2018高三数学理第二次质量调研抽测试题重庆市附答案.docx

高2018届高三学业质量调研抽测（第二次） 理科数学试题卷 理科数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知 是虚数单位，则复数 的虚部是 A． B． C． D． 2．已知集合 ，则 A． B． C． D． 3．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 A． B． C． D． 4．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为 A． B． C． D． 5．在 中，角 所对应的边分别是 ，若 ，则角 等于
6．利用我国古代数学名著《九章算法》中的“更相减损术”的思路,设计的程序框图如图所示．执行该程序框图，若输入 的值分别为6,9,0，则输出的 A． B． C． D． 7．已知实数 满足 如果目标函数 的最大值为 ，则实数 A． B． C． D． 8．为培养学生分组合作能力，现将某班分成 三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组．某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在 组中的那位的成绩与甲不一样，在 组中的那位的成绩比丙低，在 组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是 A．甲、丙、乙 B．乙、甲、丙 C．乙、丙、甲 D．丙、乙、甲 9．已知圆 ，点 ， 两点关于 轴对称．若圆 上存在点 ，使得 ，则当 取得最大值时，点 的坐标是 A． B． C． D． 10．将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到 图象．若 ，且 ，则 的最大值为 A. B. C. D. 11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，以 为圆心的圆与双曲线 在第一象限交于点 ，直线 恰与圆 相切于点 ，与双曲线左支交于点 ，且 ，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 12．已知函数 ，在其定义域内任取两个不等实数 、 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡相应位置上． 13．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 与 的夹角为 ． 14．在二项式 的展开式中，只有第4项的系数最大，则展开式中 项的系数为 （用数字作答）． 15．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线 相交于点 （点 位于第一象限），与它的准线相交于点 ，且点 的纵坐标为 ， ，则实数 ________． 16．在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，则该三棱锥的外接球表面积为________． 三、解答题：共70分。解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。并答在答题卡相应的位置上．第17题 第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题 第23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．(本小题满分12分） 已知等比数列 的各项均为正数， ，且 的等差中项为 . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）若 ， ，数列 的前 项和为 ， 证明： . 18．(本小题满分12分） 据调查显示，某高校 万男生的身高服从正态分布 ，现从该校男生中随机抽取 名进行身高测量，将测量结果分成 组： ， ， ， ， ， ，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （Ⅰ）求这 名男生中身高在 （含 ）以上的人数； （Ⅱ）从这 名男生中身高在 以上（含 ）的人中任意抽取 人，该 人中身高排名（从高到低）在全校前 名的人数记为 ，求 的数学期望. （附：参考数据：若 服从正态分布 ，则 ， ， .） 19．(本小题满分12分） 如图，在四棱锥 中， 为等边三角形， ， ，且 ， ， ， 为 中点． （Ⅰ）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）若线段 上存在点 ，使得二面角 的大小为 ，求 的值． 20．(本小题满分12分） 已知椭圆 的离心率为 ，且点 在椭圆 上． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）已知不经过 点的直线 与椭圆 交于 两点， 关于原点的对称点为 （与点 不重合），直线 与 轴分别交于两点 ，证明： ． 21．(本小题满分12分） 已知函数 . （Ⅰ）若 在 上单调递减，求 的取值范围； （Ⅱ）当 时，函数 有两个极值点 ， 证明： ．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如多做，则按所做的第一题计分。 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分） 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （Ⅰ）求曲线 的极坐标方程和 的直角坐标方程； （Ⅱ）直线 与曲线 分别交于第一象限内的 ， 两点，求 . 23.【选修4-5：不等式选讲】(本小题满分10分） 已知函数 . （Ⅰ）当 时，解不等式 ； （Ⅱ）设 为正实数，且 ，其中 为函数 的最大值，求证： .
高2018届高三学业质量调研抽测（第二次） 理科数学答案 一、选择题 1―5：ABDAD 6―10：BBCCC 11―12：BA 二、填空题 13. 14. 20 15. 16. 三、解答题 17.（1）设等比数列 的公比为 ， 由题意，得 ……………………………………………………………………………2分 即 两式相除，得 ， 解得 或 ，……………………………………………………………………………………4分 ∵ ,∴ ,解得 ， ……………………………………………………………………5分 所以 . …………………………………………………………………………………6分 （2）由（1）得 ，…………………………………………………………………7分 ∴ ， ……………………………………………………………9分 ∴ ………11分 ∴ .…………………………………………………………………………………………………12分 18.（1）由频率分布直方图知，后三组频率分别为 ， ， ，………………2分 人数为 ， ， ，………………………………………4分 即这 名男生身高在 以上（含 ）的人数为 人.………………………5分 （2）∵ ， ∴ ，而 ，……………………7分 所以全校前 名的身高在 以上（含 ），这 人中 以上（含 ）的有 人. ……………………………………………………………………………………8分 随机变量 可取 ， ， ，于是 ， ，………11分 ∴ ． ………………………………………………………12分 19.解：（1）证明：连接 ， ， ∵ 是等边三角形， 为 中点，∴ ， ………………………………1分 又∵ ，∴ ， ， ∴ ，且 ， ∴四边形 为矩形，∴ ， ， ∴ ，∴ ，…………………………………………………………4分 又∵ ，∴ 平面 ，…………………………………………………5分 又∵ 平面 ∴平面 平面 ．………………………………………………………………………6分 （2）如图建系， ， ， ， ， 设 ， ∴ ， 设平面 的法向量为 ， ∴ ∴ ， 平面 的法向量不妨设为 ，……………………………………………………9分 ∴ ， ∴ ，∴ 或 （舍），…………………………………………………11分 ∴ ．……………………………………………………………………………………………12分 20.解：（1）由 可得 ，所以 ，………………………………2分 解得 ，……………………………………………………………………………………………4分 所以椭圆的方程为： .…………………………………………………………………5分 （2）设 ，联立方程，得 ， 解得 ， 所以 ， ，……………………7分 ∴ ， 分子 .……………………………10分 ∴ ,∴ ． …………………………………………………………12分 21.（1）因为 ,由题意可知 在 上恒成立 得 ， ……………………………………………………………………2分 令 , ， 解得 在 单调递增， 单调递减, 所以 , 所以 .………………………………………………………………………………………………4分 (2)函数 有两个极值点 , 即 有两个不同的零点,且均为正， 令 ,由 可知 在 是增函数，在 是减函数，……………………………………………6分 且 ，构造 ， ……………………………………………………………………7分 构造函数 ，………………8分 则 ,故 在区间 上单调减， 又由于 ,则 ,即有 在 上恒成立， 即有 成立. ………………………………………………………………10分 由于 , , 在 是减函数, 所以 ，………………11分 所以 成立.………………………………………………………………………………12分 22.解：（1）曲线 ，……………………………………………………………1分 把 ， ，代入 ， 得 ， 化简得，曲线 的极坐标方程为 ， …………………………………………………3分 曲线 的极坐标方程为 ， 所以曲线 的普通方程为 .…………………………………………………5分 （2）依题意可设 . 所以 ， …………………………………………………………………………………6分 ，即 ， 所以 ， ……………………………………………………………………………………8分 因为点 在一象限，所以 ，即 ，…………………………………………9分 所以 . …………………………………………………………………10分 23. 解：（1） 时， ， ，………………………………………………………………2分 所以 或 或 ，……………………………………………………4分 所以解集为 . ……………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由绝对值不等式得 ， 所以 最大值 ，……………………………………………………………………………7分 当且仅当 时等号成立. ……………………………………………………………10分

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