则到________年我国人口总数将超过20亿．(注：lg1.012 5≈0.005 4，)．
6．如图所示，开始时桶1中有aL水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1＝ae－nt，那么桶2中水就是y2＝a－ae－nt，假设过5分钟时桶1和桶2中的水相等，则再过________分钟桶1中的水只有.
7．某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一日能来回16次，如果每次拖7节车厢，则每日能来回10次，每日来回的次数是车头每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次，每次应拖挂多少车厢才能使运营人员最多？并求出每天最多运营人数．
8．某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双，为了估测以后每个月的产量，以前三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系，则在二次函数与指数函数模型(y＝abx＋c，a，b，c为常数)中，选用哪个函数作模拟函数好？请说明理由．
参考答案
千里之行
1．1 700米 解析：由题意知，山高h(百米)与气温T(℃)为一次函数关系，则T＝－0.7h＋b，当h＝0时，T＝26℃，∴b＝26，即T＝－0.7h＋26.当T＝14.1℃时，h＝17(百米)．
∴此山的相对高度为1 700米，(也可直接得．
2．③ 解析：将表中数据代入各函数解析式中验证即可．
3．14 解析：设每个涨价x元，则实际销售价为(10＋x)元，销售的个数为(100－10x)，则利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x≤10)．
∴当x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．
4．0.6 解析：由题意可得即得或
解得或t≥0.6故至少需要经过0.6小时后学生才可回教室．
5．2 038 解析：设经过x年后我国人口总数恰好为20亿，由题意得14(1＋1.25%)x＝20(x∈N＋)，即，两边取常用对数，有.
∴，
即经29年后人口总数将超过20亿．由2009＋29＝2038知，到2038年我国人口总数将超过20亿．
6．10 解析：∵过5分钟时两桶中的水相等，∴ae－5n＝a－ae－5n，∴①.设过x分钟桶1中的水只有，则，即，由①可知，∴x＝15.
∴再过15－5＝10分钟，桶1中的水只有.
7．解：设每日来回y次，每次挂x节车厢，由题意，得y＝kx＋b(k≠0)．
当x＝4时y＝16，当x＝7时y＝10，得下列方程组解得k＝－2，b＝24.
∴y＝－2x＋24.
由题意，知每日挂车厢最多时，营运人数最多，设每日营运S节车厢，
则S＝xy＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72.
∴当x＝6时，Smax＝72，此时y＝12.
则每日最多运营人数为110×6×12＝7 920(人)．
答：这列火车每天来回12次，每次应拖挂6节车厢才能使运营人数最多，每天最多运7 920人．
8．解：设y1＝f(x)＝mx2＋nx＋p(m≠0)则由前三个月的产量得
解之得
∴f(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3(万件)．
再设y2＝g(x)＝abx＋c.则
解得
∴g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35(万件)，
经比较可知用y＝－0.8·(0.5)x＋1.4作为模拟函数较好．
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