20182019高二数学上学期期中试卷含有答案浙江诸暨中学.docx

诸暨中学2018学年高二数学期中试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.已知点 和 在直线 的两侧，则实数 的取值范围为（ ） 2.已知椭圆的标准方程为 ，则椭圆的焦点坐标为（ ） 3. 已知 ，且 ，则 有（ ） 最大值 最大值 最小值 最小值 4．如图，△A'B'C'是△ABC的直观图，其中 ， 轴， 轴，那么△ABC是（ ） A． 等腰三角形 B． 钝角三角形 C． 等腰直角三角形 D． 直角三角形
5.设实数 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ） 6.过正方体 的棱 、 的中点 、 作一个截面，使截面与底面 所成二面角为 ，则此截面的形状为（ ） 三角形或五边形 三角形或四边形 正六边形 三角形或六边形 7.已知 、 为不同直线， 、 为不同平面，则下列说法正确的是（ ） 若 ， ， ，则 ； 若 ， ，则 若 ， ， 、 不平行，则 、 为异面直线； 若 ， ， ，则 . 8.异面直线 与 成 角，异面直线 与 成 角，则异面直线 与 所成角的取值范围是（ ） 9.已知椭圆 ，过椭圆右焦点 的直线 交椭圆于 两点，交 轴于点 ，设 ，则 （ ）
10.如图，在底面为平行四边形的四棱锥 中， 分别是棱 上的动点，且满足 ，则线段 中点的轨迹是（ ） 一条线段 一个三角形 一段圆弧 椭圆的一部分 二、填空题（本大题7个小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分） 11. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的表面积为________，体积为________. 12. 双曲线 的实轴长为________， 渐近线方程是________ . 13. 与圆 外切，且与圆 内切的动圆圆心的轨迹方程为________. 14. 双曲线 的两个焦点分别为 ，点 在双曲线上，且满足 ，则 的周长为________，面积为________. . 15. 若 ，且 ，当且仅当________时， 取得最小值________. . 16. 已知 是球 表面上的点， 平面 ， ， ， ，则球 的体积等于________. . 17. 已知函数 ， ，若对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围________. .
三、解答题（本大题5个小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18. （1）若双曲线的一条渐近线方程为 ，且两顶点间的距离为6，求该双曲线方程. （2）一组平行直线 与椭圆 相交，求弦的中点的轨迹方程.

19. 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 . ， 为 的中点， . （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值.

20. 已知函数 ， . （1）当 时，解不等式 ； （2）当 时，若关于 的方程 在 上的解集为空集，求实数 的取值范围.

21.如图，在三棱柱 中， 、 分别是 、 的中点. （1）设棱 的中点为 ，证明： 平面 ； （2）若 ， ， ，且平面 平面 ，求二面角 的余弦值.

22.已知椭圆 的两个顶点分别为 ，点 为椭圆上异于 的点，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，且 . （1）求椭圆 的离心率； （2）若 ，设直线 与 轴交于点 ，与椭圆交于 两点，求 面积的最大值.

诸暨中学2018学年高二数学期中试卷 四、选择题（每小题3分，共30分） 1~10 五、填空题（本大题7个小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分） 11. 12. 13. 14. 15. 18 16. 17. 六、解答题（本大题5个小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18. 若焦点在 轴上，易得双曲线的标准方程为 .................2 若焦点在 轴上，双曲线的标准方程为 。....................4 设 与椭圆 的两交点 其中点 则 .........8 又 ，消去 得 。.....................9 所以弦的中点 的轨迹方程为 ………....10 19. 证明： 平面 ,又 平面 ，所以 ..........2 又底面 是菱形， ,得 为正三角形， 为 的中点，易得 ，所以 , ,故 平面 ...........................5 连接 ，易证 . 平面 ,又 平面 ,得面 面 ，且交线为 ，在平面 内，过 作 ,则 面 ，故 为 在平面 上的射影，即 为所求线面角。.............8 在 中易求 , , ...............10 其它解法酌情给分。 20. 解： 当 时， ，.......2 由 ， 当 时，由 解得 ； 当 时，由 解得 舍去 ； 当 时，由 解得 。 故原不等式的解集为 。.........................5 当 且 时， ， ， 。..........7 要使 在 上的解集为空集，即在 上无实根。记 ，为开口向上的抛物线。 当 时，须满足 解得 。 综上 ...................10 21. 证明： 为 上的中点，易证四边形 为平行四边形，连接 交 于点 则 为 的中点。连接 ,由中位线知 ,又 面 面 ,故 平面 ................5 易证 为正 ，又 为中点， 也为正 。面 面 ,且交线为 ,过 作 交于点 ，则 平面 .过 作 ,连结 则 ,则 为二面角 的平面角。........9 易求 , ， , ...............12 22. 解： 设 为椭圆 上的点 则 ， ........................................2 又 .............................................5 由 知 且 ..............................6 设直线 ，代入椭圆方程有 设 由韦达定理 .........................................8 .10 令 即有 代入上式得 当且仅当 即 时等号成立 面积最大值为 ......................................................................................12

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