2016黄浦区高三数学第二次模拟考试试题理附答案.docx

黄浦区2016年高考模拟考 数学试卷（理科） （2016年4月） 考生注意： 1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效； 2答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码； 3本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟 一、填空题(本 大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分 1已知集合 ，集合 若 ，则实数 2计算： 3函数 的反函数 4函数 的最小正周期为 5 在极坐标系中，直线 与直线 的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示） 6已知菱形 ，若 ， ，则向量 在 上的投影为 7已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和六 个正方形构成，如右图所示，若该凸多面体所有棱长均为 ，则其体积 8已知函数 ，若 的定义域中 的 、 满足 ，则 9在代数式 的展开式 中，常数等于 10若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为 ，最大值为 ，则该椭圆的短轴长为 11有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各 个，在每种颜色的 个小球上分别标上号码 、 和 ，现任取出 个，它们的颜色与号码均不相同的概率是 （结果用最简分数表示） 12设离散型随机变量 可能取的值为 ， ， ， （ ），若 的数学期望 ，则 13正整数 、 满足 ， 若关于 、 的方程组 有且只有一组解，则 的最大值为 14数列 中，若 ， （ ， ， ），则满足 的 的最小值为 二、选择题(本大 题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分 15已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为 ， ，那么“ ”是“两直线 、 平行”的答 ( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 16复数 （ ， 为虚数单位）在复平面上的点不可能位于答 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 17若 的三条边 ， ， 满足 ，则 答 ( ) A一定是锐角三角形 B一定是直角三角形 C一定是钝角三角形 D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 18若函数 的定义域与区间 的交集由 个开区间组成，则 的值为答 ( ) A B C D三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤 19（本题满分12分） 如图，小凳凳面为圆形，凳脚为三根细钢管考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点 与凳面圆形的圆心 的连线垂直于凳面和地面，且 分细钢管上下两段的比值为 ，三只凳脚与地面所成的角均为 若 、 、 是 凳面圆周的三等分点， 厘米，求凳子的高度 及三根细钢管 的总长度（精确到 ）20（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分 已知函数 ，其中 、 为非零实常数 （1）若 ， 的最大值为 ，求 、 的值 （2）若 ， 是 图像的一条对称轴，求 的值，使其满足 ，且 21（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第 2小题满分7分 已知函数 ，其中 （1）证明：函数 在 上为增函数 （2）证明：不存在负实数 使得 22（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 已知数列 的通项公式为 ，其中 ， 、 （1）试写出一组 、 的值，使得数列 中的各项均为正数 （2）若 ， ，数列 满足 ，且对任意的 （ ），均有 ，写出所有满足条件的 的值 （3）若 ，数列 满足 ，其前 项和为 ，且使 （ 、 ， ）的 和 有且仅有 组， 、 、 中有至少 个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求 、 的最小值 23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于双曲线 ： （ ），若点 满足 ，则称 在 的外部；若点 满足 ，则称 在 的内部 （1）若直线 上点都在 的外部，求 的取值范围 （2）若 过点 ，圆 （ ）在 内部及 上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求 、 满足的关系式及 的取值范围 （3）若曲线 （ ）上的点都在 