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2018-2019学年上学期高三期末考试 文科数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2018•重庆11月调研]已知 为虚数单位，则 （ ） A． B．1 C． D． 2．[2018•中山一中]设集合 ， ，则集合 等于（ ） A． B． C． D． 3．[2018•浙江学考]函数 的图像不可能是（ ） A． B． C． D． 4．[2018•天水一中]设向量 ， 满足 ， ，则 （ ） A．6 B． C．10 D． 5．[2018•蓝圃学校]甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为 ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为 ，且 ．若 ，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为（ ） A． B． C． D． 6．[2018•和平区期末]已知直线 为双曲线 的一条渐近线，则该双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 7．[2018•玉林摸底]在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，则 的周长是（ ） A． B． C． D． 8．[2018•五省联考]有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是（ ） A． B． C． D． 9．[2018•赣州期中]如图，棱长为1的正方体 中， 为线段 上的动点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 10．[2018•吉林调研]将函数 的图象所有点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移 个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 11．[2018•书生中学]过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 ， 两点，若线段 中点的横坐标为 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 12．[2018•娄底模拟]已知 为定义在 上的奇函数， ，且当 时， 单调递增，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．[2018湖北七校联考•]若函数 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为______________． 14．[2018•九江十校联考]已知实数 ， 满足不等式组 ，那么 的最大值和最小值分别是 和 ，则 ___________． 15．[2018•山师附中]已知 ，则 ___________． 16．[2018•陕西四校联考]直三棱柱 的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为 ，则该三棱柱体积的最大值为__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2018•重庆一中]已知数列 为等比数列， ， 是 和 的等差中项． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ．
18．（12分）[2018•中山一中]下图是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图． 注：年份代码1~7分别对应年份2010~2016． （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请求出相关系数 ，并用相关系数的大小说明 与 相关性的强弱； （2）建立 关于 的回归方程（系数精确到 ），预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．附注： 参考数据： ， ， ， ． 参考公式：相关系数 ， 回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， ．
19．（12分）[2018•化州一模]如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ． （1）求证： ； （2）当几何体 的体积等于 时，求四棱锥 的侧面积．
20．（12分）[2018•黄山八校联考]已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心率 ，点 是椭圆上的一个动点， 面积的最大值是 ． （1）求椭圆的方程； （2）若 ， ， ， 是椭圆上不重合的四点， 与 相交于点 ， ，且 ，求此时直线 的方程．
21．（12分）[2018•东师附中]已知函数 ． （1）求函数 的单调区间； （2）若 恒成立，求 的值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 [2018•安丘质检]在直角坐标系 中，直线 经过点 ，倾斜角 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 ． （1）求曲线 的直角坐标方程并写出直线 的参数方程； （2）直线 与曲线 的交点为 ， ，求点 到 、 两点的距离之积．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2018•湖北、山东联考]已知函数 ． （1）解不等式 ； （2）若不等式 有解，求实数 的取值范围．
