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2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数 学 Ⅰ 试 题 2017.5
注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用 毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置． 3．答题时，必须用 毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效． 4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上． 1．已知集合 ， ，则 ▲ ． 2．已知i为虚数单位，复数 ， ，且 ，则 ▲ ． 3．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布．若利用组中值近似计算本组数据的平均数 ，则 的值为 ▲ ． 数据 频数 2 1 3 4
4．已知直线 为双曲线 的一条渐近线，则该双曲线的离心率的值为 ▲ ． 5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n个自然数平方和的一般公式．右图是一个求前n个自然数平方和的算法流程图，若输入 的值为1，则输出 的值为 ▲ ． 6．已知 是集合 所表示的区域， 是集合 所表示的区域，向区域 内随机的投一个点，则该点落在区域 内的概率为 ▲ ． 7．已知等比数列 的前n项和为 ，公比 ， ，则 ▲ ． 8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为 ，则该直四棱柱的侧面积为 ▲ ． 9．已知 是第二象限角，且 ， ，则 ▲ ． 10．已知直线 ： ，圆 ： ，当直线 被圆 所截得的弦长最短时，实数 ▲ ． 11．在△ 中，角 对边分别是 ，若满足 ，则角 的大小为 ▲ ． 12．在△ 中， ， ， ， 是△ABC所在平面内一点，若 ，则△PBC面积的最小值为 ▲ ． 13．已知函数 若函数 有三个零点，则实数b 的取值范围为 ▲ ． 14．已知 均为正数，且 ，则 的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知向量 , ． （1）当 时，求 的值； （2）若 ，且 ，求 的值．
16．（本小题满分14分） 如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD， E，F，G分别为AB，AD，AC的中点， ， ． （1）求证：AB⊥平面EDC； （2）若P为FG上任一点，证明EP∥平面BCD．
17．（本小题满分14分） 某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量 （单位：百千克）与肥料费用 （单位：百元）满足如下关系： ，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等） 百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为 （单位：百元）． （1）求利润函数 的函数关系式，并写出定义域； （2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？
18．（本小题满分16分） 已知函数 ，a，b为实数， ， e为自然对数的底数， …． （1）当 ， 时，设函数 的最小值为 ，求 的最大值； （2）若关于x 的方程 在区间 上有两个不同实数解，求 的取值范围．
19．（本小题满分16分） 已知椭圆 的左焦点为 ，左准线方程为 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）已知直线 交椭圆 于 ， 两点． ①若直线 经过椭圆 的左焦点 ，交 轴于点 ，且满足 ， ．求证： 为定值； ②若A，B两点满足 （O为 坐标原点），求△AOB面积的取值范围．
20．（本小题满分16分） 已知数列 满足 ,其中 , , 为非零常数． （1）若 ，求证： 为等比数列，并求数列 的通项公式； （2）若数列 是公差不等于零的等差数列． ①求实数 的值； ②数列 的前n项和 构成数列 ，从 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列．试问：是否存在首项为 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由． 2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学Ⅱ（附加）试题 2017.5 注意事项： 1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，如多答，则按选做题中的前2题计分．第22，23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用 毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置． 3．答题时，必须用 毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效． 4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 21．【选做题】本题包括 ， ， ， 四小题，每小题10分. 请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A．（选修4－1：几何证明选讲） 如图，直线 切圆 于点 ，直线 交圆 于 两点， 于点 ， 且 ，求证： ．
B．（选修4―2：矩阵与变换） 已知矩阵 的一个特征值 及对应的特征向量 ． 求矩阵 的逆矩阵．
C．（选修4―4：坐标系与参数方程） 在平面直角坐标系 中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线 的参数方程为 为参数)，曲线 的极坐标方程为 （ ）．若曲线 与曲线 有且仅有一个公共点，求实数 的值．
D.（选修4―5：不等式选讲） 已知 为正实数，求证： ．
【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分. 请把答案写在答题卡的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分） 已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第 局得 分（ ）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束． （1）求在一局游戏中得3分的概率； （2）求游戏结束时局数 的分布列和数学期望 ．