的外部，求 的取值范围黄浦区2016年高考模拟考 数学试卷（文理）参考答案 一、填空题(本大题满分56分) 1 2 3 ， 4 5 6 7 8 9（理） （文） 10（理） （文） 11（理） （文） 12（理） （文） 13（理） （文） 14（理） （文） 二、选择题(本大题满分20分) 15B 16D 1 7C 18C 三、解答题(本大题满分74分) 19(本题满分12分) 解 联结 ， ，由题意， 平面 ，因为凳面与地面平行， 所以 就是 与平面 所成的角，即 （2分） 在等边三角形 中， ，得 ，（4分） 在直角三角形 中， ，（6分） 由 ，解得 厘米（9分） 三根细钢管的总长度 厘米（12分） 20(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分 解（1）因为 （其中 ， ）， 所以 的最大值为 由 ，（2分） 及 ，（4分） 解得 ， 或 ， （6分） （2）易知，当 时，取得最大值 或最小值 ， 于是 ，解得 （8分） 于是 ，（10分） 当 时，解得 或 （ ）（12分） 因为 ，故所求 的值为 ， ， （13分） 21(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分 证明（1）任取 ， （3分） 因为 ， ，所以 ， ， ， ， 于是 ， ，得 ，即 因此，函数 在 上为增函数（6分） （2）（反证法）若存在负实数 （ ），使得 ，即方程 有负实数根（8分） 对于 ，当 且 时，因为 ，所以 ，（10分） 而 （13分） 因此，不存在负实数 使得 ，得证 22(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 （理）解（1 ） 、 （答案不唯一）（4分） （2）由题设， （6分） 当 ， 时， 均单调递增，不合题意，因此， 当 时，对于 ，当 时， 单调递减；当 时， 单调递增 由题设，有 ， （8分） 于是由 及 ，可解得 因此， 的值为7，8，9，10，11（10分） （3） 其中 ，且 当 时， 各项均为正数，且单调递增， ，也单调递增，不合题意； 当 时， 不合题意；（12分） 于是，有 ，此时 （14分） 因为 （ 、 ， ），所以 、 于是由 ，可得 ，进一步得 ，此时， 的四个值为 ， ， ， ，因此， 的最小值为 （16分） 又 、 、 中有至少 个连续项的值相等，其它项的值均不相等， 不妨设 ，于是有 ， 因为当 时， ，所以 ， 因此， ，即 的最小值为 （18分） （文）解（1）设直线 上点的坐标为 ，代入 ， 得 ，（2分） 对于 ， ，因此，直线 上的点都在 的外部（4分） （2 ）设点 的坐标为 ，由题设 （6分） ，由 ，得 ，（8分） 对于 ， 有 ，于是 ，（10分） 因此， 的最小值为 （3）因为圆 和双曲线 均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及 、 轴正半轴的情况 由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为 （12分） 将 ， 代入双曲线 方程，得 （*），（13分） 又因为 过点 ，所以 ，（15分） 将 代入（*）式，得 （17分） 由 ，解得 因此， 的取值范围 为 （18分） 23(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 （理）解（1）由题意，直线 上点 满足 ，即求不等式 的解为一切实数时 的取值范围（1分） 对于不等式 ， 当 时，不等式的解集不为一切实数，（2分） 于是有 解得 故 的取值范围为 （4分） （2）因为圆 和双曲线 均关于坐标轴和原点 对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及 、 轴正半轴的情况 由题设 ，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为 将 ， 代入双曲线 方程，得 （*），（6分） 又因为 过点 ，所以 ，（7分） 将 代入（*）式，得 （9分） 由 ，解得 因此， 的取值范围为 （10分） （3）由 ，得 将 代入 ， 由题设，不等式 对任意非零实数 均成立（12分） 其中 令 ，设 ，（ ） 当 时，函数 在 上单调递增， 不恒成立；（14分） 当 时， ， 函数 的最大值为 ， 因为 ，所以 ；（16分） 当 时， （17分） 综上， ，解得 因此， 的取值范围为 （18分） （文） 解（1） 、 （答案不唯一）（4分） （2）由题设， （6分） 当 ， 时， 均单调递增，不合题意，因此， 当 时，对于 ，当 时， 单调递减；当 时， 单调递增 由题设，有 ， （8分） 于是由 及 ，可解得 因此， 的值为7，8，9，10，11（10分） （3）因为 ，且 ， 所以 （12分） 因为 （ 、 ， ），所以 、 （ 14分） 于是由 ，可得 ，进一步得 ， 此时， 的四个值为 ， ， ， ，因此， 的最小值为 （16分） 又 、 、 中有至少 个连续项的值相等，其它项的值均不相等，不妨设 ，于是有 ，因为当 时， ，所以 ， 因此， ，即 的最小值为 （18分）20 20