2014广东从化高二数学5月月考试卷含解析理科.docx

2014广东从化高二数学5月月考试卷（含解析理科） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，答卷共4页，总共8页. 满分150分，考试用时120分钟. 第一部分 选择题(40分)
一、选择题（每小题5分，共40分） 1．复数 的虚部为（ ） A． B． C． D． 2. 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则实数 的值为 A. 1 B. C. 2 D.4 3． 的展开式中常数项为 A． B． C． D．
4．若数列 的前 项由流程图（如图）的输出依次 给出，则数列的通项公式 （　） 、 　 、 　 、 、 5．已知 ，若 ， 则 的大小关系是（ ） 、 、 、 、 6. 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从 1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 A.120个 B.80个 C.40个 D. 20个
7．椭圆C： ， 分别是其左右焦点，点P在椭圆上，若 ，则该椭圆离心率的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 8. 设函数 ，若 ， ，则关于 的方程 的解的个数为 （ ） ．1 ．2 ．3 ．4
第二部分 非选择题（110分）
二、填空题（每小题5分，共30分） 9. 函数 的单调递增区间为 ． 10．曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为____________． 11. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的 体积为 . 12. 已知 ， 与 的夹角为 ， 那么 13. 设函数 ，若 是奇函数， 则 的值是 . 14. 设面积为 的平面四边形的第 条边的边长记为 ， 是该四边形内任意一点， 点到第 条边的距离记为 ，若 ，则 ．类比上述结论，体积为 的三棱锥的第 个面的面积记为 ， 是该三棱锥内的任意一点， 点到第 个面的距离记为 ，相应的正确命题是 ； 三、解答题（共80分，要求写出详细解答过程或证明过程） 15.（本小题满分12分） 某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天 名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图5（1））：

网购金额 (单位:千元) 频数 频率

合计

若网购金额超过 千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过 千元的顾客定 义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为 ． （1）试确定 ， ， ， 的值，并补全频率分布直方图（如图5(2)）． （2）该营销部门为了进一步了解这 名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购 达人”中用分层抽样的方法确定 人，若需从这 人中随机选取 人进行问卷调查．设 为选取的 人中“网购达人”的人数，求 的分布列和数学期望．
16. （本小题满分12分）已知函数 ． （Ⅰ） 求函数 的最小正周期 （Ⅱ）已知 中，角 所对的边长分别为 ，若 ， ，求 的面积 ．
17．（本小题满分14分） 如图所示，已知 为圆 的直径，点 为线段 上一点， 且 ，点 为圆 上一点，且 ． 点 在圆 所在平面上的正投影为点 ， ． （1）求证： ； （2）求二面角 的余弦值．

18.已知数列 中， ， ，其前 项和 满足 ，令 ． （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求证： （ ）

19．（本题满分14分） 已知椭圆 的左，右两个顶点分别为 、 ．曲线 是以 、 两点为顶点，离心率为 的双曲线．设点 在第一象限且在曲线 上，直线 与椭圆相交于另一点 ． （1）求曲线 的方程； （2）设 、 两点的横坐标分别为 、 ，证明： ；

20.(本题满分14分) 已知函数 ．(Ⅰ)若 是函数 的极值点，求曲线 在点 处的切线方程；(Ⅱ)若函数 在 上为单调增函数，求 的取值范围；(Ⅲ)设 为正实数，且 ，求证： ．

2013-2014学年高二下学期5月考试 数学（理）试题 （参考答案） 一、选择题： 1 2 A 3 C 4 5 6 C 7 B 8 二、填空题：9. 10. 11. 12. 13. 14. 若 ，则 三、解答题： 15解：（1）根据题意，有 解得 …………………2分 ， ． 补全频率分布直方图如图所示． ………4分 （2）用分层抽样的方法，从中选取 人，则 其中“网购达人”有 人， “非网购达人”有 人． …………………6分 故 的可能取值为0，1，2，3； ， ， ， ．…………………………10分 所以 的分布列为：