23．（本小题满分10分） 已知 ， 其中 ． （1）试求 ， ， 的值； （2）试猜测 关于n的表达式，并证明你的结论． 2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学参考答案 2017.5 一、填空题． 1． 2．1 3．19.7 4． 5．14 6． 7． 8． 9． 10．-1 11． 12． 13． 14．7 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．解：（1）当 时， ， ， ……………………………4分 所以 ．…………………………………………………………6分 （2） ， ………………………8分 若 ，则 ，即 ， 因为 ，所以 ，所以 ， ……………10分 则 ……………12分 ． ……………………………14分 16．（1）因为平面ABC⊥平面ACD， ，即CD⊥AC， 平面ABC 平面ACD=AC，CD 平面ACD， 所以CD⊥平面ABC， ………………………………………………………………3分 又AB 平面ABC，所以CD⊥AB， ………………………………………………4分 因为 ，E为AB的中点，所以CE⊥AB， …………………………………6分 又 ，CD 平面EDC，CE 平面EDC， 所以AB⊥平面EDC． …………………………………………………………………7分 （2）连EF，EG，因为E，F分别为AB，AD的中点， 所以EF∥BD，又 平面BCD， 平面BCD， 所以EF∥平面BCD， ………………………………………………………………10分 同理可证EG∥平面BCD，且EF EG=E，EF 平面BCD，EG 平面BCD， 所以平面EFG∥平面BCD， ………………………………………………………12分 又P为FG上任一点，所以EP 平面EFG，所以EP∥平面BCD．……………14分 17．解：（1） （ ）．………………4分 （2）法一： ．……………………………………8分 当且仅当 时，即 时取等号．……………………………10分 故 ．………………………………………………………………12分 答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．…14分 法二： ，由 得， ．……………………………7分 故当 时， ， 在 上单调递增； 当 时， ， 在 上单调递减；…………………10分 故 ．………………………………………………………………12分 答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．…14分 18．解：（1）当 时，函数 ， 则 ， ………………………………………………………2分 令 ，得 ，因为 时， ， 0 + 极小值
所以 ， ……………………………4分 令 ， 则 ，令 ，得 ， 且当 时， 有最大值1， 所以 的最大值为1（表格略），(分段写单调性即可)，此时 ．………6分 （2）由题意得，方程 在区间 上有两个不同实数解， 所以 在区间 上有两个不同的实数解， 即函数 图像与函数 图像有两个不同的交点，…………………9分 因为 ，令 ，得 ， 0 + 3e
所以当 时， ，……………………………………………14分 当 时， ， 所以 满足的关系式为 ，即 的取值范围为 ．…………16分 19．解：（1）由题设知 ， ，即 ，……………………1分 代入椭圆 得到 ，则 ， ，…………………2分 ∴ ． ……………………………………………………………………3分 （2）①由题设知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，则 ． 设 ，直线 代入椭圆得 ，整理得， ，∴ ． ……………5分 由 ， 知， ， ……………………………7分 ∴ （定值）．………9分 ②当直线 分别与坐标轴重合时，易知△AOB的面积 ，……………10分 当直线 的斜率均存在且不为零时，设 ， 设 ，将 代入椭圆 得到 ， ∴ ，同理 ， …………………12分 △AOB的面积 ． ………………………………13分 令 ， ， 令 ，则 ． ……………15分 综上所述， ． ………………………………………………………16分 20．解：（1）当 时， ， ∴ ．……………………………………………………………………2分 又 ，不然 ，这与 矛盾，…………………………………3分 ∴ 为2为首项，3为公比的等比数列， ∴ ，∴ ． …………………………………………………4分 （2）①设 ， 由 得 ， ∴ ， …………………………5分 ∴ 对任意 恒成立． ………………………………………………………………7分 ∴ 即 ∴ ．…………9分 综上， ． ……………………………………………………10分 ②由①知 ． 设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数． 若三个奇数一个偶数，设 是满足条件的四项， 则 ， ∴ ，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去． ……11分 若一个奇数三个偶数，设 是满足条件的四项， 则 ，∴ ． ……………………………12分 由504为偶数知， 中一个偶数两个奇数或者三个偶数． 1）若 中一个偶数两个奇数，不妨设 则 ，这与251为奇数矛盾． ………………………13分 2）若 均为偶数，不妨设 ， 则 ，继续奇偶分析知 中两奇数一个偶数， 不妨设 ， ， ，则 ． …14分 因为 均为偶数，所以 为奇数，不妨设 ， 当 时， ， ，检验得 ， ， ， 当 时， ， ，检验得 ， ， ， 当 时， ， ，检验得 ， ， ， 即 或者 或者 满足条件， 综上所述， ， ， 为全部满足条件的四元子列．…………………………………………………………………………………………16分
（第Ⅱ卷 理科附加卷） 21．【选做题】本题包括 ， ， ， 四小题，每小题10分. A．（选修4－1 几何证明选讲）. 解：连结OD，设圆的半径为R， ，则 ， ． …………2分 在Rt△ODE中，∵ ，∴ ，即 ， ① 又∵直线DE切圆O于点D，则 ，即 ，② ………6分 ∴ ，代入①， ， ， ……………………………8分 ∴ ， ∴ ． ……………………………………………………………………10分 B．（选修4―2：矩阵与变换） 解：由题知， ……………………4分 ∴ ， .…………………………………………………………6分 ， …………………………………………………8分 ∴ ． ………………………………………………………………10分 C．（选修4―4：坐标系与参数方程） 解： ， ∴曲线 的普通方程为 ． ……………………………………4分 ， ∴曲线 的直角坐标方程为 ， ……………………………………6分 曲线 圆心到直线 的距离为 ， ………………………8分 ∴ ，∴ 或 ．………………………………10分（少一解，扣一分）
D．（选修4―5：不等式选讲） 解法一：基本不等式 ∵ ， ， ， ∴ ， ………………………………………6分 ∴ ， ………………………………………………………10分 解法二：柯西不等式 ， ∴ ， …………………………………………………………10分 【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分. 22．解：（1）设在一局游戏中得3分为事件 ， 则 ．… …………………………………………………………2分 答：在一局游戏中得3分的概率为 ．………………………………………………3分 （2） 的所有可能取值为 ． 在一局游戏中得2分的概率为 ，…………………………………5分 ； ； ； ． 1 2 3 4
所以 ………………………………………………………………………………………………8分 ∴ ．…………………………………10分
23．解：(1) ；………………………………………1分 ； ………………………………………2分 ． ………………………………………3分 （2）猜测： ． …………………………………………………………………4分 而 ， ， 所以 ． …………………………………………………………………5分 用数学归纳法证明结论成立． ①当 时， ，所以结论成立． ②假设当 时，结论成立，即 ． 当 时， （） 由归纳假设知（）式等于 ． 所以当 时，结论也成立． 综合①②， 成立． ………………………………………………………10分
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