2018-2019学年上学期高三期末考试 文科数学答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B 【解析】 ，故选B． 2．【答案】A 【解析】由集合 ， ， 则集合 ，故选A． 3．【答案】A 【解析】直接利用排除法： ①当 时，选项B成立； ②当 时， ，函数的图象类似D； ③当 时， ，函数的图象类似C；故选A． 4．【答案】D 【解析】∵向量 ， 满足 ， ，∴ ，解得 ． 则 ．故选D． 5．【答案】A 【解析】由题意，可知甲乙两人各猜一个数字，共有 （种）猜字结果， 其中满足 的有： 当 时， ，1；当 时， ，1，2；当 时， ，2，3； 当 时， ，3，4；当 时， ，4，5；当 时， ，5，6； 当 时， ，6，7；当 时， ，7，8；当 时， ，8，9； 当 时， ，9，共有 种， ∴他们“心有灵犀”的概率为 ，故选A． 6．【答案】D 【解析】结合双曲线的方程可得双曲线的渐近线为 ， 则双曲线的一条渐近线为 ， 据此有 ，∴ ．故选D． 7．【答案】C 【解析】∵ ，∴由正弦定理得 ， 由余弦定理得 ， 又 ，解得 ， ．∴ 的周长是 ．故选C． 8．【答案】B 【解析】程序运行过程如下：首先初始化数据： ， ， 此时 的值不大于 ，应执行： ， ； 此时 的值不大于 ，应执行： ， ； 此时 的值不大于 ，应执行： ， ； 此时 的值不大于 ，应执行： ， ； 此时 的值不大于 ，应执行： ， ； 此时 的值不大于 ，应执行： ， ； 此时 的值大于 ，应跳出循环， 即 时程序不跳出循环， 时程序跳出循环， 结合选项可知空白的判断框内可以填入的是 ．故选B． 9．【答案】B 【解析】由题意，将面 与面 沿 展开成平面图形，如图所示， 线段 即为 的最小值， 在 中，利用余弦定理可得 ，故选B． 10．【答案】D 【解析】由已知 ，将函数 的图象所有点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，可得 的图象； 再把所得的图象向右平移 个单位长度，可得 的图象； 根据所得函数的图象对应的函数为奇函数，则 ， ； 解得 ， ； 令 ，可得 的最小正值是 ．故选D． 11．【答案】B 【解析】设 ， ，∵过抛物线 的焦点 ， 设直线方程为 ，代入抛物线方程可得 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，∴ ， ， ∴ ， 解得 ，故选B． 12．【答案】B 【解析】由奇函数的性质结合题意可知函数 是定义在 上的单调递增函数， 不等式 ，即 ， 即 ，结合函数的单调性可得 ， 求解不等式可得不等式 的解集为 ．故选B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】 【解析】 为奇函数，则 ， ∴ ， ，∴ ， 又 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ． 14．【答案】0 【解析】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示． 由 得 ，结合图形，平移直线 可得， 当直线经过可行域内的点A时，直线在 轴上的截距最大，此时 取得最大值； 当直线经过可行域内的点B时，直线在 轴上的截距最小，此时 取得最小值． 由题意得 ， ，∴ ， ， ∴ ．故答案为0． 15．【答案】 【解析】有三角函数诱导公式： ， ． 16．【答案】 【解析】设三棱柱底面直角三角形的直角边为 ， ，则棱柱的高 ， 设外接球的半径为 ，则 ，解得 ， ∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心， ∴ ．∴ ，∴ ， ∴ ．当且仅当 时“ ”成立．∴三棱柱的体积 ． 故答案为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）设数列 的公比为 ，∵ ，∴ ， ． ∵ 是 和 的等差中项，∴ ． 即 ，化简得 ． ∵公比 ，∴ ． ∴ ． （2）∵ ，∴ ．∴ ， 则 ． 18．【答案】（1） ，说明 与 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 与 的关系； （2） ，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约 亿吨． 【解析】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得 ， ， ， ， ∴ ． ∵ 与 的相关系数近似为 ，说明 与 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 与 的关系． （2）由 及（1）得 ， ∴ ． ∴ 关于 的回归方程为 ． 将2018年对应的 代入回归方程得 ． ∴预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约 亿吨． 19．【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）连结 ，取 的中点 ，连结 ， 则直角梯形 中， ， ，∴ ，即 ， ∵ 平面 ， 平面 ，∴ ， 又 ，∴ 平面 ， 由 平面 得 ； （2）∵ ， ∴ ，∴ ， ， 又 ，∴ ，∴ ， ∴四棱锥 的侧面积为 ． 20．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由题意知，当点 是椭圆上、下顶点时， 面积取得最大值， 此时 ，又 ， 解得 ， ，所求椭圆的方程为 ． （2）由（1）知 ，由 得 ， ①当直线 与 有一条直线的斜率不存在时， ，不合题意， ②当直线 的斜率为 （ 存在且不为0）时，其方程为 ， 由 消去 得 ， 设 ， ，则 ， ， ∴ ， 直线 的方程为 ，同理可得 ， 由 解得 ，故所求直线 的方程为 ． 21．【答案】（1）函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 ；（2） ． 【解析】（1）依题意， ，令 ，解得 ，故 ， 故当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递增； 故函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 ． （2） ，其中 ， 由题意知 在 上恒成立， ， 由（1）可知，∴ ， ∴ ，记 ，则 ，令 ，得 ． 当 变化时， ， 的变化情况列表如下： 0 极大值 ∴ ，故 ，当且仅当 时取等号， 又 ，从而得到 ． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）曲线 的直角坐标方程为 ， 的参数方程为 ；（2）3． 【解析】（1）∵ ， ∴ ，即 ；直线 的参数方程为 ； （2）把 ， 代入圆的直角坐标方程 得 ， 设 ， 是方程的两根，则 ，由参数 的几何意义，得 ． 23．【答案】（1） ；（2） 或 ． 【解析】（1） ， ∴ 或 或 ，解得 或 或无解， 综上，不等式 的解集是 ． （2） ，当 时等号成立， 不等式 有解，∴ ， ∴ ，∴ 或 ，即 或 ， ∴实数 的取值范围是 或 ．
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