． ……………………12分 16. 解：（Ⅰ） …4分 则所以f(x）的最小正周期为π， ……………6分． （Ⅱ） 因为 ，所以 ， 解得 或 ，又 ，故 ………………8分 由 ，得 ,则 , , …………10分 所以 . …………………………………12分
17．（本小题满分14分） 解析：（Ⅰ）法1：连接 ，由 知，点 为 的中点， 又∵ 为圆 的直径，∴ ， 由 知， ， ∴ 为等边三角形，从而 ．-----------------3分 ∵点 在圆 所在平面上的正投影为点 ， ∴ 平面 ，又 平面 ， ∴ ，-----------------5分 由 得， 平面 ， 又 平面 ，∴ ． -----------------6分 （注：证明 平面 时，也可以由平面 平面 得到，酌情给分．） 法2：∵ 为圆 的直径，∴ ， 在 中设 ，由 ， 得， ， ， ， ∴ ，则 ， ∴ ，即 ． -----------------3分 ∵点 在圆 所在平面上的正投影为点 ， ∴ 平面 ，又 平面 ， ∴ ， -----------------5分 由 得， 平面 ， 又 平面 ，∴ ． -----------------6分 法3：∵ 为圆 的直径，∴ ， 在 中由 得， ， 设 ，由 得， ， ， 由余弦定理得， ， ∴ ，即 ． -----------------3分 ∵点 在圆 所在平面上的正投影为点 ， ∴ 平面 ，又 平面 ， ∴ ， ----------5分 由 得， 平面 ， 又 平面 ，∴ ． -----------------6分 （Ⅱ）法1：（综合法）过点 作 ，垂足为 ，连接 ． -----------------7分 由（1）知 平面 ，又 平面 ， ∴ ，又 ， ∴ 平面 ，又 平面 ， ∴ ，-----------------9分 ∴ 为二面角 的平面角． -----------------10分 由（Ⅰ）可知 ， ， （注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分．） ∴ ，则 ， ∴在 中， ， ∴ ，即二面角 的 余弦值为 ．------14分 法2：（坐标法）以 为原点， 、 和 的方向分别 为 轴、 轴和 轴的正向，建立如图 所示的空间直角坐标系． ----------------8分 （注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明 ，酌情给分．） 设 ，由 ， 得， ， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， ， 由 平面 ，知平面 的一个法向量为 ． -----------------10分
设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，令 ，则 ， ， ∴ ，-----------------12分 设二面角 的平面角的大小为 ， 则 ，-----------------13分 ∴二面角 的余弦值为 ．-----------------14分
18. 解：（1）由题意知 即 -------2分 ∴ -------3分 ----5分 检验知 、 时，结论也成立，故 ． -------7分 （2）由于 -------10分 故 ---------12分 ． ---------14分
19．（本题满分14分）（1）解：依题意可得 ， ．………………1分 设双曲线 的方程为 ， 因为双曲线的离心率为 ，所以 ，即 ． 所以双曲线 的方程为 ． …………………………………6分 （2）证法1：设点 、 （ ， ， ），直线 的斜率为 （ ）， 则直线 的方程为 ， ………………………………………7分 联立方程组 ……………………………………………8分 整理，得 ， 解得 或 ．所以 ． ……………………………10分 同理可得， ． …………………………………………………12分 所以 ． ……………………………………………………………14分
证法2：设点 、 （ ， ， ）， 则 ， ． ……………………………………………7分 因为 ，所以 ，即 ． ……………8分 因为点 和点 分别在双曲线和椭圆上，所以 ， ． 即 ， ． …………………………………10分 所以 ，即 ． …………………………12分 所以 ． ……………………………………………………14分 证法3：设点 ，直线 的方程为 ， ……………6分 联立方程组 ……………………………………8分 整理，得 ， 解得 或 ． ……………………………………10分 将 代入 ，得 ，即 ． 所以 ． ……………………………………………14分 20.(本题满分14分) 解: （Ⅰ） 由题意知 ，代入得 ，经检验，符合题意。………………………2分 从而切线斜率 ，切点为 ， 切线方程为 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 （Ⅱ） 因为 上为单调增函数，所以 上恒成立. 所以 的取值范围是 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分 （Ⅲ）要证 ，只需证 ， 即证 只需证 。。。。。。。。。。。。。。。12分 由（Ⅱ）知 上是单调增函数，又 ， 所以 ，即 成立.。。。。。。。。。。。。。。13分 所以 。 。。。。。。。。。。。。。。。。。14分

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